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1、江苏省南通中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1计算： 2函数f(x)的单调增区间是 3已知复数z=(2i) i，则z的模为 4曲线在点处的切线方程为 5如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为 6已知函数的导函数为，且满足，则 xOy （第9题）7已知复数，则的取值范围是 8若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围为 9如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为 10设P是函数y(x1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角
2、为，则的取值范围是 11已知定义域为的函数对于任意的x都满足若0a ”，“”，“=”中选择正确的一个填写）12设直线ya分别与曲线y2x和yex交于点M，N，则当线段MN取得最小值时实数a的值为 13已知点，是函数的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段总是位于，两点之间函数图象的上方，因此有结论成立.运用类比思想方法可知若点，是函数的图象上的不同两点，则类似地有 成立14若不等式|ax3ln x|1对任意x(0，1都成立，则实数a的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请注意文理科类，并在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题共14分）已知复
3、数（）（1）求实数为何值时，z为实数；（2）求实数为何值时，z为虚数；（3）求实数为何值时，z为纯虚数16（本小题共14分）已知曲线C： 与直线相切，其中e为自然对数的底数（1）求实数a的值；（2）求曲线C上的点P到直线的距离的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标17（本小题共14分）某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为t25t(百万元)(0t5) (注：收益销售额投放)（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改
4、造经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大18（本小题共16分）（理）已知数列的前n项和（1）计算数列的前4项；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明（文）求证：1，3不可能是一个等差数列中的三项19（本小题共16分）已知函数，其中， （1）当时，求的单调区间；（2）证明：对任意的，函数在区间内均存在零点20. （本小题共16分）已知，函数，e为自然对数的底数（1）若，求函数取得极值时所对应的x的值；（2）若不等式恒成立，求的取值范围江苏省南通中学20142015学年度第一学期期末考试高二数学答题纸一
5、、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、解答题：（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内）.15. （本题满分14分）16. （本题满分14分）17. （本题满分14分）18. （本题满分16分）19. （本题满分16分）20. （本题满分16分）江苏省南通中学20142015学年度第一学期期末考试高二数学答案91011121314a二、解答题：15解：（1）当z为实数时，则解得. 所以，当时，z为实
6、数 （2）当z为虚数时，则解得 所以，当且时，z为虚数 （3）当z为纯虚数时，则解得 所以，当时，z为纯虚数16解：（1）设曲线C： 与直线相切的切点的横坐标为， 由得切线的斜率=， 所以，所以切点坐标为， 代入直线得.（2）由（1）得曲线C的方程为：， 当过点P的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小， 设点P的横坐标为，由得切线的斜率=1， 所以， 所以所求点P的坐标为，所求距离的最小值为17解：(1)设投入t(t百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)(t25t)tt24t(t2) 24(0t3)，所以当t2百万元时，f(t)取得最大值4百万元即投入2百万元时的广告
7、费时，该公司由此获得的收益最大(2)设用技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)，则有g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)所以g(x)x24.令g(x)0，解得x2，或x2(舍去)又当0x2时，g (x)0，当2x3时，g(x)0故g(x)在0,2上是增函数，在2,3上是减函数所以当x2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造， 1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大18（理）解：（1）由，得由，得由，得由，得（2）猜想下面用数学归纳法证明：时，左边，右边，猜想成立假设当时，猜想成立，即，此时则当时，由，得，所以因此，当时，等式也成立由
8、可知，对均成立（文）证明：假设1，3为同一等差数列中的三项，则存在两个不相等的整数，以及实数，使得，所以因为上式左边为无理数，右边为有理数，所以等式不成立，所以假设不成立，即1，3不可能是同一等差数列中的三项19（1）解：，令，解得或因为，以下分两种情况讨论：若，则，列表如下：+-+所以，的单调增区间是，单调减区间是若，则，列表如下：+-+所以，的单调增区间是，单调减区间是 （2）证明：由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，以下分两种情况讨论：当即时，在内单调递减，所以对任意，在区间内均存在零点当即时，在上单调递减，在上单调递增，若，所以在上存在零点若，所以在上存在零点所以，对任意，在区间内均存在零点综上所述，对任意，在区间内均存在零点说明：（2）中也可通过求导证明其恒小于020解：（1）若，则，当时，单调递增；当时，单调递减又因为，当时，；当时，；当时，；当时，故取得极值时所对应的x值为1，和（2）不等式，整理为设，则（其中）当时，当时，为单调增函数；当时，为单调减函数所以，11