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1、第第5章误差基本知识章误差基本知识 1本讲稿第一页，共四十九页1 1、偶然误差与系统误差的定义？、偶然误差与系统误差的定义？2 2、偶然误差的特性？、偶然误差的特性？3 3、等精度观测值中误差的计算？、等精度观测值中误差的计算？4 4、误差传播定律？、误差传播定律？2本讲稿第二页，共四十九页一、观测误差一、观测误差一、观测误差一、观测误差 当对某观测量进行观测，其观测值与真值当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存在或客观存在或理论值理论值)之差，称为测量误差。之差，称为测量误差。用数学式子表达：用数学式子表达：i=Li i=Li X (i=1,2 X (i=1,2n)n)L L 观测值观
2、测值 X X真值真值 5-15-1 测量误差概述测量误差概述 1、仪器的原因 仪器结构、制造方面，每每一一种种仪仪器器具具有有一一定定的的精精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。二、测量误差的来源二、测量误差的来源二、测量误差的来源二、测量误差的来源 测测量量误误差差产产生生的的原原因因很很多多，但但概概括括起起来来主主要要有有以以下三个方面：下三个方面：3本讲稿第三页，共四十九页 例如：例如：例如：例如：DJ6 DJ6型光学经纬仪基本分划为型光学经纬仪基本分划为11，难以确保分以下，难以确保分以下 估读值完全准确无误。估读值完全准确无误。使用只
3、有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米以下估使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米以下估读值的准确性。读值的准确性。仪器构造本身也有一定误差。仪器构造本身也有一定误差。仪器构造本身也有一定误差。仪器构造本身也有一定误差。例如：例如：例如：例如：v水水准准仪仪的的视视准准轴轴与与水水准准轴轴不不平平行行，则则测测量量结结果果中中含含有有i i 角角误差或交叉误差。误差或交叉误差。v水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。4本讲稿第四页，共四十九页 2 2、人的原因、人的原因 观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作观测者感
4、官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。人、仪器和外界环境通常称为人、仪器和外界环境通常称为人、仪器和外界环境通常称为人、仪器和外界环境通常称为观测条件；观测条件；观测条件；观测条件；观测条件相同的各次观测称为观测条件相同的各次观测称为观测条件相同的各次观测称为观测条件相同的各次观测称为等精度观测；等精度观测；等精度观测；等精度观测；观测条件不相同的各次观测称为观测条件不相同的各次观测称为观测条件不相同的各次观测称为观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。不等精度观测。不等
5、精度观测。不等精度观测。3 3 3 3、外界条件、外界条件、外界条件、外界条件 例例如如：外外界界环环境境如如温温度度、湿湿度度、风风力力、大大气气折折光光等等因因素素的的变变化化，均均使观测结果产生误差。使观测结果产生误差。例例如如：温温度度变变化化使使钢钢尺尺产产生生伸伸缩缩阳阳光光曝曝晒晒使使水水准准气气泡泡偏偏移移，大大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置不稳定等。气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置不稳定等。5本讲稿第五页，共四十九页三、测量误差的分类三、测量误差的分类 先作两个前提假设：先作两个前提假设：观测条件相同观测条件相同.对某一量进行一系列的直接观测
6、在此基础上分析出现对某一量进行一系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值的误差的数值 、符号及变化规律、符号及变化规律。6本讲稿第六页，共四十九页 先看两个实例：先看两个实例：例例1 1：用名义长度为：用名义长度为3030米而实际长度为米而实际长度为30.0430.04米的钢尺量距。米的钢尺量距。丈量结果见下表丈量结果见下表5-15-1：表表5-15-1 尺段数尺段数尺段数尺段数 一一一一二二二二三三三三四四四四五五五五 N N N N观测值观测值观测值观测值 30 30 30 306060606090909090120120120120150150150150 30 n 30 n 30
7、n 30 n真实长度真实长度真实长度真实长度30.0430.0430.0430.0460.0860.0860.0860.0890.1290.1290.1290.12120.16120.16120.16120.16150.20150.20150.20150.20 30.04n 30.04n 30.04n 30.04n真误差真误差真误差真误差-0.04-0.04-0.04-0.04-0.08-0.08-0.08-0.08-0.12-0.12-0.12-0.12-0.16-0.16-0.16-0.16-0.20-0.20-0.20-0.20 -0.04 n-0.04 n-0.04 n-0.04 n可
8、以看出：可以看出：误差符号始终不变，具有规律性。误差符号始终不变，具有规律性。误差大小与所量直线成正比，具有累积性。误差大小与所量直线成正比，具有累积性。误差对观测结果的危害性很大。误差对观测结果的危害性很大。7本讲稿第七页，共四十九页例 2：在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右。有时偏右。可以看出：可以看
9、出：从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任 何规律性。何规律性。多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。8本讲稿第八页，共四十九页1.1.1.1.系统误差系统误差系统误差系统误差-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为种误差称为“系统误差系统误差”。系统误差具有规律性。系统误差具有规律性。2.2.2.2.偶然误差
10、偶然误差偶然误差偶然误差-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列在相同的观测条件下，对某一量进行一系列 的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面 上看没有任何规律性，为种误差称为上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差偶然误差”。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。3.3.3.3.粗差粗差粗差粗差-观测中的错误叫粗差。观测中的错误叫粗差。例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。错误
11、是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。一旦发现，应及时更正或重测。一旦发现，应及时更正或重测。引进如下概念：引进如下概念：9本讲稿第九页，共四十九页(二二)测量误差的处理原则测量误差的处理原则在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。或削弱。对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，消弱其影响。消弱其影响。消除系统误差的常用的有效方法：消除系
12、统误差的常用的有效方法：消除系统误差的常用的有效方法：消除系统误差的常用的有效方法：检校仪器：使系统误差降低到最小程度。检校仪器：使系统误差降低到最小程度。求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。采用合理的观测方法：如对向观测。采用合理的观测方法：如对向观测。研究偶然误差是测量学的重要课题。研究偶然误差是测量学的重要课题。消除或削弱偶然误差的有效方法：消除或削弱偶然误差的有效方法：消除或削弱偶然误差的有效方法：消除或削弱偶然误差的有效方法：适当提高仪器等级。适当提高仪器等级。进行多余观测，求最或是值。进行多余观测，求最或是值。10本讲稿第十页，共四十九页
13、 四、四、四、四、偶然误差的特性偶然误差的特性偶然误差的特性偶然误差的特性 若若i i=L=Li i X X （i=1,2,3,i=1,2,3,358,358）表表表表5-25-25-25-211本讲稿第十一页，共四十九页从表从表5-25-2中可以归纳出偶然误差的特性中可以归纳出偶然误差的特性 在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；值不会超过一定的限值；绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；现的频率小；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；绝对值
14、相等的正、负误差具有大致相等的频率；当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。近于零。用公式表示为：用公式表示为：实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大的个数愈大 时，这种特性就表现得愈明显。时，这种特性就表现得愈明显。12本讲稿第十二页，共四十九页-24-21-18-16-12-9-6 3 0+3+6+9+12+15+18+21+24 x=图5-1 频率直方图 为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情况，可为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情况，可以按表以
15、按表5-25-2的数据作的数据作误差频率直方图误差频率直方图误差频率直方图误差频率直方图(见下图见下图)。13本讲稿第十三页，共四十九页 若误差的个数无限增大若误差的个数无限增大(n)(n)，同时又无限缩小，同时又无限缩小误差的区间误差的区间dd，则图，则图5-15-1中各小长条的顶边的折线就逐中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“正态正态分布曲线分布曲线”，它完整地表示了偶然误差出现的概率，它完整地表示了偶然误差出现的概率P P。即即当当nn时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成时，上述误差区间内误差出现的频率趋
16、于稳定，成为误差出现的概率。为误差出现的概率。正态分布曲线的数学方程式为正态分布曲线的数学方程式为:(5-3)为标准差，标准差的平方为为标准差，标准差的平方为 方差。方差。方差为偶然误差平方的理论平均值：方差为偶然误差平方的理论平均值：14本讲稿第十四页，共四十九页从从5-35-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:1 1.f()f()是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f()f()相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。2.
17、2.愈小，愈小，f()f()愈大。当愈大。当=0=0时，时，f()f()有最大值有最大值;反之，反之，愈愈大，大，f()f()愈小。当愈小。当nn时，时，f()0,f()0,这就是偶然误差的第一和这就是偶然误差的第一和第二特性。第二特性。3.3.如果求如果求f()f()二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点横坐标：横坐标：拐拐=如果求如果求f()f()在区间在区间 的积分，则误差出现在区间内的相对次的积分，则误差出现在区间内的相对次数是某个定值数是某个定值 ，所以当，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当密
18、集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可见，参数见，参数 的值表征了误差扩散的特征的值表征了误差扩散的特征。15本讲稿第十五页，共四十九页f()+-11121-+f()2+-22122116本讲稿第十六页，共四十九页v观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数 ；v观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数 ；v 具有较小具有较小 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速
19、下降；速下降；v 具有具有 较大较大 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。趋势伸展。最大纵坐标点：17本讲稿第十七页，共四十九页5-2 5-2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准一一.中误差中误差 误差误差的概率密度函数为：的概率密度函数为：标准差标准差 在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述误差公式：在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述误差公式：标准差标准差中误差中误差 m m 的不同在于观测个数的不同在于观测个数 n n 上；上；标准差表征了一组同精度观测在标准差表征了一组同精度观
20、测在(n)(n)时误差分布的扩散特征，即理论上的观时误差分布的扩散特征，即理论上的观测指标；测指标；而中误差则是一组同精度观测在为而中误差则是一组同精度观测在为 n n 有限个数时求得的观测精度指有限个数时求得的观测精度指标；标；所以中误差是标准差的近似值估值；所以中误差是标准差的近似值估值；随着随着 n n 的增大，的增大，m m 将趋近于将趋近于。18本讲稿第十八页，共四十九页必须指出：必须指出：必须指出：必须指出：同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差，而同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差，而标准差的估计值即为中误差。标准差的估计值即为中误差。同精度观
21、测值具有相同的中误差。同精度观测值具有相同的中误差。同精度观测值具有相同的中误差。同精度观测值具有相同的中误差。例例3:3:设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了1010次观测，次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为 第一组：第一组：第一组：第一组：+3,-2,-4,+2,0,-4,+3,+2,-3,-1+3,-2,-4,+2,0,-4,+3,+2,-3,-1+3,-2,-4,+2,0,-4,+3,+2,-3,-1+3,-2,-4,+2,0,-4,+3,+2,-3,-1；第二组：第二组：0,-1
22、,-7,+2,+1,+1,-8,0,+3,-1.0,-1,-7,+2,+1,+1,-8,0,+3,-1.试求这两组观测值的中误差。试求这两组观测值的中误差。由由 解得：解得：m m1 1=2.7 m=2.7 m2 2=3.6=3.6 可见：可见：第一组的观测精度较第二组观测精度高。第一组的观测精度较第二组观测精度高。19本讲稿第十九页，共四十九页二、容许误差（极限误差）二、容许误差（极限误差）根据正态分布曲线，误差在微小区间根据正态分布曲线，误差在微小区间dd中的概率：中的概率：p()=f()p()=f()d d 设以设以k k倍中误差作为区间，则在此区间倍中误差作为区间，则在此区间误差出现的
23、概率为：误差出现的概率为：分别以分别以k=1,2,3k=1,2,3代入上式，可得：代入上式，可得：P(P(m)=0.683=68.3m)=0.683=68.3 P(P(2m)=0.955=95.52m)=0.955=95.5 P(P(3m)=0.997=99.73m)=0.997=99.7 由此可见：偶然误差的绝对值大于由此可见：偶然误差的绝对值大于由此可见：偶然误差的绝对值大于由此可见：偶然误差的绝对值大于2 2 2 2倍中误差的约占误差总数的倍中误差的约占误差总数的倍中误差的约占误差总数的倍中误差的约占误差总数的5555，而大于，而大于，而大于，而大于3 3 3 3倍的误差仅占误差总数的倍
24、的误差仅占误差总数的倍的误差仅占误差总数的倍的误差仅占误差总数的0.30.30.30.3。由于一般情况下测量次数有限，由于一般情况下测量次数有限，3 3倍中误差很少遇到，倍中误差很少遇到，故以故以2 2倍中倍中误差作为允许的误差极限，称为误差作为允许的误差极限，称为“容许误差容许误差”，或，或 称为称为“限差限差”即即容容=2m=2m20本讲稿第二十页，共四十九页三、相对误差三、相对误差三、相对误差三、相对误差 在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。能正确反映观测的质量。例如例如:用钢卷尺量用钢卷尺量200
25、200米和米和4040米两段距离，量距的中误差都是米两段距离，量距的中误差都是2cm2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关。度有关。为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即量。即m/Lm/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。来评定精度，通常称此比值为相对中误差。相对中误差又可要求写成分子为相对中误差又可要求写成分子为1 1的分式，即的分式，即 。上例为上例为 K K1 1=m=m1 1/L/L1 1=1/10000,=1/10000,K K
26、2 2=m=m2 2/L/L2 2=1/2000=1/2000 可见可见:前者的精度比后者高。前者的精度比后者高。与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。21本讲稿第二十一页，共四十九页 5-3 误差传播定律误差传播定律 在在实实际际工工作作中中有有许许多多未未知知量量不不能能直直接接观观测测而而求求其其值值，需需要要由由观观测测值值间间接接计计算算出出来来。例例如如某某未未知知点点B的的高高程程HB，是是由由起起始始点点A的的高高程程HA加加上上从从A点点到到B点点间间进进行行了了若若干干站站水水准准测测量量而而得得
27、来来的的观观测测高高差差h1hn求求和和得得出出的的。这这时时未未知知点点B的的高高程程H。是是各各独独立立观观测测值值的的函函数数。那那么么如如何何根根据据观观测测值值的的中中误误差差去求观测值函数的中误差呢？去求观测值函数的中误差呢？阐阐述述观观测测值值中中误误差差与与观观测测值值函函数数中中误误差差之之间间关关系系的的定定律，称为误差传播定律。律，称为误差传播定律。22本讲稿第二十二页，共四十九页 一、倍数的函数一、倍数的函数一、倍数的函数一、倍数的函数 设有函数：设有函数：Z为为观观测测值值的的函函数数，K为为常常数数，X为为观观测测值值，已已知知其其中中误差为误差为mx，求，求Z的中
28、误差的中误差mZ。设设x和和z的真误差分别为的真误差分别为x和和z则：则：若对若对x 共观测了共观测了n次，则：次，则：将上式平方，得：将上式平方，得：求和，并除以求和，并除以n，得，得23本讲稿第二十三页，共四十九页 即即，观观测测值值与与常常数数乘乘积积的的中中误误差差，等等于于观观测测值值中中误差乘常数。误差乘常数。因为：因为：所以：所以：所以：所以：24本讲稿第二十四页，共四十九页 例例：在在1：500比比例例尺尺地地形形图图上上，量量得得A、B两两点点间间的的距距离离SAB=23.4mm，其其中中误误差差msab=土土0.2mm，求求A、B间间的的实实地距离地距离SAB及其中误差及其
29、中误差msAB。解：由题意：解：由题意：SAB=500Sab=50023.4=11700mm=11.7m mSAB500mSab500（士（士0.2）=土土100mm土土0.1m 最后答案为：最后答案为：SAB=11.7m士士0.1m25本讲稿第二十五页，共四十九页 二、和或差的函数二、和或差的函数二、和或差的函数二、和或差的函数 设有函数：设有函数：Z为为x、y的的和和或或差差的的函函数数，x、y为为独独立立观观测测值值，已已知知其其中误差为中误差为mx、my，求，求Z的中误差的中误差mZ。设设x、y和和z的真误差分别为的真误差分别为x、y和和z则则 若对若对x、y 均观测了均观测了n次，则
30、次，则 将上式平方，得将上式平方，得26本讲稿第二十六页，共四十九页 由由于于x、y均均为为偶偶然然误误差差，其其符符号号为为正正或或负负的的机机会会相相同同，因因为为x、y为为独独立立误误差差，它它们们出出现现的的正正、负负号号互互不不相相关关，所所以以其其乘乘积积xy也也具具有有正正负负机机会会相相同同的的性性质质，在在求求xy时时其其正正值值与与负负值值有有互互相相抵抵消消的的可可能能；当当n愈愈大时，上式中最后一项大时，上式中最后一项xy/n将趋近于零，即将趋近于零，即求和，并除以求和，并除以n，得，得 27本讲稿第二十七页，共四十九页 将将满满足足上上式式的的误误差差x、y称称为为互
31、互相相独独立立的的误误差差，简简称称独独立立误误差差，相相应应的的观观测测值值称称为为独独立立观观测测值值。对对于于独独立立观测值来说，即使观测值来说，即使n是有限量，是有限量，由于由于 式残存的值不大，式残存的值不大，一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得 即即，两两观观测测值值代代数数和和的的中中误误差差平平方方，等等于两观测值中误差的平方之和。于两观测值中误差的平方之和。28本讲稿第二十八页，共四十九页 当当z是是一一组组观观测测值值X1、X2Xn代代数数和和（差差）的的函函数数时时，即即可以得出函数可以得出函数Z的中误差平方为：的中误差平方为：式中
32、式中m mxixi是观测值是观测值x xi i的中误差。的中误差。即，即，n n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n n个观测个观测值中误差平方之和值中误差平方之和。29本讲稿第二十九页，共四十九页 当当诸诸观观测测值值xi为为同同精精度度观观测测值值时时，设设其其中中误误差差为为m，即即 mx1=mx2=mxn=m则为则为这这就就是是说说，在在同同精精度度观观测测时时，观观测测值值代代数数和和（差差）的的中中误误差差，与观测值个数与观测值个数n的平方根成正比。的平方根成正比。例例设设用用长长为为L的的卷卷尺尺量量距距，共共丈丈量量了了n个个尺尺段段，
33、已已知知每每尺尺段量距的中误差都为段量距的中误差都为m，求全长，求全长S的中误差的中误差ms。解解：因因为为全全长长S=LLL（式式中中共共有有n个个L）。而而L的的中中误差为误差为m。量距的中误差与丈量段数量距的中误差与丈量段数量距的中误差与丈量段数量距的中误差与丈量段数n n的平方根成正比。的平方根成正比。的平方根成正比。的平方根成正比。30本讲稿第三十页，共四十九页 例例如如以以 30m长长的的钢钢尺尺丈丈量量 90m的的距距离离，当当每每尺尺段段量距的中误差为量距的中误差为5mm时，全长的中误差为时，全长的中误差为31本讲稿第三十一页，共四十九页 当当使使用用量量距距的的钢钢尺尺长长度
34、度相相等等，每每尺尺段段的的量量距距中中误误差差都都为为mL，则则每每公公里里长长度度的的量量距距中中误误差差mKm也也是是相相等等的的。当当对对长长度度为为S公公里里的的距距离离丈丈量量时时，全全长长的的真真误误差差将将是是S个个一一公里丈量真误差的代数和，于是公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为公里的中误差为 式中，式中，S的单位是公里。的单位是公里。即即：在在距距离离丈丈量量中中，距距离离S的的量量距距中中误误差差与与长长度度S的的平平方方根成正比。根成正比。32本讲稿第三十二页，共四十九页 例例:为为了了求求得得A、B两两水水准准点点间间的的高高差差，今今自自A点点开开始始进进
35、行行水水准准测测量量，经经n站站后后测测完完。已已知知每每站站高高差差的的中中误误差差均均为为m站站，求，求A、B两点间高差的中误差。两点间高差的中误差。解解：因因为为A、B两两点点间间高高差差hAB等等于于各各站站的的观观测测高高差差hi（i=l，2n）之和，）之和，即即:hAB=HB-HA=h1+h2+.+hn 则则 即即水水准准测测量量高高差差的的中中误误差差，与与测测站站数数n的的平平方方根根成成正正比。比。33本讲稿第三十三页，共四十九页 在在不不同同的的水水准准路路线线上上，即即使使两两点点间间的的路路线线长长度度相相同同，设设站站数数不不同同时时，则则两两点点间间高高差差的的中中
36、误误差差也也不不同同。但但是是，当当水水准准路路线线通通过过平平坦坦地地区区时时，每每公公里里的的水水准准测测量量高高差差的的中中误误差差可可以以认认为为相相同同，设设为为mkm。当当A、B两两点点间间的的水水准准路路线线为为S公公里里时时，A、B点间高差的中误差为点间高差的中误差为即，水准测量高差的中误差与距离即，水准测量高差的中误差与距离S的平方根成正比。的平方根成正比。或或34本讲稿第三十四页，共四十九页 在在水水准准测测量量作作业业时时，对对于于地地形形起起伏伏不不大大的的地地区区或或平平坦坦地地区区，可用可用 式计算高差的中误差；式计算高差的中误差；对对于于起起伏伏较较大大的的地地区
37、区，则则用用 式式计计算算高高差差的的中中误差。误差。例例如如，已已知知用用某某种种仪仪器器，按按某某种种操操作作方方法法进进行行水水准准测测量量时时，每每公公里里高高差差的的中中误误差差为为20mm，则则按按这这种种水水准准测测量量进进行行了了25km后，测得高差的中误差为后，测得高差的中误差为 35本讲稿第三十五页，共四十九页三、线性函数三、线性函数三、线性函数三、线性函数 设有线性函数：设有线性函数：则有则有 例例 设有线性函救设有线性函救观测量的中误差分别为，观测量的中误差分别为，求求Z的中误差的中误差 36本讲稿第三十六页，共四十九页四、一般函数四、一般函数四、一般函数四、一般函数
38、式中式中 xi(i=1，2n)为独立观测值，已知其中误差为为独立观测值，已知其中误差为mi(i=1 2n)，求，求z的中误差。的中误差。当当xi具有真误差具有真误差时，函数时，函数Z相应地产生真误差相应地产生真误差z。这些。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。37本讲稿第三十七页，共四十九页式式中中 （i=l，2n）是是函函数数对对各各个个变变量量所所取取的的偏偏导导数数，以以观观测测值值代代人人所所算算出出的的数数值值，它
39、它们们是是常常数数，因因此上式是线性函数可为：此上式是线性函数可为：38本讲稿第三十八页，共四十九页 例例 设有某函数设有某函数z=Ssin 式式中中S=150.11m，其其中中误误差差ms=士士005m；=1194500，其中误差其中误差m=20.6；求；求z的中误差的中误差mz。解：因为解：因为z=Ssin，所以，所以z是是S及及a的一般函数。的一般函数。39本讲稿第三十九页，共四十九页求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：1）按问题的要求写出函数式：）按问题的要求写出函数式：2）对对函函数数式式全全微微分分，得得出出函函数数的的真真误误差差与与观
40、观测测值值真真误误差差之间的关系式：之间的关系式：式中，式中，是用观测值代入求得的值。是用观测值代入求得的值。3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：40本讲稿第四十页，共四十九页5-3 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 设在相同的观测条件下对未知量观测了设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值次，观测值为为L1、L2Ln，现在要根据这，现在要根据这n个观测值确定出该未知个观测值确定出该未知量的最或然值。量的最或然值。设未知量的真值为设未知量的真值为X，写出观测值的真误差公式为，写出观测值的真误差公式为i=Li-X (i=1,2n
41、)将上式相加得将上式相加得或或故故一、观测值的算术平均值一、观测值的算术平均值41本讲稿第四十一页，共四十九页 设设以以x表表示示上上式式右右边边第第一一项项的的观观测测值值的的算算术术平平均均值值，即即以以X表示算术平均值的真误差，即表示算术平均值的真误差，即 代入上式，则得代入上式，则得由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，x趋近于零，即趋近于零，即:也就是说，也就是说，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。趋近无穷大时，算术平均值即为真值。42本讲稿第四十二页，共四十九页二、用改正数二、用改正数v计算中误差及算术平均值的中误差计算中误差
42、及算术平均值的中误差1、用改正数、用改正数v计算中误差（计算中误差（vi=L-li），对），对n次观测值的真误差次观测值的真误差和改正数分别为和改正数分别为43本讲稿第四十三页，共四十九页将上两组式对应相加将上两组式对应相加设L-X=，代入上式，并移项后得44本讲稿第四十四页，共四十九页上组各式分别平方，再求和上组各式分别平方，再求和其中 =故有 其中45本讲稿第四十五页，共四十九页故故因为li为独立观测值则当ij时，亦为偶然误差。根据偶然误差的第四个特性，当时，上式等号右边的第二项趋于零，故46本讲稿第四十六页，共四十九页于是于是 2、算术平均值（最或是值）的中误差设对某量进行了n次等精度观
43、测，观测值为l1、l2、ln，中误差为m。算术平均值L的中误差M的计算公式：47本讲稿第四十七页，共四十九页根据误差传播定律有：48本讲稿第四十八页，共四十九页例一：对某角进行了例一：对某角进行了5个测回等精度观测，观测结果为个测回等精度观测，观测结果为1=351828 2=351825 3=3518264=351822 5=351824试求该角的平均值，一测回角的中误差以及算术平均值的中试求该角的平均值，一测回角的中误差以及算术平均值的中误差。误差。解：角度的平均值解：角度的平均值 351825改正数改正数 vi=-i v1=+3 v2=0 v3=+1 v4=-3 v5=-1 故有一测回角的中误差故有一测回角的中误差 平均值的中误差平均值的中误差 49本讲稿第四十九页，共四十九页