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1、第2章数值积分本讲稿第一页，共六十二页数值微分1.函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值，2.函数f(x)过于复杂这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值微积分中，关于导数的定义如下：自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商本讲稿第二页，共六十二页向前差商x0 x0+h本讲稿第三页，共六十二页由Taylor展开因此，有误差本讲稿第四页，共六十二页向后差商x0-hx0本讲稿第五页，共六十二页由Taylor展开因此，有误差本讲稿第六页，共六十二页中心差商x0-hx0 x0+h本讲稿第七页，共六十二页由Taylor展开因此，有误差本讲稿第八页，共六十二页由误差表达式，h越小
2、，误差越小，但同时舍入误差增大，所以，有个最佳步长我们可以用事后误差估计的方法来确定设D(h),D(h/2)分别为步长为h,h/2 的差商公式。则时的步长h/2 就是合适的步长本讲稿第九页，共六十二页f(x)=exp(x)hf(1.15)R(x)hf(1.15)R(x)0.103.1630-0.00480.053.1590-0.00080.093.1622-0.00400.043.1588-0.00060.083.1613-0.00310.033.1583-0.00010.073.1607-0.00250.023.1575-0.00070.063.1600-0.00180.013.1550-0
3、.0032例：本讲稿第十页，共六十二页 插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数误差插值型数值微分本讲稿第十一页，共六十二页给定点列且，求解：例：本讲稿第十二页，共六十二页Taylor展开分析，可以知道，它们都是称为三点公式三点公式本讲稿第十三页，共六十二页数值积分关于积分，有Newton-Leibniz 公式但是，在很多情况下，还是要数值积分：1、函数有离散数据组成2、F(x)求不出3、F(x)非常复杂定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合称为积分系数积分系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关本讲稿第十四页，共六十二页为数值积
4、分，为积分，则称数值积分有k阶代数精度阶代数精度是指：两个问题：1、系数ai如何选取，即选取原则2、若节点可以自由选取，取什么点好？代数精度代数精度 对任意次数不高于k次的多项式f(x)，数值积分没有误差本讲稿第十五页，共六十二页用插值函数的积分，作为数值积分代数精度代数精度由Lagrange插值的误差表达式，有可以看出，至少n 阶代数精度插值型本讲稿第十六页，共六十二页Vandermonde行列式使用尽可能高的代数精度已知求系数所以，要存在唯一，mn，确定一个n1 阶的方程组待定系数法本讲稿第十七页，共六十二页所以，m=n时存在唯一，且至少n阶代数精度。与节点的选取有关。若数值积分至少n阶代
5、数精度，则系数唯一误差误差本讲稿第十八页，共六十二页一点数值积分0阶代数精度1阶代数精度例：本讲稿第十九页，共六十二页Newton-Cotes 积分若节点可以自由选取，则，一个自然的办法就是取等距节点。对区间做等距分割。该数值积分称为Newton-Cotes积分本讲稿第二十页，共六十二页设节点步长(b-a)与步长h无关，可以预先求出本讲稿第二十一页，共六十二页N1时梯形公式本讲稿第二十二页，共六十二页N2 时Simpson公式本讲稿第二十三页，共六十二页1、梯形公式此处用了积分中值定理误误差差本讲稿第二十四页，共六十二页2、Simpson 公式 注意到，Simpson 公式有3 阶代数精度，因
6、此为了对误差有更精确地估计，我们用3 次多项式估计误差为0本讲稿第二十五页，共六十二页一般的有因此，N-C积分，对偶数有n1 阶代数精度，而奇数为n 阶代数精度本讲稿第二十六页，共六十二页复化积分数值积分公式与多项式插值有很大的关系。因此Runge现象的存在，使得我们不能用太多的积分点计算。采用与插值时候类似，我们采用分段、低阶的方法本讲稿第二十七页，共六十二页误差误差做等距节点，复化梯形公式本讲稿第二十八页，共六十二页由均值定理知可以看出，复化梯形公式是收敛的。本讲稿第二十九页，共六十二页误差误差做等距节点，复化Simpson公式本讲稿第三十页，共六十二页由均值定理知可以看出，复化Simps
7、on公式是收敛的。本讲稿第三十一页，共六十二页 若若一一个个积积分分公公式式的的误误差差满满足足 且且C 0，则则称称该公式是该公式是 p 阶收敛阶收敛的。的。例：例：计算计算解：解：其中其中=3.138988494其中其中=3.141592502运算量基运算量基本相同本相同本讲稿第三十二页，共六十二页 函数变化有急有缓，为了照顾变化剧烈部分的误差，我们需要加密格点。对于变化缓慢的部分，加密格点会造成计算的浪费。以此我们介绍一种算法，可以自动在变化剧烈的地方加密格点计算，而变化缓慢的地方，则取稀疏的格点。积分的自适应计算积分的自适应计算本讲稿第三十三页，共六十二页先看看事后误差估计事后误差估计
8、以复化梯形公式为例n等分区间2n等分区间近似有：类似，复化Simpson公式本讲稿第三十四页，共六十二页自适应计算记为复化一次，2次的Simpson公式控制求本讲稿第三十五页，共六十二页是本讲稿第三十六页，共六十二页由前面的事后误差估计式，则，这启发我们，可以用低阶的公式组合后称为一个高阶的公式。类似，Romberg积分积分本讲稿第三十七页，共六十二页记为以步长为h的某数值积分公式，有本讲稿第三十八页，共六十二页有如下的Euler-Maclaurin定理若为2m阶公式，则Romberg 积分就是不断地用如上定理组合低阶公 式为高阶公式，进而计算积分 Romberg 算法：算法：?T1=)0(0
9、T T8=)3(0T T4=)2(0T T2=)1(0T S1=)0(1T R1=)0(3T S2=)1(1T C1=)0(2T C2=)1(2T S4=)2(1T本讲稿第三十九页，共六十二页Lab03 复化积分1.分别编写用复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序2.用如上程序计算积分取节点xi,i=0,N，N 为 2k,k=0,1,12，并估计误差3.简单分析你得到的数据本讲稿第四十页，共六十二页重积分的计算 在微积分中，二重积分的计算是用化为累次积分的方法进行的。计算二重数值积分也同样采用累次积分的计算过程。简化起见，我们仅讨论矩形区域上的二重积分。对非矩形区域的积
10、分，大多可以变化为矩形区域上的累次积分。a,b,c,d 为常数，f 在D 上连续。将它变为化累次积分首先来看看复化梯形公式的二重推广本讲稿第四十一页，共六十二页做等距节点，x轴，y轴分别有：先计算，将x作为常数，有再将y作为常数，在x方向，计算上式的每一项的积分二重积分的复化梯形公式二重积分的复化梯形公式本讲稿第四十二页，共六十二页本讲稿第四十三页，共六十二页系数，在积分区域的四个角点为1/4，4个边界为1/2，内部节点为1误差本讲稿第四十四页，共六十二页类似前面有：记二重积分的复化二重积分的复化Simpson公式公式做等距节点，x轴，y轴分别有：m，n为偶数本讲稿第四十五页，共六十二页误差本
11、讲稿第四十六页，共六十二页Gauss型积分公式 Newton-Cotes 积分公式，可以知道n为偶数时，n1个点数值积分公式有n1阶精度。是否有更高的代数精度呢？n个点的数值积分公式，最高可以到多少代数精度？本节会解决这个问题。本讲稿第四十七页，共六十二页例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有4个未知量，可以列出4个方程：（以f(x)在-1,1为例）可解出：数值积分公式具有3阶代数精度，比梯形公式1阶代数精度高本讲稿第四十八页，共六十二页证明：取易知：也就是说，数值积分公式，对一个2n+2阶的多项式是有误差的，所以，n1个点的数值积分公式不超过2n1阶n 个积分点的数值积分公式
12、，最高2n1阶定理如何构造如何构造最高阶精度的公式？本讲稿第四十九页，共六十二页一般性，考虑积分：称为权函数定义两个可积函数的内积为：两个函数正交，就是指这两个函数的内积为0本讲稿第五十页，共六十二页利用Schmidt 正交化过程，变为正交基就可以将多项式基函数本讲稿第五十一页，共六十二页以n阶正交多项式的n个零点为积分点的数值积分公式有2n1阶的代数精度Gauss点Gauss积分，记为Gn(f)证明：若 f 为 2n1 次多项式，则为 n1 次多项式又，仅差一个常数（零点相同）具有一个很好的性质：本讲稿第五十二页，共六十二页(2)求出pn(x)的n n个零点x1,x2,xn 即为Gauss点
13、.(1)求出区间a,b上权函数为W(x)的正交多项式pn(x).(3)计算积分系数 Gauss型求积公式的构造方法本讲稿第五十三页，共六十二页解解 按 Schemite 正交化过程作出正交多项式:的2点Gauss公式.求积分例：本讲稿第五十四页，共六十二页故两点Gauss公式为 积分系数为P2(x)的两个零点为 本讲稿第五十五页，共六十二页 区间-1,1上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式,称为Gauss-Legendre求积公式求积公式,其Gauss点为Legendre多项式的零点.(1)Gauss-Legendre求积公式求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到.几种几
14、种Gauss型求积公式型求积公式由因此,a,b上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式为本讲稿第五十六页，共六十二页nxkAknxkAk10260.93246951420.66120938650.23861918610.17132449240.36076157300.467913934620.5773502692130.774596669200.55555555560.888888888970.94910791230.74153118560.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.417959183740.86113631160.33
15、998104360.34785484510.652145154980.96028985650.79666647740.52553240990.18343464250.10122853630.22238103450.31370664590.362683783450.90617984590.538469310100.23692688510.47862867050.5688888889本讲稿第五十七页，共六十二页 Gauss 公式的余项：公式的余项：/*设设P为为f 的过的过x0 xn的插值多项式的插值多项式*/*只要只要P 的阶数不大于的阶数不大于2n+1，则下一步等式，则下一步等式成立成立*/插
16、值多项式插值多项式的余项的余项Q：什么样的什么样的插值多项式插值多项式在在 x0 xn 上有上有 2n+1 阶？阶？本讲稿第五十八页，共六十二页A：Hermite 多项式！多项式！满足满足本讲稿第五十九页，共六十二页 区间0,)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式,称为Gauss-Laguerre求积公式求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式的零点.(2)Gauss-Laguerre求积公式求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到.由所以,对0,+)上权函数W(x)=1的积分,也可以构造类似的Gauss-Laguerre求积公式:本讲稿第六十页，共六十二页nx
17、kAknxkAk20.58588643763.41421356230.85355339050.146446609450.26356031971.41340305913.59642577107.085810005812.64080084420.52175561050.39866681100.07594244970.00361175870.000023370030.41577455672.29428036026028994508290.71109300990.27851773350.010389256560.22284660411.18893210162.99273632605.775143569
18、19.837467418315.98287398060.45896467930.41700083070.11337338200.01039919750.00026101720.000000898540.32254768961.74576110114.53662029699.39507091230.60315410430.35741869240.03888790850.0005392947本讲稿第六十一页，共六十二页 (3)Gauss-Hermite求积公式求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到.nxkAknxkAk20.70710678110.886226925460.4360
19、7741191.33584907042.35060497360.72462959520.15706732030.004530009931.224744871300.29540897511.816359000640.52464762321.65068012380.80491409000.081312835470.81628788281.67355162872.651961356300.42560725260.05451558280.00097178120.810264617550.95857246462.020182870400.39361932310.01995324210.9453087204区间(-,)上权函数W(x)=的Gauss型求积公式,称为Gauss-Hermite求积公式求积公式,其Gauss点为Hermite多项式的零点.本讲稿第六十二页，共六十二页