《第七章数值积分精选文档.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第七章数值积分精选文档.ppt（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第七章数值积分本讲稿第一页，共二十三页内容提纲（内容提纲（Outline)Outline)求积公式的代数精度求积公式的代数精度 插值型求积公式插值型求积公式 复化求积法复化求积法本讲稿第二页，共二十三页为什么要数值积分？在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数f(x)有解析表达式；f(x)的原函数F(x)为初等函数Why do we do numerical integral?本讲稿第三页，共二十三页问题 f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g.f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 e.g.，它们的原函数都不是初等函数.x12345f(x)44.5688.5本
2、讲稿第四页，共二十三页求定积分就得通过近似计算数值积分求得积分近似值基本思想是对被积函数进行近似，给出数值积分，同时考虑近似精度。下面首先给出代数精确度的概念本讲稿第五页，共二十三页7.1 代数精确度代数精确度本章讨论的是形如本章讨论的是形如的定积分的数值计算，其中为权函数，的定积分的数值计算，其中为权函数，要满足要满足5.4节中所提的条件节中所提的条件.本讲稿第六页，共二十三页一般把积分区间n个点xk上的函数值f(xk)加权Ak的和 作为积分I(f)的近似,即 或记 (2)本讲稿第七页，共二十三页上式中xk，Ak分别称为求积节点、求积系数.求积系数与被积函数f(x)无关,而与求积节点、求积区
3、间、权函数有关称公式(2)为n点求积公式，有时也称为一个n点求积公式，为求积公式的误差用此公式)求积分近似值的计算称为数值积分或数值微分本讲稿第八页，共二十三页构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有 (i)确定求积系数Ak和求积节点n；(ii)求积公式的误差估计和收敛性用什么标准来判定两个节点数相同的求积公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确度”的高低作为求积公式“好”与“差”的一个标准在后面的讨论中我们将看到，节点相同的求积公式，代数精确度越高，求出的积分近似值精确度一般越好下面给出代数精确度的定义本讲稿第九页，共二十三页定义若对任意的，求积公式(2)的误差都满足，则称该求积公式具有n
4、次代数精确度验证一个求积公式所具有的代数精确度用定义是极不方便的，为此给出另一个定义本讲稿第十页，共二十三页 定义2 若对函数，求积公式(2)精确成立，即而，则称其具有n次代数精确度因为函数组 是的一组基函数，所以两个定义是等价的，但在具体应用时，定义2比定义1要方便的多本讲稿第十一页，共二十三页例验证求积公式具有3次代数精确度解：当而有本讲稿第十二页，共二十三页（1）当（2）当（3）当本讲稿第十三页，共二十三页（1）当故求积公式具有三次代数精确度本讲稿第十四页，共二十三页7.2 插值型求积公式这一节所讨论的求积公式，都是用在区间a,b上对被积函数f(x)作插值所得插值多项式Pn(x)代替被积
5、函数f(x)导出的公式这一类求积公式的求积节点xk，就是对f(x)作插值时的插值节点，所以这类求积公式称为插值型求积公式为简便起见，这节讨论节点分布为等距并且权函数时的插值型求积公式的构造等问题本讲稿第十五页，共二十三页7.2.1 Newton-Cotes求积公式求积公式一、公式的推导设将积分区间a,bn等分，求积节点为 ，那么，令x=a+th，则t=(x-a)/h，且由可知由Lagrange插值基函数有而，所以本讲稿第十六页，共二十三页将n次Lagrange插值多项式Ln(x)代替被积函数f(x)得记称为Cotes求积系数它与(3)式中的求积系数Ak相差一个常数b-a即本讲稿第十七页，共二十
6、三页把Ak代入到(3)式中，得到Newton-Cotes求积公式例如当n=4,5时，Newton-Cotes公式分别为n=0,1,2三种情形，在讨论(3)式中的余项R(1,f)后再详细讨论本讲稿第十八页，共二十三页二、误差估计求积公式(3)计算出的积分I(f)的近似值In+1(f)的误差多大？若被积函数 ，记，对n次Lagrange插值余项求积，可得n+1个节点的Newton-Cotes求积公式的误差估计式为 (5)本讲稿第十九页，共二十三页验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，而用直接对插值余项求积的形式，即 (5)由(5)式，显而易见，当时，因可知，R(1,f)=0，所以
7、我们所n+1点的求积公式(3)至少具有n次的代数精确度进一步可以证明，当n为偶数时，求积公式(3)的代数精确度可以达到n+1次本讲稿第二十页，共二十三页三、几种常见的Newton-Cotes求积公式 对 n=0,1,2,按公式(3)可以得出下面三种常见的Newton-Cotes求积公式.1.n=0时的矩形求积公式分别以积分区间a,b的左、右端点和区间中点，即x=a，b，(a+b)/2为求积节点得到：左矩形求积公式：右矩形求积公式：中矩形求积公式：三个求积公式的误差估计，可将函数f(x)分别在处展开到含f(x)的一阶导数的Taylor公式在区间a,b上积分推得本讲稿第二十一页，共二十三页2.n=
8、1时的梯形求积公式按Cotes系数公式计算得故求积系数A0,A1为 ，梯形求积公式为记(6)式的几何意义如图7-2所示（见p327）容易验证公式(6)的代数精确度的次数为1.考虑梯形求积公式(6)的误差估计R(1,f)假定时，用推广的积分中植定理，将过(a,f(a),(b,f(b)点的线性插值的余项 在a,b上积分，可得其中也称为梯形求公式本讲稿第二十二页，共二十三页3.n=2时的Simpson求积公式按Cotes系数公式可以计算出为此，所以 (8)公式(8)称为Simpson求积公式由7.1节例1可知Simpson求积公式(8)具有次的代数精确度 Simpson求积公式(8)的误差估计R(1,f)不能直接有插值余项 利用推广的积分中值定理在a,b上积分推出原因是 在a,b上要变号本讲稿第二十三页，共二十三页