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1、专题训练专题训练分式运算的技巧分式运算的技巧一、条件求值的三种技巧条件求值与常规的化简求值这两类问题的相同点:都是求某个式子的值.不同点:(1)前者给出的是字母满足的条件,后者给出的是字母的值,因此前者不能将字母的值直接代入计算;(2)前者中的待求式子通常侧重于变形,而后者则侧重于化简.技巧一整体法为了把已知条件和待求的式子联系起来,我们常把 a+b,a-b,ab,a2+b2等当作整体,因为根据题目的条件有时不能求出a,b的值,或即使能求出a或b的值,也没必要求出,那样会“走弯路”或把问题复杂化.选择某个式子作为整体不是固定不变的,应视具体条件而定,只要它能把已知和未知“沟通”起来,就可把它当
2、作整体.1.已知实数 x 满足 x+1?=3,则 x2+1?2的值为()A.6B.7C.8D.92.已知 a2+3ab+b2=0(a0,b0),则?+?的值为.3.已知 x+y=xy,求1?+1?-(1-x)(1-y)的值.4.已知 x2-4x+1=0,求2(?-1)?-4-?+6?的值.技巧二倒数法?+?的倒数是?+?,而?+?可拆成1?与1?的和,即?+?=1?+1?.这种先取倒数后拆项的方法可使某些让我们“束手无策”的问题迎刃而解.5.若 x2-5x+1=0,则?2?4+1的值为.6.已知三个数 x,y,z 满足?+?=-2,?+?=43,?+?=-43,求?+?+?的值.技巧三转化法利
3、用分式的基本性质和已知条件,把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法.7.已知 a,b 为实数,且 ab=2,则?+1+?+2的值为()A.1B.2C.3D.48.若 ab=1,则31+?2+31+?2=.9.已知 a,b,c 为实数,且 abc=1,求?+?+1+?t+?+1+tt?+t+1的值.二、异分母分式加减法的两种技巧异分母分式加减法的常规做法:先确定各分式的最简公分母,再通分,这样即可把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减.但是对于某些特殊的异分母分式的加减运算,可以采取约分或运用分配律等方法转化为同分母分式的加减运算或整式的运算,从而达到异曲同工的效果.技巧一约分10.计算
4、?2-1?2+2?+1+2?+1的结果是()A.1B.2C.3D.411.计算:?2+9?2+3?+?2-9?2+6?+9=.12.计算:?2-?2?+?-4?(?-?)+?22?-?.13.先化简,再求值:(?2-4?2-4?+4-12-?)2?2-2?,其中 a 满足 a2+3a+1=0.技巧二运用分配律含有括号的分式混合运算,通常先算括号里面的,但对有些算式运用分配律,既可以达到去括号的目的,又可以把异分母分式的加减运算转化为整式运算.14.计算(?-2-?+2)?4-?2的结果是()A.-4B.4C.2aD.-2a15.先化简,再求值:?2-1?(3?-1-?+1),其中 a=2.16
5、.先化简,再求值:(?2-16?2+8?+16+?-4)1?2-16,其中 x=3.17.先化简,再求值:12?-1?-?(?-?2?-a2+b2),其中 a=10,b=5.答案1.B原式=(x+1?)2-2=32-2=7.故选 B.2.-3a2+3ab+b2=0,a2+b2=-3ab.?+?=?2+?2?=-3?=-3.3.解:因为 x+y=xy,所以原式=?+?-(1-x-y+xy)=?+?-1+x+y-xy=1-1+0=0.4.解:2(?-1)?-4-?+6?=2?(?-1)-(?-4)(?+6)?(?-4)=?2-4?+24?2-4?.因为 x2-4x+1=0,所以 x2-4x=-1.
6、所以原式=-1+24-1=-23.5.123显然 x=0 不是方程 x2-5x+1=0 的解,由此可将方程 x2-5x+1=0 的两边同时除以 x,得?2-5?+1?=0.左边拆开得 x-5+1?=0,即 x+1?=5.两边同时平方,得 x2+2+(1?)2=25.所以 x2+1?2=23,即?4+1?2=23.所以?2?4+1=123.6.解:依题意,得 xyz0,则1?+1?=-12,1?+1?=34,1?+1?=-34.以上三个方程相加,得 2(1?+1?+1?)=-12,即?+?+?=-14.所以?+?+?=-4.7.A将第一个分式的分子和分母同时乘 b,得原式=?+?+?+2.因为
7、ab=2,所以原式=2?+2+?+2=?+2?+2=1.故选 A.8.3将第二个分式的分子和分母同时乘 a2,得原式=31+?2+3?2?2+(?)2.因为 ab=1,所以原式=31+?2+3?21+?2=3(1+?2)1+?2=3.9.解:将第二个、第三个分式的分子和分母分别乘 a,ab,得原式=?+?+1+?t+?+?+?t?2?t+?t+?.因为 abc=1,所以原式=?+?+1+?1+?+?+1?+1+?=?+?+1?+?+1=1.10.A原式=(?-1)(?+1)(?+1)2+2?+1=?-1?+1+2?+1=?+1?+1=1.故选 A.11.2原式=?(?+9)?(?+3)+(?-
8、3)(?+3)(?+3)2=?+9?+3+?-3?+3=2(?+3)?+3=2.12.解:原式=(?+?)(?-?)?+?-(2?-?)22?-?=x-y-(2x-y)=-x.13.解:原式=(?-2)(?+2)(?-2)2-12-?2?2-2?=?+2?-2+1?-2?(?-2)2=12(a2+3a).因为 a2+3a+1=0,所以 a2+3a=-1.所以原式=12(-1)=-12.14.A原式=?-24-?2?-?+24-?2?=-(a+2)+(a-2)=-4.故选 A.15.解:原式=?2-1?3?-1-?2-1?+1=3(a+1)-(a-1)=2a+4.当 a=2 时,原式=22+4=8.16.解:原式=(?-4)(?+4)(?+4)2+?-41?2-16=(?-4?+4+?-40(x+4)(x-4)=(x-4)2+x(x+4)=2x2-4x+16.当 x=3 时,原式=22.17.解:原式=12?-1?-?-?2?+?2-?2?-?=12?-12?+a+b=a+b.当 a=10,b=5 时,原式=10+5=15.