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1、山西省长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中2013届高三第四次四校联考数学试题（理）（满分150分，考试时间120分）一、选择题(51260分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号)1已知集合，则A BC D2下列说法错误的是 A“”是“”的充分不必要条件 B命题“若，则”的否命题是：“若，则” C若命题，则 D若命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题3函数图象的一条对称轴在（，）内，则满足此条件的一个值为 A B C D 4一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是球体
2、的一部分，则这个几何体的表面积为A3 B4 C6 D85若实数x，y满足约束条件，则目标函数 的最大值为A10 B12C13D146运行下图所示框图的相应程序,若输入的值分别为 和,则输出M的值是A0 B1 C2 D1 7已知数列满足，且 ，则的值是A B C D8已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是A B C D 9在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c且a=1，B=45，=2，则b 等于A5 B25 CD10已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是 A B C D11若定义在
3、R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是 A2个 B3个 C 4个 D多于4个12已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率=A B C D二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13若函数的图象过点（2，1），且函数的图像与函数的图像关于直线对称，则= 14为虚数单位，则复数的虚部是 15某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有 16已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则= 三、
4、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17（本小题满分12分）已知点A（4，0）、B（0，4）、C（）（1）若，且，求的大小；（2），求的值18（本小题满分12分） 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取12件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777681 （1）已知甲厂生产的产品共84件，求乙厂生产的产品数量； （2）当产品中的微量元素x，y满足x175且y75，该产品为优等品，
5、用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； 从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其期望19（本小题满分12分）如图，已知长方形中，,为的中点. 将沿折起，使得平面平面.（1）求证： ； （2）若点是线段的中点，求二面角的余弦值.A 20（本小题满分12分）已知为椭圆的左，右焦点，为椭圆上的动点，且的最大值为1，最小值为-2.（1）求椭圆的方程；（2）过点作不与轴垂直的直线交该椭圆于两点，为椭圆的左顶点。试判断的大小是否为定值，并说明理由.21（本小题满分12分）已知函数（1）若函数上是减函数，求实数的最小值；（2）若，使（）成立，求实数的取值范围. 请
6、考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑22.（本小题满分10）选修4-1：几何证明选讲如图，已知O是的外接圆，是边上的高，是O的直径（1）求证：；（2）过点作O的切线交的延长线于点，若，求的长23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线的参数方程为 (t为参数，0a)，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值24.（本小题
7、满分10分）选修45：不等式选讲设 （1）当，解不等式； （2）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围2013届第四次四校联考（理数）参考答案一、选择题： 1-5 B A A B C 6-10 C D C A B 11-12 CD二、填空题13. 14. 2 15. 216 16. 三解答题：17. 解：（1）由已知得2分则，5分 因为，所以6分（2）由得，7分平方得，8分。12分18. 解：（1）设乙厂生产的产品数量为x件，由题意得=，所以x=35。-2分（2）由题意知乙厂生产的优等品的数量为件-4分由题意知 -7分所以随机变量的分布列为012P -10分所以随机变量的均值= -12分1
8、9.解：取AM的中点O，AB的中点N，则两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，如图.根据已知条件，得, 2分 （1）由于,故.5分 （2）依题意6分平面AMD的一个法向量7分设平面AME的一个法向量为，而,. x=0,取z=2,则y=19分11分二面角的余弦值为12分20.解：（1）设(则(-axa)2分，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，5分故椭圆的方程为-6分（2）设直线的方程为,7分联立方程组可得，化简得：8分设，则，9分又,11分所以,所以的大小为定值9012分21.解：（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立1分所以当时，2分又，4分故当，即时，所以于是，故a的最小值为 6
9、分（2）命题“若使成立”等价于“当时，有” 由（1），当时， 问题等价于：“当时，有” 8分当时，0, 在上为减函数，则=，故 10分 当00,由于在上为增函数，故的值域为，即由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，为减函数；当时，为增函数；由=，所以，与矛盾，不合题意综上，得 12分22.（本小题满分10）选修4-1：几何证明选讲解：（1）证明：连结,由题意知为直角三角形因为所以 3分 则，则又，所以 5分（II）因为是O的切线，所以，又，所以 7分因为，所以则，即 10分 23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程解：（I）由，得所以曲线C的直角坐标方程为. 5分（II）将直线l的参数方程代入，得t2sin24tcos40.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1t2，t1t2， |AB|t1t2|，当时，|AB|的最小值为4 10分24.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲解：（I）时原不等式等价于即所以解集为 5分（II）当时，。令 6分由图像知：当时，取得最小值。由题意知：，所以实数的取值范围为 10分8