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1、专题能力训练7三角恒等变换与解三角形(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知sin -cos =,则sin 2=()A.-B.-C.D.2.函数y=sin x(cos x-sin x),xR的值域是()A.B.C.D.3.(2017浙江绍兴二模)设角A,B,C是ABC的三个内角,则“A+BC”是“ABC是钝角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2-c2=ab=,则ABC的面积为()A.B.C.D.5.已知R,sin +2cos =,
2、则tan 2=()A.B.C.-D.-6.两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,示意图如图所示,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30B.45C.60D.757.已知sin =,sin(-)=-,均为锐角,则角等于()A.B.C.D.8.设锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,B=2A,则b的取值范围为()A.()B.(1,)C.(,2)D.(0,2)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知,tan =2,则cos=.10.如图所示,在ABC中,已知点D在BC边上,ADAC,sinBAC=
3、,AB=3,AD=3,则BD的长为.11.=.12.已知ABC外接圆半径是2,BC=2,则ABC的面积最大值为.13.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且acos C,bcos B,ccos A成等差数列,则角B=;若b=,a+c=3,则ABC的面积为.14.(2017浙江金丽衢十二校模拟)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,acos B=bcos A,4S=2a2-c2,其中S是ABC的面积,则C的大小为.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为
4、始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知SOAM=,点B的纵坐标是.(1)求cos(-)的值;(2)求2-的值.16.(本小题满分15分)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,b=sin B,且满足tan A+tan C=.(1)求角C和边c的大小;(2)求ABC面积的最大值.参考答案专题能力训练7三角恒等变换与解三角形1.A解析 sin 2=2sin cos =-.故选A.2.D解析 函数y=sin x(cos x-sin x)=sin xcos x-sin2x=sin 2x-cos 2x=sin.-1sin1,-y.故选D.3.A解析 由
5、A+B+C=,A+B,故三角形ABC为钝角三角形,反之不成立.故选A.4.B解析 依题意得cos C=,C=60,因此ABC的面积等于absin C=.故选B.5.C解析 sin +2cos =,(sin +2cos )2=,即sin2+4sin cos +4cos2=,可得,解得tan =3.故tan 2=-.6.B解析 依题意可得AD=20,AC=30.又CD=50,所以在ACD中,由余弦定理得cosCAD=.又0CAD180,所以CAD=45.所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为45.7.C解析 ,均为锐角,-.又sin(-)=-,cos(-)=.又sin =,cos =,sin
6、 =sin-(-)=sin cos(-)-cos sin(-)=.=.8.A解析 因为B=2A,所以sin B=sin 2A,所以sin B=2sin Acos A,所以b=2acos A,又因为a=1,所以b=2cos A.因为ABC为锐角三角形,所以0A,0B,0C,即0A,02A,0-A-2A,所以A,所以cos A,所以2cos A,所以b().9.解析 由tan =2,得sin =2cos .又sin2+cos2=1,所以cos2=.因为,所以cos =,sin =.因为cos=cos cos+sin sin,所以cos.10.解析 sinBAC=sin(90+BAD)=cosBAD
7、=,在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD,BD2=18+9-233=3,BD=.11.解析 =.12.3解析 根据正弦定理,=2R=4,解得sin A=.若ABC的面积最大,即角A为锐角,则A=60,根据余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A,代入得到12=b2+c2-bcbc,即bc的最大值为12,所以ABC面积的最大值为S=bcsin A=12=3.13.解析 依条件有acos C+ccos A=2bcos B,由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B,即sin(A+C)=2sin Bcos B,则有sin B=2sin
8、Bcos B,由sin B0,得cos B=,又B(0,),故B=.由余弦定理得a2+c2-ac=3,即(a+c)2-3ac=3,所以ac=2,则SABC=acsin B=.14.解析 在ABC中,acos B=bcos A,sin Acos B=sin Bcos A,sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B)=0,A=B,a=b;又ABC的面积为S=absin C,且4S=2a2-c2,2absin C=2a2-c2=a2+b2-c2,sin C=cos C,C=.15.解 (1)由题意,知OA=OM=1.SOAM=,且为锐角,sin =,cos =.又点B的纵坐标是,sin =,cos =-,cos(-)=cos cos +sin sin =-.(2)cos 2=2cos2-1=2-1=-,sin 2=2sin cos =2,2.,2-.sin(2-)=sin 2cos +cos 2sin =-,2-=-.16.解 (1)由tan A+tan C=可得,cos C=.0C,C=.b=sin B,由正弦定理可得,c=.(2)由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C,=a2+b2-ab2ab-ab=ab,当且仅当a=b时取等号.SABC=absin C=ab,故ABC面积的最大值为.4