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1、第二章流体运动学基本概念1本讲稿第一页，共五十一页 2.1.1 流体运动的特点 流体运动与固体运动相比复杂得多，在于:（1）流体由无穷多个质点构成，很难采用质点曲线运动理论来研究；（2）在运动中流体要变形，考虑流体团块运动时，除了平动和转动外，还必须考虑流体变形的因素。因此，流体运动学有鲜明的特点。2.12.1概述概述本讲稿第二页，共五十一页 在数学上，流体的运动参数就被表示为：空间和时间的函数。vx=vx(x,y,z,t)vy=vy(x,y,z,t)（21）vz=vz(x,y,z,t)场：由于流体团所占据的空间每一点都是研究对象，因此就将其看成一个“场”。流场：充满流体的空间被称为“流场”。
2、相应地有“速度场”、“加速度场”、“应力场”、“密度场”等。本讲稿第三页，共五十一页 2.1.2 流动的分类流动的分类 （1）流动按其时间变化特性可分为稳态流动和非稳态流动 稳态流动：流体运动参数与时间无关，也叫定常流动、恒定流动。vx=vx(x,y,z)vy=vy(x,y,z)vz=vz(x,y,z)非稳态流动：流体运动参数与时间有关，也叫非定常流动、非恒定流。如式（2-1）所示。（例1.2.3.）说明一点：流体流动稳态或非稳态流动与所选定的参考系有关。（举例说明：等加速直线运动和等角速旋转的容器中的液体）本讲稿第四页，共五十一页（2）流动按其空间变化特性可分一、二、三维流动 一维流动：通常
3、流体速度只沿一个空间坐标变化的流动称为一维流动。二维流动：通常流体速度只沿二个空间坐标变化的流动称为二维流动。录像1 录像2 三维流动：通常流体速度只沿三个空间坐标变化的流动称为三维流动。本讲稿第五页，共五十一页ZyxVx=0Vy=0Vz=Vz(x,y)Vz(a)二维流动rzVr=0V=0Vz=Vz(r)(b)一维流动 思考题：如果对于图（a）中有 Vx=0，Vy=0，Vz=Vz(x,y,z)则应该属于几维流动？其流动有何特点？说明一点：流动的维数与流体速度的分量数不是一回事。如图（a）、(b)所示（详细说明）本讲稿第六页，共五十一页（3）按流动状态可分为层流和湍流（1.2.3.）1883年，
4、著名的雷诺实验揭示出粘性流动有两种性质不同的型态，层流和湍流。流态的判断：判断指标是雷诺准数Re=ud/对于管内流动，Re4000为湍流。本讲稿第七页，共五十一页2.2 描述流体运动的两种方法 2.2.1拉格朗日法（又称质点法）通过研究流场中单个质点的运动规律，进而研究流体的整体运动规律。具体地说：是沿流体质点运动的轨迹进行跟踪研究。基本思想：将流体质点表示为空间坐标、时间的函数。在描述流体时，跟踪流体质点，指出各流体质点在不同时刻的位置和有关的物理参数（比如速度，压强、密度、温度）。本讲稿第八页，共五十一页 要跟踪流体，首先要区别流体质点，最简单的方法是：以某一初始时刻t0质点的位置作为质点
5、的标志。流体质点在不同时刻的位置用直角坐标系可表示为：r0r(a,b,c,t0)(x,y,z,t)x=x(a,b,c,t)y=y(a,b,c,t)z=z(a,b,c,t)23 式中：a,b,c被称为拉格朗日变数。不同的一组（a,b,c）表示不同的流体质点。24r=xi+yj+zk=r(a,b,c,t)或用矢量表示为本讲稿第九页，共五十一页 2-5 其加速度可表示为：2-6 式中式中：v x=vx(a,b,c,t)vy=vy(a,b,c,t)vz=vz(a,b,c,t)ax=ax(a,b,c,t)ay=ay(a,b,c,t)az=az(a,b,c,t)对于任一流体质点，其速度可表示为：本讲稿第十
6、页，共五十一页 同样流体密度、压力和温度可表示为：=（a,b,c,t）p=p（a,b,c,t）T=T（a,b,c,t）对于流体任一物理参数B均可类似地表示为 B=B(a,b,c,t).对于任一流体质点的任一物理参数B的变化率都可以表示为：本讲稿第十一页，共五十一页 用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到的，往往不能用统一的函数形式描述所有质点的物理参数的变化。所以这种方法只在少数情况下使用，在本书中主要使用欧拉法。本讲稿第十二页，共五十一页 2.2.2 欧拉法（也叫场法）欧拉法（也叫场法）基本思想基本思想：在确定的空间点上来考察流体的流动，将流体
7、的运动和物理参量直接表示为空间坐标和时间的函数，而不是沿运动的轨迹去追踪流体质点。例：在直角坐标系的任意点（x,y,z）来考察流体流动，该点处流体的速度、密度和压力表示为：v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+vy(x,y,z,t)j+vz(x,y,z,t)k =(x,y,z,t)p=p (x,y,z,t)本讲稿第十三页，共五十一页 按欧拉法，流动问题有关的任意物理量（可以是矢量，也可以是标量）均可表示为：=（x,y,z,t）若流场中任何一物理量都不随时间变化，这个流场就称之为稳态流场。相应的流动称为稳态流动或定常流动，或者说对于稳态流动有：看录像看录像本讲稿第十四页，共五十一页
8、 2.2.3 质点导数 定义：流体质点的物理量对于时间的变化率。拉格朗日法中，由于直接给出了质点的物理量的表达式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。如速度的质点导数（即加速度）为：（2-15）本讲稿第十五页，共五十一页 对于欧拉法描述的流场，质点导数以速度为例分析：假设在直角坐标系中存在速度场v(x,y,z,t)。设在时刻t和空间点p(x,y,z)处，流体质点的速度为：vp=v(x,y,z,t)zxyppvt 经过时间间隔t后，该流体质点运动到p(x+vxt,y+vyt,z+vzt)点，质点移动的距离为vt。在p点处流体质点的速度为：本讲稿第十六页，共五十一页 vp=v(x+vxt,y+v
9、yt,z+vzt,t+t)显然，经过时间间隔t后，流体质点的速度增量为：v=vp-vp=v(x+vxt,y+vyt,z+vzt,t+t)-v(x,y,z,t)对上式右边第一项作泰勒展开并略去二阶以上高阶无穷小量得：又由矢量运算公式：其中矢量算子 叫哈密顿算子本讲稿第十七页，共五十一页 于是质点的速度增量可以表示为：（2-16）则速度的质点导数加速度（2-17）由上式可见，在欧拉法中，流体速度的质点导数或加速度包括两部分：本讲稿第十八页，共五十一页 一部分是随空间的变化率 显示流场在空间中的不均匀性。另一部分是随时间的变化率v/t 表示流场的非稳态部分。通常用符号Dv/Dt来表示欧拉法中的质点导
10、数，则（2-17）式可以写成：类似地，可用同样方法得到其他物理量的质点导数，如密度和压力的质点导数分别为：本讲稿第十九页，共五十一页 推而广之，欧拉法中任意物理量的质点导数可以写成：本讲稿第二十页，共五十一页称为质点导数算子。以D/Dt表示的导数通常称为随体导数。为使用方便，给出柱坐标和球坐标系的质点导数算子的表达式：柱坐标：r径向坐标，周向坐标，z轴向坐标 球坐标：r径向坐标，周向坐标，轴向坐标本讲稿第二十一页，共五十一页例2-1.已知流场的速度为v=xti+ytj+ztk，温度为T=At2/(x2+y2+z2)。求：1）流体质点温度的变化率。2）速度变化率即加速度。本讲稿第二十二页，共五十
11、一页解：1）本讲稿第二十三页，共五十一页本讲稿第二十四页，共五十一页思考题：1.流体流动与固体运动有何区别？2.流体流动如何分类？3.拉格朗日法和欧拉法的基本思想有何不同？4.两种方法质点导数的求法是否相同？为什么？5.流体的速度导数包括那两部分？6.试写出哈密顿算子、质点导数算子的表达式。本讲稿第二十五页，共五十一页2.2.4两种方法的关系 拉格朗日法和欧拉法是描述流体运动的两种不同方法，对同一流场，两种方法都可以使用。因此两种方法在数学上是可以互相推导的。在拉格朗日法中，流体的运动和物理参数被表示成拉格朗日变数(a,b,c,t)的函数；在欧拉法中，流体的运动和物理参数则被表示成欧拉变数(x
12、,y,z,t)的函数。因此，两种方法之间的关系就是两种变数之间的数学变换。本讲稿第二十六页，共五十一页(1)拉格朗日表达式欧拉表达式可解得：则代入=(a,b,c,t)后，就得到该物理参数的欧拉法表达式 =(x,y,z,t)。若已知拉格朗日法变数(a,b,c,t)表示的物理参数=(a,b,c,t)。由式本讲稿第二十七页，共五十一页(2)欧拉法表达式拉格朗日表达式 对上面微分方程进行求解，其结果为：其中c1，c2，c3，是积分常数，由t=t0时的初始条件(a,b,c)决定。于是有 若已知用欧拉法变数(x,y,z,t)表示的物理量=(x,y,z,t)，则首先由欧拉法的速度表达式求出欧拉变数本讲稿第二
13、十八页，共五十一页并代入欧拉方法表达式=(x,y,z,t)后就得到该物理量的拉格朗日法表达式=(a,b,c,t)。本讲稿第二十九页，共五十一页2.3.1迹线 定义：流体质点的运动轨迹曲线称为迹线。迹线是某一流体质点在一段时间内所经过的路径。(看录像)拉格朗日法表达式就是迹线的参数方程，即：2.3迹线和流线本讲稿第三十页，共五十一页 从这个方程组中消去参数t并给定(a,b,c)的质点就可以得到以x,y,z表示的流体质点(a,b,c)的轨迹。在欧拉方法中，将速度定义v=dr/dt中的dr理解为质点在时间间隔dt内所移动的距离。因此，轨迹的微分方程即解这个方程并消去参数t后可得到迹线方程。本讲稿第三
14、十一页，共五十一页例2-2.已知用欧拉法表示的速度场 v=Axi-Ayj其中A为常数。求：流体质点的轨迹方程。本讲稿第三十二页，共五十一页 解：解：方法一方法一 用速度场的迹线的微分方程为分离变量得：分别积分上式得：其中，c1，c2是积分常数。消去参数t得迹线方程:该流场中流体质点的迹线为一双曲线。（b）(a)本讲稿第三十三页，共五十一页 方法二 拉格朗日法 由(b)式得：对于t=t0时位于x=x0=a,y=y0=b的流体质点，由上式可得拉格朗日变数为：于是可得积分常数 （c）本讲稿第三十四页，共五十一页其结果与欧拉法结果相同。说明一点：拉格朗日法的结果也可写成 再代入(c)式的该质点的轨迹参
15、数方程本讲稿第三十五页，共五十一页 2.3.2流线(1)流线的定义与性质 定义：流线是任一时刻流场中存在的这样一条曲线，该曲线上任一点的切线方向与流体在该点的速度方向一致。（看录像）注意：流线与迹线是两个不同的概念。流线是同一时刻不同质点构成的一条流体线(可用照相机实现)；而迹线是同一质点在不同时刻经过的空间点所构成的轨迹线(可用录像机实现)。（看录像）本讲稿第三十六页，共五十一页 流线的性质：1）除了在速度为零（质点运动方向不确定或任意）和无穷大的那些点（该点流体运动是不连续）以外，经过空间一点只有一条流线，即流线不能相交，因为在空间每一点只能有一个速度方向；2）流场中每一点都有流线通过，所
16、有的流线形成流线谱流线谱；3）稳态流动时流线的形状和位置不随时间变化，并与迹线重合。非稳态流动时流线的形状和位置是随时间变化的。本讲稿第三十七页，共五十一页（2）流线方程流线上矢量增量与质点速度流线流线zxryrvdr0设r是流线上某点的位置矢量，v是流体在该点的速度矢量。根据流线的定义，由于速度与流线相切，所以流线微元段对应的矢径增量必然与该点的速度平行，由于两个平行矢量的乘积为零，所以有即本讲稿第三十八页，共五十一页 上式即为流线方程的矢量表达式。在直角坐标系中表示为：（解释）说明：由于流线是对同一时刻而言的，所以在上面方程积分时，变量t被当作常数处理。在非稳态流动下，流体速度是空间坐标和
17、时间的函数，在积分结果中则包含t，因此不同时刻有不同的流线。本讲稿第三十九页，共五十一页例2-3.已知直角坐标系中的速度场 vx=x+t，vy=y+t试求：迹线方程；流线方程；以拉格朗日变数表示的流体速度。本讲稿第四十页，共五十一页 解：将vx=x+t，vy=y+t代入迹线微分方程得：解这个一阶常系数微分方程得：其中a，b为积分常数。将vx=x+t，vy=y+t代入流线微分方程得：本讲稿第四十一页，共五十一页t 被看成常数，则积分上式得：即：由这个流线方程可见，流线是随时间变化的，不同时刻有不同的流线。将迹线方程代入欧拉速度表达式或由迹线方程求时间偏导数可得拉格朗日法表示的速度为：本讲稿第四十
18、二页，共五十一页总结：1.拉格朗日法和欧拉法是描述流体运动的两种不同方法，对同一流场，两种方法都可以使用。因此两种方法在数学上是可以互换的。2.拉格朗日法表达式就是迹线的参数方程为：从这个方程组中消去参数t并给定(a,b,c)的质点就可以得到以x,y,z表示的流体质点(a,b,c)的轨迹。本讲稿第四十三页，共五十一页4.流线微分方程在直角坐标系中表示为：3.在欧拉方法中解下面方程并消去参数t后可得到迹线方程。本讲稿第四十四页，共五十一页2.3.3 流管 定义：在流场中，作一条不与流线重合的任意封闭曲线，则通过此曲线的所有流线将构成一个管状曲面，这个管状曲面称为流管。几点说明：（1）根据流线不相
19、交的性质，流管表面不可能有流体穿过；（2）稳态流动时，流管的形状和位置都不随时间变化；（3）非稳态流动时，流管的形状和位置一般都是随时间而变化的。本讲稿第四十五页，共五十一页n2v2流线流线v1n1dAdAA1A2如图所示，流管表面与两个流管截面A1，A2构成一个封闭的曲面。在稳态流动条件下，该封闭曲面中的流体质量不随时间变化，又由于流管表面没有流体流线通过，则根据质量守恒原理，从A1进入流管流体的质量必然等于从A2流出的流体质量。若用qm表示流体的质量流量，则有如下的关系：本讲稿第四十六页，共五十一页其中，v分别表示流体在界面A的微元面dA处的密度和速度矢量，为dA法线方向的单位矢量，表示v
20、在 上的投影即垂直于dA的法向速度。特别地，对不可压缩流体有：上式说明，实际流场中，流管截面不能收缩到零，否则，在此处的流速要达到无穷大，显然是不可能的，也就是说，流管不能在流场内部中断。本讲稿第四十七页，共五十一页 如果流体团相对于固定在它上面的坐标系而言做有旋转运动，则称为有旋流动，但流体运动是否有旋，与流体团本身的运动轨迹无关。2.4.1有旋运动 设有速度场 令则称为涡量或涡度。在直角坐标系中，于是有：2.4有旋流动和无旋流动本讲稿第四十八页，共五十一页 涡量是表明流体旋转运动的物理量。若流体流动中 则称该流动为有旋流动，也叫漩涡流动。（看录像）由涡量定义有：连续性方程。【该式在附录中有P277(12)】该式称为涡量的 2.4.2 无旋流动的流动称为无旋流动。将在以后讨论。本讲稿第四十九页，共五十一页2.4.3流体的不可压缩条件 对于不可压缩流体，其流体团在流动过程中形状发生变化，但体积不变，因此有连续性方程或称为流体的不可压缩条件：称为流体的散度本讲稿第五十页，共五十一页本章作业：1.课后P35页2-2,2-6 2.已知速度场求t=0时通过点A(-1，1)的流线。本讲稿第五十一页，共五十一页