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1、3从速度的倍数到数乘向量31数 乘 向 量, )1问题导航(1)若a0(R)，则0是否成立？(2)实数与向量的数乘、数乘之间的和差运算等(比如化简3(3a5b)(a8bc)3b)与多项式的运算有什么相同之处？(3)若向量a，b不共线，且ab，则，的值如何？为什么？2例题导读 P83例1.通过本例学习，学会向量的线性运算 试一试：教材P87习题23 A组T1你会吗？ P84例2，例3.通过此两例的学习，学会利用向量共线的判定与性质解决向量共线问题 试一试：教材P87习题23 A组T2你会吗？ 1数乘向量(1)一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a.它的长度为|a|a|，它的方向：当0时，a与
2、a的方向相同；当0)或反方向(1)或缩短(|1)为原来的|倍(3)运算律设a，b为向量，为实数( a)()a；()aaa；(ab)ab；特别地()a(a)；(ab)ab(4)线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫作向量的线性运算(或线性组合)(5)表示a方向上的单位向量2向量共线定理判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与非零向量a共线性质定理若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得ba1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)实数与向量数乘，结果仍是一个向量()(2)共线向量定理中，条件a0可以去掉()(3)a的方向与a的方向一致()(4)对
3、于任意实数m和向量a，b若mamb，则ab.()解析：(1)正确根据实数与向量数乘的定义，可知实数与向量数乘，结果仍是一个向量(2)错误若条件a0去掉，当b0，a0时，不存在(3)错误当0时，a的方向与a的方向一致；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0，方向任意(4)错误当m0时，mamb，a与b可以不相等答案：(1)(2)(3)(4)2在四边形ABCD中，若，则此四边形是()A平行四边形 B菱形C梯形 D矩形解析：选C.因为，所以ABCD，且ABCD，所以四边形ABCD为梯形3已知向量a与b不共线，向量c3ab，d6a2b，则向量c与d的关系是_(填“共线”或“不共线”)解析：d6a
4、2b2(3ab)2c，所以向量c与d共线答案：共线4._解析：(2a8b)(4a2b)abab2ba.答案：2ba1从两个角度看数乘向量(1)代数角度是实数，a是向量，它们的积仍然是向量；a0的条件是0或a0.(2)几何角度当|1时，有|a|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(1)或反方向(1)上伸长到|a|的|倍；当0|1时，有|a|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(01)或反方向(10)上缩短到|a|的|倍2对数乘向量的运算律的两点说明(1)数乘向量运算律满足的条件：三种运算律中的与都是实数(2)对运算律(ab)ab的几点说明当a，b中有一个等于0，或0或1时，等式显然成
5、立；若a，b都不等于0且1，0，当0且1时，如图，a，b，a，b，ab，ab，由作法知，所以|，所以|，且与方向也相同，故有(ab)ab成立当0时，同理可证综上，(ab)ab成立3正确理解向量共线的判定定理和性质定理(1)向量共线的判定定理和性质定理实际上是由实数与向量的积推出的两个定理分别从正、反两方面加以论述，即当a0时，abba.(2)定理中，之所以限定a0，是由于若ab0，虽然仍然存在，但不唯一，定理的正反两个方面不成立(3)由于零向量的方向不确定，在处理有关向量共线问题时，一般规定零向量与任何一个向量平行a，b都不是零向量时，若ab，则0时，a与b同向；0时，a与b反向(4)若a，b
6、不共线，且ab，则必有0.(5)向量共线的判断(证明)可把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线；向量共线的应用是存在实数，使两向量可以互相表示，利用向量共线的条件列式，通过计算得出结论向量的线性运算(1)计算下列各式：3(a2bc)(2cba)；(ab)(2a4b)(2a13b)(2)设x，y是未知向量解方程5(xa)3(xb)0；解方程组(链接教材P83例1)解(1)原式3a6b3c2cba4a7bc.原式abababab0a0b0.(2)原方程可变为5x5a3x3b0，即8x5a3b，所以xab.把第一个方程的左、右两边同乘2，然后与第二个方程相加，得y2ab，从而ya
7、b.代入原来第二个方程得xab.所以方法归纳向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算1(1)若2(cb3y)b0，其中a，c，b为已知向量，则未知向量y_(2)化简4(ab)3(ab)_解析：(1)由2(cb3y)b0得2yacbyb0，即yacb0，所以yabc.(2)
8、4(ab)3(ab)4a3a4b3ba7b.答案：(1)abc(2)a7b向量共线的判定定理和性质定理设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)已知kab和akb共线，求实数k的值(链接教材P84例2，例3)解(1)证明：因为ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.所以，共线又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为kab与akb共线，所以存在实数，使kab(akb)，即kabakb.所以(k)a(k1)b.因为a，b是不共线的两个非零向量，所以kk10，所以k210.所以k1.方法归纳(1
9、)证明三点共线问题可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)注意当两个向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想的运用2(1)已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AB，C，D BA，B，CCA，B，D DA，C，D(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若xy，则xy_解析：(1)因为2a4b2，所以向量，共线，故A，B，D三点共线(2)由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一条线上，由共线向量定理可知，必定存在实数使，即()，所以(1)，
10、故x1，y，即xy1.答案：(1)C(2)1用已知向量表示其他向量(1)如图，ABCD是一个梯形，且|2|，M，N分别是DC，AB的中点，已知e1，e2，试用e1，e2表示下列向量_；_(2)如图所示，已知ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.(链接教材P87习题23 A组T5，T6)解(1)因为，|2|，所以2，所以e2e1.e1e2e1e1e2.故填e2e1；填e1e2.(2)设x，则x，e1x，e1x.由得xe1xe2，解方程得xe2e1，即e2e1.由，e1x，得xe1e1e1e2.本例(1)中，若e1，e2，试用e1，e2表示向量.解：因为，所
11、以2()()，又因为M，N分别是DC，AB的中点，所以0，0.所以2，所以()e2e1.方法归纳用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程3(1)如图所示，D，E分别是ABC中边AB，AC的中点，已知a，b，试用a，b分别表示，.(2)如图，四边形OADB是以向量a，b为边的平行四边形又，试用a，b表示，.解：(1)由三角形中位线定理，知DE綊BC，故，即a.abaab.(2)因为()(ab)，所以babab.因为，所以()(ab)所以(ab)abab.规范解
12、答利用向量共线定理解决与共线相关的问题(本题满分12分)如图所示，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)证明：B，E，F三点共线解(1)如图所示，延长AD到G，使，连接BG，CG，得到四边形ABGC.2分因为D是BC和AG的中点，所以四边形ABGC是平行四边形，则ab，所以(ab)，(ab).5分因为F是AC的中点，所以b.所以(ab)a(b2a).8分ba(b2a).9分(2)证明：由(1)可知，(b2a)，(b2a)，所以，即，是共线向量，又因为它们有公共点B，所以B，E，F三点共线.12分规范与警示(1)由中点联想到平行四边形，作辅助线得处的结
13、论是解答本题的关键；若在处不能正确地利用向量的加减法以及已表示出的，则易出现运算错误，导致失分；若未能正确地表示出处的结论，则无法证得结论，是又一易失分点(2)在向量的加减运算中，需遵循平行四边形法则和三角形法则，在给出的图形中有时需要借助辅助线构造出相应的图形对于常见图形中的基本量，要熟练应用三角形法则或平行四边形法则表示利用向量共线定理可以证明三点共线，也可以求相关的参数的值，其基本的关系就是ab(R，b0)1下列说法正确的是()A平行于同一向量的两个向量是共线向量B单位向量都相等Cab存在唯一的实数，使得abD与非零向量a相等的向量有无数个解析：选D.若两个向量都与零向量平行，它们可能不
14、共线，所以选项A不正确；单位向量只是长度相等，方向不确定，故选项B不正确；“ab存在唯一的实数，使得ab”需在b0的前提下才成立，故选项C不正确；平移非零向量a，所得向量都与a相等，故与非零向量a相等的向量有无数个故选D.2若向量a3i4j，b5i4j，则(ab)3(ab)(2ba)_解析：(ab)3(ab)(2ba)ab3a2b2baab(3i4j)(5i4j)11ij5i4j16ij.答案：16ij3在ABC中，a，b，若2，则_(用a，b表示)解析：()ab.答案：ab, 学生用书单独成册)A.基础达标1已知向量a，b满足：|a|3，|b|5，且ab，则实数()A. BC D解析：选C.
15、因为|a|3，|b|5，ab，所以|a|b|，即35|，所以|，.2.如图所示，已知2，a，b，c，则下列等式中成立的是()Acba Bc2baCc2ab Dcab解析：选A.33()，所以，即cba.3设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2(kR)与向量ne22e1共线，则()Ak0 Bk1Ck2 Dk解析：选D.将k的值逐一代入检验，当k0，1和2时m与n均不共线，当k时，me1e2，n2e1e2，此时n2m，故m，n共线4设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则()A. B2C3 D4解析：选D.，而0，0，故4.5在ABC中，点P是AB上一点，且，又t，则实
16、数t的值为()A. BC. D解析：选A.由题意可得()，又t，所以t.6已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(xy1)a(xy)b0，则x_，y_解析：由(xy1)a(xy)b0，且向量a，b不共线，得解得答案：7在ABC所在平面上有一点，满足，则PAB与ABC的面积之比是_解析：，即2，所以，所以.答案：138在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_解析：由向量加法的平行四边形法则，得.又O是AC的中点，所以AC2AO，所以2，所以2.又，所以2.答案：29如图，在ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，记a，b，求证：(ba)证明：因为()(ab)，b，所以abb(ba
17、)10已知非零向量e1，e2，a，b满足a2e1e2，bke1e2.(1)若e1与e2不共线，a与b共线，求实数k的值；(2)是否存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线？若存在，求出k的值，否则说明理由解：(1)由ab，得2e1e2ke1e2，而e1与e2不共线，所以k2.(2)不存在若e1与e2共线，则e2e1，有因为e1，e2，a，b为非零向量，所以2且k，所以ab，即ab，这时a与b共线，所以不存在实数k满足题意B.能力提升1O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心解析：选C.因为()，0
18、，)，所以()，0，)，即与共线，而是以，为邻边的平行四边形的对角线表示的向量，而对角线与BC的交点是中点，所以P的轨迹一定通过ABC的重心2对于ABC内部一点O，存在实数，使得()成立，则OBC与ABC的面积之比是()A12 B11C13 D23解析：选A.如图，设D，E分别是AB，AC的中点，以OA，OB为邻边作OAGB，以OA，OC为邻边作OAFC，则2，2，因为()，所以，所以点D，O，E三点共线，所以点O在直线DE上，又因为D，E分别为AB，AC的中点，所以OBC与ABC的面积之比为12.3已知，若，则_解析：如图，因为，所以点P在线段P1P2上，且.所以与反向，且，所以，故.答案：
19、4在平行四边形ABCD中，e1，e2，则_(用e1，e2表示)解析：因为e2，所以e2，因为，e2e1，所以(e2e1)，所以(e2e1)e2e1e2.答案：e1e25已知O，A，M，B为平面上四点，且(1)(R，1，0)(1)求证：A，B，M三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数的范围解：(1)证明：因为(1)，所以，即，又R，1，0且，有公共点A，所以A，B，M三点共线(2)由(1)知，若点B在线段AM上，则，同向且|(如图所示)所以1.6(选做题)在ABC中，点D和E分别在BC，AC上，且，AD与BE交于R，证明：.证明：由A，D，R三点共线，可得(1)(1).由B，E，R三点共线，可得(1)(1).所以所以所以.所以，.14