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1、,第11章 数的开方课程内容标准1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示2.了解平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，会用平方、立方的运算求某些数的平方根与立方根，会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应4.能估计无理数的大小，培养估算能力，会进行简单的实数运算单元教学分析11.1 平方根与立方根 1.注意与平方、立方运算的联系与转化；2.注重对基本概念的理解与应用，熟悉必要的数学语言；3.重视计算器的使用及对估算的教学，防止对学生提出繁难的数字计算要求；4.注意把握好对已出现无理数的处理.11.2 实数与数
2、轴 1.让学生感知无理数的存在，数系扩展的必要. 2.初步理解和接受实数与数轴上的点一一对应的思想.3.理解和接受有理数范围内相关概念和运算法则的自然延伸.11.1.1 平方根（1）教学内容教科书P.2P.3的内容教学目标：1、理解平方根的概念；2、认识平方与开平方的关系；3、会用平方根的概念求某些数的平方根。 教学重点：平方根的概念和开平方运算。 教学难点：平方根的概念；利用平方根和平方的关系解题。教学过程：一、复习引入1、我们将要学习的第12章叫：数的开方，那什么叫“数的开方”呢？我们已学过哪些数的运算?(加、减、乘、除、乘方5种)2、你能写出这些运算的符号吗？请举例说明。如一个正方形的边
3、长是5米，它的面积是多少?其运算是什么运算? (面积25平方米，运算是乘方运算)3、加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢?(均为互逆运算)二、创设问题情境，解决问题1、请同学们欣赏本章导图，如果要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？这里该用哪种运算呢？通常这类不易直接列算式计算的问题，我们常用方程解决：设边长为xcm，则有x2=25，显然应取x=5。这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25。2.提出问题，探索解决问题的办法(1)平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。问：有了这个规定以后，a是什么数? （让学生思考、交流后
4、回答：a是非负数，即：a0）(2)在上述问题中，因为5225，所以5是25的一个平方根、问：25的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于25? (因为(5)25225，所以5也是25的一个平方根)从上述解决问题过程中，你能总结一下求一个数的平方根的方法吗? (根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根)三、范例1、例1、求100的平方根提问：(1)你能仿照上述问题解决的方法，求出100的平方根吗? （让学生讨论、交流后回答）(2)你能正确书写解题过程吗? （请一位同学口述，教师板书）(3)l0和l0用10表示可以吗?2、试一试（要求学生正确口述解答过程，及时纠正）(1)14
5、4的平方根是什么? (2)0的平方根是什么? (3)的平方根是什么?(4)0.81的平方根是什么? (5)4有没有平方根?为什么?3、通过点评，小结平方根的性质：只有非负数才有平方根。4、请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答，然后交流小结（写在练习本上）四、求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算与平方运算互为逆运算。例2、将100开平方 分析：根据开平方的概念，“将100开平方”就是“求100的平方根”！你能解答吗？五、课堂练习：1、练习1 说出下列各数的平方根：1、64 2、0.25 3、2、将下列数开平方：16 0.64 六、小结1、什么叫平方根?2、什么数才有平方根？为
6、什么？3、什么叫开平方？七、作业教学后记：11.1.1 平方根（2）教学内容教科书P.3P.4的内容教学目标：1、了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。2、了解开方运算与乘方运算是逆运算，会利用这个互逆关系求某些非负数的算术平方根。3、会利用开方运算求某些非负数的平方根。教学重点：算术平方根概念和开平方运算。教学难点：算术平方根意义及性质运用。教学过程：一、创设问题情境1、什么是平方根？求出36，1.44，各数的平方根2、我们知道：只有非负数才有平方根，那么：一个正数如果有平方根，那么有几个？它们之间的关系如何？0的平方根有几个？是什么数？二、算术平方根的概念及其应用1、算
7、术平方根概念。正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即。因此正数a平方根可以记作，a称为被开方数。例如表示3的算术平方根，表示3的平方根。提问：(1)有了这个规定之后，a是什么数? 是什么数?让学生讨论、交流，归纳得到结论：a是非负数；是非负数，即0（a0）。也就是说，当式子有意义时，它一定表示一个非负数，即a0时它有意义。例：有意义吗?(2)算术平方根与平方根有什么联系和区别?我们知道，求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根。例如100的算术平方根是10，100的平方根是l0。2、范例例1、将下
8、列各数开平方：(1)49 (2)1.69按照题(1)的方法，解决题(2)，让学生明确开方运算与平方运算是互为逆运算，能够利用这个互逆运算关系求出某些非负数的算术平方根，进而求出平方根。问题：在例l，例2中，他们通过观察，利用开方与平方的关系来开平方的，如果被开方数比较复杂，如，等，那么如何进行计算呢?例2、用计算器求下列各数的算术平方根：1、529 2、1225 3、44.81教学要点：(1)让学生动手操作，并交流计算结果，总结用计算器求一个非负数的算术平方根按健顺序、(2)阅读课本解题过程。补例（视情况选用）例3、若3x5有平方根，求x的取值范围。例4、若某数的平方根a+2是和a18，求a和
9、这个数。例5、已知y=+3，求x+y的值。例6、若+=0，求x、y的值。3、 课堂练习： 四、小结 1、什么叫算术平方根?2、算术平方根与平方根有什么联系和区别? 3、式子中a应该满足什么条件? 4、用计算器求一个非负数的算术平方根，其按键顺序如何?五、作业教学后记：11.1.2 立方根教学内容教科书P.5P.6的内容教学目标：1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根、2、能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。3、会用计算器求立方根。教学重点：立方根和开立方概念，求一个数的立方根。教学难点：立方根性质及运用。教学过程：一、创设问题情境，引入立方根概念现有一只体积为2
10、16cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少?与“平方根”类似，让学生讨论和研究以下问题：问题1 这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题?问题2 你能找一个数，使这个数的立方等于216吗?问题3 从这里可以抽象出一个什么数学概念?交流概括：P5立方根概念二、试一试让学生讨论以下问题1、27的立方根是什么? 2、27的立方根是什么? 3、0的立方根是什么?让学生对以上问题逐一作答，教师作正确判断，并请同学自己也编三道求立方根的题目，并给出解答。根据以上题目的答案，回答以下问题：1、正数有几个立方根？ 2、0有几个立方根？ 3、负数有几个立方根? 4、从以上问题中你发现了什么?(每一个数只有
11、一个立方根)三、立方根和开立方1、立方根的性质：任何数(正数、负数或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个。2、数a的立方根，记作，读作“三次根号a”。a称为被开方数，3称为根指数。例如x3=6，则x是6的立方根，即x=；而238，则2是8的立方根，即2。数a的平方根和立方根相同吗?学生讨论后回答，教师归纳为：0的平方根和立方根都是0，不为0的数的平方根和立方根不同。3、求一个数的立方根的运算，叫做开立方。四、例题例1、求下列各数的立方根：(1)64 (2)125 (3)0.008教学要求上可以借助立方运算来求立方根，2、可以用立方运算来检验开立方是否正确；3、按照第一小题的方法，要求学生解决
12、题(2)和题(3)让学生讨论、研究以下问题；1、表示2的立方根，那么()3等于多少呢? 又等于多少呢?2、表示a的立方根，那么()3等于多少呢? 又等于多少呢?例2、用计算器求下列各数的立方根；(1)1331 (2)-343 (3)9.263(精确到0.01)教学要点：(1)指出用计算器求一个有理数的立方根，只需要按书写顺序按键。若被开方数为负数，“一”号的输入可以按() ，也可以按 、(2)对于第(2)小题，可引导学生用减号代替负号，或将被开方数加上括号试一试，看看是否计算出相同的结果、5、 课堂练习： 六、小结 1、什么叫立方根?如何用根号表示一个数的立方根? 2、什么叫开立方?如何求一个
13、数的立方根?举例说明、 3、()3等于什么? 等于什么? 4、正数，0，负数的立方根有何特点?七、作业教学后记：11.2实数（1）教学内容教科书P.8P.9的内容教学目标：1、了解实数的意义，能对实数进行分类。 2、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点表示无理数。 3、会估计两个实数的大小。教学重点：无理数及实数概念。教学难点：理解无理数。教学过程：一、创设问题情境，导入实数的概念问题l 用什么方法求？其结果如何?问题2 你能利用平方关系验算所得结果吗?问题3 验证的结果并不是2，而是接近于2，这说明了什么问题?问题4 如果用计算机计算，结果如何呢?让学生阅读P15页计算结果，并指出；
14、在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说不是有理数有兴趣的同学可以看一看第18页的阅读材料问题5 那么，是怎样的数呢?1回顾有理数的概念(1)有理数包括_和_(2)请你随意写出三个分数，将它化成小数，看一看结果。(3)由此你可以得到什么结论?(任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数)2无理数的概念与有理数进行比较，计算的结果是无限不循环小数，所以不是有理数。提问：还有没有其他的数不是有理数?为什么?无限不循环小数叫做无理数例如、都是无理数有理数与无理数统称为实数二、试一试问题1 按照计算器显示的结果，你能想像出在数轴上的位置吗?问题2 你能在数轴上找到表示的点
15、吗?请同学们准备两个边长为1的正方形纸片，分别沿它的对角线剪开，得到四个什么三角形?如果把四个等腰直角形拼成一个大的正方形，其面积为多少?其边长为多少?这就是说，边长为1的正方形的对角线长是利用这个事实，我们容易画出表示的点，如图所示三、反思提高问题1 如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?问题2 如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?让学生充分思考交流后，引导学生归结为：如果将所有有理数都标到数轴上，数轴未被填满；如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满。数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数(有理数或无理数)也都可以用数轴上的点来表示，即实数与数
16、轴上的点一一对应。四、范例例1试估计与的大小关系。说明：正实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行。提问：若将本题改为：试估计（）与的大小关系，如何解答?让学生动手解答，并请一位同学板演，教师讲评五、课堂练习：六、小结1什么叫做无理数?实数?2有理数和数轴上的点一一对应吗?为什么?无理数呢?实数呢？七、作业教学后记：11.2 实数(2)教学内容教科书P.10P.11的内容教学目标：1了解有理敷的相反数和绝对值等概念、运算法则以及运算律在实数范围内仍然适用2能利用运算法则进行简单四则运算教学重点：实数的运算与大小比较。教学难点：实数的大小比较与运算技巧。教学过程：一、创设问题情境，导入新
17、知1复习提问(1)用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。(2)用字母表示有理数的加法交换律和结合律(3)平方差公式?完全平方公式?(4)有理数a的相反数是什么?不为0的数a的倒数是什么?有理数a的绝对值等于什么?在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较，运算法则及运算律仍然适用。二、范例例1计算：23(结果精确到0.01) 分析：对于实数的运算，通常可以取它们的近似值来进行。提问：用什么手段取它们的近似值?例2计算:(1)( 1)(+1)2三、课堂练习： P11页练习l(2)、2，让四位同学板演，教师根据学生的具体解答情况作出正确判断，并分析发生错误的原
18、因四、小结由学生完成如下小结：1在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算2实数的运算法则 abba (ab)ca(bc) abba (ab)ca(bc) (ab)cacbc 五、作业：P15页复习题2教学后记：第6课时 小结与复习教学内容教科书P.14P.16的内容教学目标：1、进一步巩固实数的开方的有关概念。 2、进一步巩固实数的运算法则和运算定律。3进一步巩固用估算方法来比较两数的大小，利用结算方法求无理数的范围。教学重难：本章概念的理解与灵活运用知识解题。教学过程：一、复习数的开方的有关概念和开方运算让学生阅
19、读数的开方的相关内容并回答以下问题：1什么叫平方根、算术平方根、立方根?2开方运算和乘方运算有什么联系?举例说明练习： 2用计算器求下列各式的值： 3一个圆柱的体积是10m3，且底面圆的直径与圆柱的高相等，求这个圆柱的底面半径(取3.14，结果保留2个有效数字)。二、复习估算法问题l：你在生活中使用过估算的方法吗?举例说明。问题2：你能比较下列各组里两个实数的大小吗?（1），3.1415926（2）,5问题3：你能计算：12(结果精确到0.01)吗?三、复习实数的有关概念问题l：什么叫做无理数?什么叫做实数?(无限不循环小数叫无理数；有理数和无理数统称为实数)问题2：实数可以怎样分类?1按正负数分类，实数可以分为正实数、负实数、0；2按有理数、无理数分类。问题3：你能在数轴上找到表示的点吗?问题4：无理数与数轴上的点一一对应吗?问题5：有理数与数轴上的点一一对应吗?问题6：实数与数轴上的点一一对应吗?练习：P22页复习题5、6。五、知识结构图让学生表述自己对本章学习内容的理解，通过对本章内容归纳总结，引导学生建立知识结构图：六、作业P15复习题教学后记：