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1、专题训练全等三角形的基本模型 模型一从教材数学活动(P53)中的筝形,探究全等基本轴对称模型1.定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.如图,若AD=CD,AB=CB,则四边形ABCD是筝形.(1)在同一平面内,ABC与ADE按图所示的方式放置,其中B=D=90,AB=AD,BC与DE相交于点F,请你判断四边形ABFD是不是筝形,并说明理由;(2)请你结合图,写出筝形的一个判定方法(定义除外):在四边形ABCD中,若,则四边形ABCD是筝形.2.我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图,四边形ABCD是筝形,其中AB=AD,CB=CD,P是对角线AC上除A,C外的任意一点.求证:ABP
2、=ADP.常见的轴对称模型还有(如图):模型二全等基本旋转模型之一中点加倍型基本模型:如图,D是BC的中点,DE=AD.模型变形1:如图,D是BC的中点,CFAD,BEAD.模型变形2:如图,D是BC的中点,MD=DN.3.如图,在ABC中,AB=8,AC=5,AD是ABC的中线,则AD的取值范围是.4.如图,在ABC中,AD是中线,CEAD于点E,BFAD交AD的延长线于点F.求证:BF=CE.5.如图所示,BAC=BCA,AD为ABC中BC边上的中线,延长BC至点E,使CE=AB,连接AE.求证:CAD=CAE.6.如图,已知AD是ABC的中线,AMAB,AM=AB,ANAC,AN=AC.
3、求证:MN=2AD.常见的旋转模型还有(如图):模型三一线三等角模型常见的一线三等角模型:7.探究:如图,点B,C分别在MAN的边AM,AN上,点E,F在MAN内部的射线AD上,1,2分别是ABE,CAF的外角.已知AB=AC,1=2=BAC.求证:ABECAF.拓展:如图,在ABC中,AB=AC,ABBC,点D在边BC上,且CD=2BD,点E,F在线段AD上,1=2=BAC.若ABC的面积为15,求ABE与CDF的面积之和.8.(1)如图,在ABC中,BAC=90,AB=CA,直线m经过点A,BD直线m,CE直线m,垂足分别为D,E.求证:DE=BD+CE.(2)如图,将(1)中的条件改为:
4、在ABC中,AB=CA,D,A,E三点都在直线m上,并且有BDA=AEC=BAC=,其中为任意锐角或钝角,则结论DE=BD+CE是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.答案1.解:(1)四边形ABFD是筝形.理由:连接AF.在RtAFB和RtAFD中,AF=AF,AB=AD,RtAFBRtAFD(HL).BF=DF.又AB=AD,四边形ABFD是筝形.(2)答案不唯一,如图AD=CD,ADB=CDB2.证明:在ABC和ADC中,AB=AD,AC=AC,CB=CD,ABCADC(SSS).BAC=DAC.在BAP和DAP中,AB=AD,BAP=DAP,AP=AP,BAPDAP(SA
5、S).ABP=ADP.3.1.5AD6.5 如图,延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.AD是ABC的中线,BD=CD.在ADC和EDB中,CD=BD,ADC=EDB,AD=ED,ADCEDB(SAS).AC=EB.AB-EBAEAB+EB,AB-AC2ADAB+AC.AB=8,AC=5,1.5AD6.5.4.证明:CEAD,BFAD,CED=BFD=90.AD是ABC的中线,BD=CD.在BFD和CED中,BFD=CED,BDF=CDE,BD=CD,BFDCED(AAS).BF=CE.5.证明:如图,延长AD到点F,使得DF=AD,连接CF.AD为ABC中BC边上的中线,BD=CD.在AD
6、B和FDC中,AD=FD,ADB=FDC,BD=CD,ADBFDC(SAS).AB=CF,B=DCF.CE=AB,CE=CF.ACE=B+BAC,ACF=DCF+BCA,BAC=BCA,ACE=ACF.在ACF和ACE中,AC=AC,ACF=ACE,CF=CE,ACFACE(SAS).CAD=CAE.6.证明:如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.AD是ABC的中线,BD=CD.在BDE和CDA中,BD=CD,BDE=CDA,DE=DA,BDECDA(SAS).BE=AC=AN,DBE=DCA.ACBE.ABE+BAC=180.BAM=CAN=90,MAN+BAC=180.ABE=MA
7、N.在ABE和MAN中,AB=MA,ABE=MAN,BE=AN,ABEMAN(SAS).AE=MN.AE=2AD,MN=2AD.7.解:探究:证明:1=2=BAC,且1=BAE+ABE,2=CAF+ACF,BAC=BAE+CAF,BAE=ACF,ABE=CAF.在ABE和CAF中,BAE=ACF,AB=CA,ABE=CAF,ABECAF(ASA).拓展:1=2=BAC,且1=BAE+ABE,2=CAF+ACF,BAC=BAE+CAF,BAE=ACF,ABE=CAF.在ABE和CAF中,BAE=ACF,AB=CA,ABE=CAF,ABECAF(ASA).SABE=SCAF.SABE+SCDF=S
8、CAF+SCDF=SACD.CD=2BD,ABC的面积为15,SACD=10.SABE+SCDF=10.8.解:(1)证明:BD直线m,CE直线m,BDA=AEC=90.BAD+ABD=90.BAC=90,BAD+CAE=90.CAE=ABD.在ADB和CEA中,ABD=CAE,BDA=AEC,AB=CA,ADBCEA(AAS).BD=AE,AD=CE.DE=AE+AD=BD+CE.(2)成立.证明:BDA=BAC=,DBA+BAD=BAD+EAC=180-.DBA=EAC.在ADB和CEA中,DBA=EAC,BDA=AEC,AB=CA,ADBCEA(AAS).BD=AE,AD=CE.DE=AE+AD=BD+CE.