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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载一元二次方程的概念与方程的解【学问点】：1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式,只含有一个未知数（一元）,并且未知数的最高次数是2（二次）的方程,叫做一元二次方程2、一般地,任何一个关于 x 的一元二次方程,种形式叫做一元二次方程的一般形式（其中 axc 是常数项 ）. 经过整理, . 都能化成如下形式 ax 2+bx+c=0（a 0）这2 是二次项, a 是二次项系数； bx 是一次项, b 是一次项系数；3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解
2、（又叫作根）【例题精讲】: 例 1、以下关于x 的方程中,肯定是一元二次方程的是；k2x + 5k + 6 = 0 ；2 x2 3 x 41 = 0 ； 3x 22 + 12 = 0 ；x3x2 + 2x2 = 0 ；（ 3x）2 = 1；（ 2x 1）2 = （x1）（4x + 3 ）；例 2、如关于 x的方程 m2 xm2 m3 x4 m是一元二次方程,求m的值；例 3、关于 x 的方程 x（3x3） 2x（x1） 2 = 0 ,指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项；例 4、关于 x 的一元二次方程（a1）x2 x + a21 = 0的一根是 0,就 a 的值为（） A、1 B、 1
3、 C、1 或 1 D、1 ；2【夯实基础练】 ：一）、填空题：1、方程（ x 4）2 = 3x + 12的二次项系数是,一次项系数是,常数项是；2、（11 滨州）如 x=2 是关于 x 的方程x2xa250的一个根,就a 的值为 _. 3、已知关于x 的方程mxm1m3 x5是一元二次方程,就m 2 = ；4、（ 2022 惠山区）一元二次方程（a+1）x 2-ax+a 2-1=0 的一个根为 0,就 a= 5、已知关于 x 的方程 ax 2 + bx + c = 0（a 0）的两根为 1 和 1,就 a + b + c= ,ab + c = 6、关于 x 的方程（k 21）x 2 + 2（k
4、1）x + 2k + 2 =0,当 k 时,为一元二次方程； 当 k = 时,为一元一次方程；二）、挑选题：1、以下方程中,不是一元二次方程的是（135）x10 D 、x2xx1 x2A、3x22x10 B、1x2 C、0 .1 x2252、方程32x21 x3 x3 3 x化为一般形式后,a、b、c 的值分别为（） A 、a = 5 ,b = 3 ,c = 5 B、a = 5 ,b = 3,c = 5 C、a = 7 ,b = 3 ,c = 5 D、a =8 , b = 6 , c = 1 三）、解答题：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -
5、第 1 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 1 、已知关于x 的方程（ m 21）x精品资料欢迎下载2 + （m + 1 ）x + 1 = 0 （1）当 m为何值时,此方程为一元二次方程？（2）当 m 为何值时,此方程为一元一次方程？2、关于 x 的方程（ m + 2 ）2x2 + 3m2x + m24 = 0有一根为 0,求 2m 24m + 3 的值；3、已知 x = 2 是方程 x2mx + 2 =0的一个根,试化简m22 m196m2 m；【才能提高练】 ：1、试证明关于 x 的方
6、程（ m 28m + 17 ）x 2 +2m +1 =0 ,不论 m为何值,该方程都是一元二次方程；2、已知 x 2 +3x +1 的值为 5,就代数式 2x 2 +6x2 的值为多少？3、设a,b是一个直角三角形两条直角边的长,且a2b2a2b21 12,求这个直角三角形的斜边长；4、如2x5y30,就4x32y的值是多少？一元二次方程的解法细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载
7、【学问点】：1、懂得解一元二次方程的“ 降次” 思想,将一元二次方程“ 化成” 两个一元一次方程xp2、直接开平方法：假如方程能化成x 2p 或mxn 2p p0的形式,那么直接开平方可得或 mxnp 3、配方法：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫作配方法；配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程；4、公式法：公式xb2 b4 ac（b24ac0）称为一元二次方程的求根公式,用此公式解一元2a二次方程的方法叫公式法；5、利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0 的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次 这种解法叫作因式分解法6、一元二次方程根的判别式：
8、b 2-4ac 叫根的判别式； （1）当 b 2-4ac0 时, 一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）. 有两个不相等实数根即x1=b2 b4 ac, x2=b2 b4 ac2 a2 a（2）当 b-4ac=0 时,一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）有两个相等实数根即x1=x2=b2 a（3）当 b2-4ac0 时,有两个不相等实数根；当 时,有两个相等的实数根,当0,减小时 x0）,n 为变化次数, b 为变化后的量；例 1：某种电脑病毒传播特别快,假如一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染请你用学过的学问分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？如病毒得不
9、到有效掌握,3 轮感染后,被感染 的电脑会不会超过 700 台？例 2、（2022 日照 ）为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋 ” ,某市加快了廉租房的建设力度2022年市政府共投资2 亿元人民币建设了廉租房8 万平方米,估量到2022 年底三年共累计投资9.5 亿元人民币建设廉租房,如在这两年内每年投资的增长率相同1求每年市政府投资的增长率；2如这两年内的建设成本不变,求到【类题练习】 ：2022 年底共建设了多少万平方米廉租房1. （2022 黔西南） 某机械厂七月份生产零件 B50 万个,如第八、 九月的增长率相同,且第三季度生产零件196万个（）、50+50（1+x 2）=19
10、6A 、50（1+x2）=196 C、 50+50（ 1+x）+50（1+x 2） =196 D、 50+ 50（ 1+x） +50（1+2x）=196 2、（2022 广安）广安市某楼盘预备以每平方米 6000 元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出 台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,打算以每平方米 4860 元的均价开盘销售；（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人预备以开盘价均价购买一套100 平方米的住房, 开发商赐予以下两种优惠方案以供挑选：打 9.8折销售；不打折,一次性送装修费每平方米80 元,试问哪种方案更优惠？细心整理归纳 精
11、选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载3（2022 东营）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速进展,汽车已越来越多的进入一般家庭,成为居民消费新的增长点；据某市交通部门统计,2022 年底全市汽车拥有量为15 万辆,而截止到2022 年底,全市的汽车拥有量已达21.6 万辆；（1）求 2022 年底至 2022 年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了爱护环境,缓解汽车拥堵状况,从 20
12、22 年起,该市交通部门拟掌握汽车总量,要求到 2022 年底全市汽车拥有量不超过 23.196 万辆； 另据估量, 该市从 2022 年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的 10%；假定在这种情形下每年新增汽车数量相同,请你运算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆；2、与面积有关的几何问题：娴熟运用相关的面积公式列方程,留意有时为了利于运算,需要对图形进行变换或割补等方法；例 3、在宽 20m,长为 32m的矩形耕地上修三条同样宽的耕作道路,使耕地面积为 504m ,道路宽应为多少？2例 4、一块长和宽分别为 40 厘米和 250 厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方
13、形,折成一个无盖的长方体纸盒,使它的底面积为 7200 平方厘米 . 那么纸盒的高是多少？例 5、如图某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 （墙长 18m）,另三边用木栏围成,木栏长 35m；鸡场的面积能达到 150m 2 吗？鸡场的面积能达到 180m 2吗？假如能,请你给出设计方案；假如不能,请说明理由；（ 3）如墙长为 a m,另三边用竹篱笆围成,题中的墙长度 am对题目的解起着怎样的作用 .细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - -
14、 - - - - - - - - - - - -【类题练习】: 精品资料欢迎下载1、在一块长10 米,宽 8 米的矩形草坪中心,划出面积为48 平方米的矩形草地栽花,使原先矩形四周剩下的草坪的宽度相同,求这个宽度；2、将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 .（ 1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm 2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少 .（2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm 2 吗. 如能,求出两段铁丝的长度；如不能,请说明理由 . 3、（2022 湘潭）如图,某中学预备在校内里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园 ABC
15、D （围墙 MN 最长可利用 25m）,现在已备足可以砌 50m 长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m 23、营销问题：总利润 =销售总额 - 总成本 -其他费用 总利润 =（销售单价 - 进货单价） 销售数量- 其他费用（留意：销售量的表达式；）例 6、国美电器城电视机专卖柜台平均每天售出电视机 50 台,每台赢利 400 元,经市场调查发觉,如每台电视机降价 10 元,每天可多卖出 5 台,店长方案在元旦当天降价促销,且达到 30000 元利润,问每台电视机应降价多少元？例 7、某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品, .据市场分析, .如每千克 50 元销售,
16、一个月能售出 500kg,销售单价每涨1 元,月销售量就削减10kg,针对这种水产品情形,请解答以下问题：. 第 11 页,共 14 页 - - - - - - - - - （1）当销售单价定为每千克55 元时,运算销售量和月销售利润（2）商品想在月销售成本不超过10000 元的情形下,使得月销售利润达到8000 元,销售单价应为多少细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载【类题练习】 ：1. 某商店将进货价 8 元的商品按 10元售出,每天可销
17、售 200 件,在经营中发觉该商品每件的售价提高 0 . 5 元,其销量就削减 10件,问该商品每件售价定为多少元,才能使每天利润为 640 元？2. （2022 义乌）商场某种商品平均每天可销售 30 件,每件盈利 50 元. 为了尽快削减库存,商场打算实行适当的降价措施. 经调查发觉, 每件商品每降价1 元,商场平均每天可多售出2 件设每件商品降价x 元. 据此规律,请回答：（1）商场日销售量增加 件,每件商品盈利 元（用含 x 的代数式表示） ；（2）在上述条件不变、销售正常情形下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到 2100 元？3、山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克 40 元
18、,按每千克 60 元出售,平均每天可售出 100 千克,后来经过市场调查发觉,单价每降低2 元,就平均每天的销售可增加20 千克,如该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240 元,请回答：（ 1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情形下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售？4、（ 2022.南京）某汽车销售公司6 月份销售某厂家的汽车,在肯定范畴内,每部汽车的进价与销售量有如下关系：如当月仅售出 1 部汽车,就该部汽车的进价为 27 万元,每多售出 1 部,全部售出的汽车的进价均降低 0.1 万元 /部,月底厂家依据销售量一次性返利给销售公司,销售量在 1
19、0 部以内（含 10 部）,每部返利0.5 万元；销售量在 10 部以上,每部返利 1 万元（1）如该公司当月售出 3 部汽车,就每部汽车的进价为 万元；（2）假如汽车的售价为 28 万元 /部,该公司方案当月返利 12 万元,那么汽需要售出多少部车？（盈利 =销售利润 +返利）4、球赛问题：（1）. 如是单循环赛,就 x 个队,每个队需赛（x1）场,共赛 1 xx 1 场（握手问题与此2同类）；如每两队之间赛 2 场,就共赛 xx 1 场（互赠贺卡问题与此同类）；例 8、.要组织一场篮球联赛 , 每两队之间都赛 2 场,方案支配 90 场竞赛 ,应邀请多少个球队参与竞赛 . 细心整理归纳 精
20、选学习资料 第 12 页,共 14 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载【类题练习】 ：1. 元旦期间 , 一个小组有如干人, 新年互送贺卡一张, 已知全组共送贺卡132 张, 就这个小组共有多少人. 91,2.某种植物的主干长出如干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干 ,支干和小分支的总数是每个支干长出多少小分支 . 其他问题：例 9. 【动点问题】如图：ABC 中,B 90 , AB AB= 6 ,BC=8,点
21、P 从 A点开头沿 AB边向点 B 以 1 5 cm, BC 7/s 的速度移动,点 Q从 B 点开头沿 BC边向点 C以 2 /s 的速度移动,就 P、Q分别从 A、B 同时动身,经过C多少秒钟,PBQ 的面积等于 8 2？QAPB【类型题】 1、已知：如下列图,在边向点 B 以 1cm/s 的速度移动,点ABC 中,B 90 , AB 5 cm, BC 7 cm . 点 P 从点 A 开头沿 ABQ 从点 B 开头沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动 . （1）假如 P, Q 分别从A,B同时动身,那么几秒后,PBQ 的面积等于4cm 2？（2）假如P,Q分别从A,B同时动身,那么几秒后, PQ 的长度等于5cm？（ 3）在（