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1、黑龙江省哈六中2015届高三数学上学期期末考试试题 理（含解析）新人教A版【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识为载体，以基本能力测试为主导，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、复数、导数、函数模型、函数的性质、命题，数列，立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份比较好的试卷一选择题【题文】1.已知集合A=,B=,则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【知识点】集合及其运算A1【答案】C【解析】，B= ，则【思路点拨】先求出集合A,B再求结果。【题文】2.下列命题中，错误的是（ ）A一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平
2、面相交B平行于同一平面的两个不同平面平行C如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D若直线l不平行平面，则在平面内不存在与l平行的直线。【知识点】空间中的平行关系垂直关系G4 G5【答案】D【解析】由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，故A正确；由平面平行的判定定理知，平行于同一平面的两个不同平面平行，故B正确；由直线与平面垂直的性质定理，知如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面，故C正确；若直线l不平行平面，则当l时，在平面内存在与l平行的直线，故D不正确【思路点拨】由直线与平面相交的性质，知A正确；由平面平行的判定
3、定理，知B正确；由直线与平面垂直的性质定理，知C正确；当l时，在平面内存在与l平行的直线，故D不正确【题文】3已知为纯虚数（是虚数单位）则实数（ ） 【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案】A【解析】=+i 为纯虚数, =0,得a=1.【思路点拨】先化简再令实部为0得。【题文】4已知，满足约束条件若的最小值为，则（ ） 【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由 得：，代入直线y=a（x-3）得，a=【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最
4、值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即可5执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为（ ） 【知识点】算法与程序框图L1【答案】B【解析】当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（24）=4；当i=6，k=3时，s=（46）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i8”，退出循环，则输出的s=8【思路点拨】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i8，即i=2，4，6模拟程序的运行结果，即可得到输出的s值【题文】6在中,已知,则的面积是（ ） 或 【知识点】解三角形C8【答案】C【解析】在ABC中，由余弦定理可得42=(4)2+BC
5、2-24BCcos30，解得 BC=4，或BC=8当BC=4时，ABC的面积为ABBCsinB=44=4，当BC=8时，ABC的面积为ABBCsinB=48=8.【思路点拨】在ABC中，由余弦定理可得BC的值，再由ABC的面积为ABBCsinB 运算求得结果【题文】7已知等差数列的前项和为，若，则=（ ) 【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案】D【解析】数列an为等差数列，a4+a5=18，由等差数列的性质得：a4+a5=a1+a8=18，又其前n项和为Sn，S8= =72【思路点拨】利用等差数列的性质：下标之和相等的两项的和相等，由a4+a5=18，可求得S8【题文】8.一个几何体
6、的三视图如右图所示，则该几何体的体积为( ) 【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】B【解析】由三视图可知：该几何体是一个组合体，上面是一个球，下面是一个圆柱该几何体的体积V=13+121=【思路点拨】由三视图可知：该几何体是一个组合体，上面是一个球，下面是一个圆柱即可得出【题文】9.将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图像，则图像的一条对称轴是（ ） 【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】C【解析】将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y=3sin（2x+）的图象，再向右平移个单位长度，可得y=3s
7、in2（x-+=3sin（2x-）的图象，故g（x）=3sin（2x-）令 2x-=k+，kz，得到 x=+，kz 则得 y=g（x）图象的一条对称轴是 x=.【思路点拨】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得到g（x）=3sin（2x-），从而得到g（x）图象的一条对称轴是x=【题文】10. 过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于两点，则的值等于（ ） 【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案】C【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），|AB|=x1+x2+p=，x1+x2= ，又x1x2=，可得x1=p，x2=，则=3，【思路点拨】设出A、B坐标，利用焦半
8、径公式求出|AB|，结合x1x2=，求出A、B的坐标，然后求其比值【题文】11.函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为（ ） 【知识点】函数与方程B9【答案】D【解析】= =2-，当x0时，02-2，即0g（x）1，则y=|g（x）|大致图象如图所示， 设|g（x）|=t，则|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，即为t2+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在1，+）上，设h（t）=t2+mt+2m+3，当有一个根为1时，h（1）=12+m+2m+3=0，解得m=-，此时另一根为，满足条件根不是1时，则满足，即，-m-综上-m-，即实数m
9、的取值范围为（-，-。【思路点拨】先确定0g（x）2，作出y=|g（x）|大致图象，设|g（x）|=t，则|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，即为t2+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在1，+）上，由此可得结论【题文】12.已知椭圆的左右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线于点，线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线，若是上不同的点，且，则的取值范围是（ ） 【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案】A【解析】椭圆的左右焦点为F1，F2，F1（-1，0），F2（1，0），直线l1：x=-1，设l2：y=t，设P（-1，t），（tR），
10、M（x，y），则y=t，且由|MP|=|MF2|，（x+1）2=（x-1）2+y2，曲线C2：y2=4xA（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的点，=(x1-1，y1-2)，=(x2-x1，y2-y1)，ABBC，=（x1-1）（x2-x1）+（y1-2）（y2-y1）=0，x1=y12，x2=y22，（y12-4）（y22-y12）+=0，y12，y1y2，+1=0，整理，得y12+(2+y2)y1+(2y2+16)=0，关于y1的方程有不为2的解，=(2+y2)2-4(2y2+16)0，且y2-6，y22-4y2-600，且y2-6，解得y2-6，或y210【思路点拨
11、】由已知条件推导出曲线C2：y2=4x=(x1-1，y1-2)，=(x2-x1，y2-y1)，由ABBC，推导出y12+(2+y2)y1+(2y2+16)=0，由此能求出y2的取值范围二、填空题（每题5分共20分）【题文】13若等比数列的首项，且，则数列的公比是_.【知识点】等比数列D3【答案】【解析】由已知=x2=3，等比数列an的首项a1=81，所以a4=a1q3=3，解得q=.【思路点拨】由已知首先求出a4，且然后通过等比数列的定义求公比【题文】14已知命题，命题，若非是非的必要不充分条件，那么实数的取值范围是 .【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2【答案】4，+）【解析】由题
12、意，p:x1，p：x或x1；q：x2+2x+1-m0（m0），q：x2+2x+1-m0，（x+1）2m，解得q：x-1-或x-1+p是g的必要不充分条件，m4故实数m的取值范围是4，+）【思路点拨】先求出非p、非q为真时，m的范围，再利用非p是非q的必要不充分条件，可求实数m的取值范围【题文】15.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 .【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案】【解析】由，得，又由正弦定理得，所以，即，又由椭圆定义得，所以，因为是的一边，所以有，解得椭圆离心率的取值范围为【思路点拨】由椭圆定义得，所以，因为是的一边，所以有求得。【题文】16.
13、已知函数,下列结论中正确的为 (将正确的序号都填上)既是奇函数,又是周期函数的图像关于直线对称的最大值为 在上是增函数【知识点】单元综合C9【答案】【解析】：函数f（x）=cosxsin2x，xR，f（-x）=cos（-x）sin（-2x）=-cosxsin2x=-f（x），因此函数f（x）是奇函数，又f（x+2）=cos（x+2）sin（2x+4）=cosxsin2x=f（x），函数f（x）是周期函数可知正确f（-x）=cos（-x）sin2（-x）=-cosx（-sin2x）=cosxsin2x=f（x），y=f（x）的图象关于直线x=对称；f（x）=2sinxcos2x=2sinx（1-
14、sin2x）=2sinx-2sin3x，设sinx=t-1，1，则g（t）=2t-2t3，g（t）=2-6t2=-6(t+)(t-)，令g（t）0，解得-t，此时函数g（t）单调递增；令g（t）0，解得-1t-，或t1，此时函数g（t）单调递减可知当t=时，函数g（t）取得极大值，g()=，而g（-1）=-2+2=0，函数g（t）即f（x）取得最大值为，正确；由可知：x-，t-,-，为增函数，正确综上可得：都正确【思路点拨】由函数f（x）=cosxsin2x，xR，可得f（-x）=-f（x），因此函数f（x）是奇函数，又f（x+2）=f（x），可得函数f（x）是周期函数由已知可得f（-x）=f
15、（x），可得y=f（x）的图象关于直线对称；f（x）=2sinxcos2x=2sinx（1-sin2x）=2sinx-2sin3x，设sinx=t-1，1，则g（t）=2t-2t3，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；由可知：x-， ，t-,-，为增函数三、解答题 【题文】17（本小题满分12分）设函数.（）当时，求的值域；（5分）（）已知中，角的对边分别为，若，求面积的最大值（7分）【知识点】单元综合C9【答案】（）0，（）【解析】（）f（x）=cos2x-cos（2x-）+1=cos2x-sin2x+1=cos（2x+）+1，x0，2x+，则由余弦曲线可得f（x）的值域为0，；（）由f
16、（B+C）=cos2（B+C）+1=，得cos（2A-）=，又A（0，），A=，在ABC中，由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos，把a=2，代入得：4=b2+c2-bc2bc-bc=bc，当且仅当b=c时取等号，ABC的面积S=bcsin=bc4=，则ABC面积的最大值为【思路点拨】（）f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式变形，整理后化为一个角的余弦函数，利用余弦函数的值域确定出求f（x）的值域即可；（）由f（B+C）=，及第一问确定出的解析式，求出A的度数，再由a的值，利用余弦定理列出关系式，整理后利用基本不等式求出bc的最大值，即可确
17、定出三角形ABC面积的最大值【题文】18（本小题满分12分）已知数列中，. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（4分）（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. （8分）【知识点】单元综合D5【答案】（1）an=（2）【解析】（1）由数列an中，可得，是首项为，公比为3的等比数列，=3n-1，化为an=（2）， ， 两式相减得， 若n为偶数，则 若n为奇数，则 【思路点拨】（1）由数列an中，利用等比数列的通项公式即可得出（2）由（1）可知：bn，利用“错位相减法”即可得出Tn，利用不等式，通过对n分为偶数与奇数讨论即可考生注意，19题只选一题A或B作答，并用2
18、B铅笔在答题卡上把对应的题号涂黑【题文】19（本小题满分10分）A:己知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为（1）将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）圆，是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3【答案】（1）（2）【解析】（1） 又即 （2）圆心距得两圆相交，由得直线的方程为 所以，点到直线的距离为 【思路点拨】先求出普通方程，再求点到直线的距离。【题文】B如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于
19、点D.(1)证明：DBDC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1【答案】(1)略(2) 【解析】(1)证明：如图，连接DE，交BC于点G.由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又因为DBBE，所以DE为直径，则DCE90，由勾股定理可得DBDC.(2)由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂线，所以BG.设DE的中点为O，连接BO，则BOG60.从而ABEBCECBE30，所以CFBF，故RtBCF外接圆的半径等于.【思路点拨】由勾股定理可得DBDC. ABEBCECBE30
20、，所以CFBF，故RtBCF外接圆的半径等于【题文】20.（本小题满分12分）如图,在四棱锥中,平面平面,已知（1）设是上的一点,求证:平面平面;（4分）（2）当三角形为正三角形时，点在线段（不含线段端点）上的什么位置时，二面角的大小为（8分）【知识点】单元综合G12【答案】（1）略（2）【解析】（1）因为，得，又因为，所以有即 又因为平面平面，且交线为AD，所以，故平面平面（2）由条件可知，三角形PAD为正三角形，所以取AD的中点O，连PO，则PO垂直于AD，由于平面平面，所以PO垂直于平面ABCD，过O点作BD的平行线，交AB于点E,则有,所以分别以为轴，建空间直角坐标系所以点，由于且，得
21、到，设（，则有，因为由（1）的证明可知，所以平面PAD的法向量可取：，设平面MAD的法向量为，则有即有由二面角成得，故当M满足：时符合条件【思路点拨】面平面，且交线为AD，所以，由，求出。【题文】21（本小题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，其中为正常数. 当点恰为椭圆的右顶点时，对应的.（1）求椭圆的离心率；（2分）（2）求与的值；（4分）（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由. （6分）【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）因为，所以，得，即，所以离心率. （
22、2）因为，所以由，得，将它代入到椭圆方程中，得，解得，所以. （3）由，得，同理， 将坐标代入椭圆方程得，两式相减得，即， 同理，而，所以，所以，所以，即，所以为定值. 【思路点拨】，得，所以.由，得由，得。【题文】22. （本小题满分12分）已知函数（其中为常数）.()当时，求函数的单调区间；（4分）()当时，设函数的个极值点为，且.证明：. （8分）【知识点】导数的应用B12【答案】() 单调减区间为,;增区间为.()略【解析】()求导得：. 令可得.列表如下:-0+减减极小值增单调减区间为,;增区间为. ()由题，对于函数，有函数在上单调递减，在上单调递增函数有3个极值点，从而，所以，当
23、时， 函数的递增区间有和，递减区间有，此时，函数有3个极值点，且；当时，是函数的两个零点。即有，消去a有2x1lnx1-x1=2x3lnx3-x3令g（x）=2xlnx-x，g（x）=2lnx+1有零点x= ，且x1x3函数g（x）=2xlnx-x在(0，)上递减，在(，+)上递增要证明x1+x3x3-x1g(x3)g(-x1)因为g（x1）=g（x3），所以即证g(x1)g(-x1)g(x1)-g(-x1)0构造函数F(x)=g(x)-g(-x)，则F()=0只需要证明x(0，单调递减即可而F(x)=2lnx+2ln(-x)+2，F(x)= 0，所F（x）在(0，上单调递增，所以F(x)F()=0当0a1时，x1+x3 【思路点拨】单调减区间为,;增区间为.证明单调性求出最值证明结论。- 17 -