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1、综合题西城、解答题1在平面直角坐标系xOy中， A，B两点在函数的图象上，其中AC轴于点C，BD轴于点D，且 AC=1 (1) 若=2，则AO的长为 ，BOD的面积为 ；(2) 如图1，若点B的横坐标为，且，当AO=AB时，求的值；(3) 如图2，OC=4，BE轴于点E，函数的图象分别与线段BE，BD交于点M，N，其中将OMN的面积记为，BMN的面积记为，若，求与的函数关系式以及的最大值图2图12在ABC中，AB=AC，AD，CE分别平分BAC和ACB，且AD与CE交于点M点N在射线AD上，且NA=NC过点N作NFCE于点G，且与AC交于点F，再过点F作FHCE，且与AB交于点H(1) 如图1
2、，当BAC=60时，点M，N，G重合请根据题目要求在图1中补全图形；连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是_；(2) 如图2，当BAC=120时，求证：AF=EH；图1图2备用图(3) 当BAC=36时，我们称ABC为“黄金三角形”，此时若EH=4，直接写出GM的长3如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线和抛物线W交于A，B两点，其中点A是抛物线W的顶点当点A在直线上运动时，抛物线W随点A作平移运动在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变 图1 应用上面的结论，解决下列问题： 如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知直线点A是直线上的一个动点，且点A的横坐标为以A为顶点的抛物线与直线的另一
3、个交点为点B (1) 当时，求抛物线的解析式和AB的长；(2) 当点B到直线OA的距离达到最大时，直接写出此时点A的坐标； (3) 过点A作垂直于轴的直线交直线于点C以C为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点D 当ACBD时，求的值；若以A，B，C，D为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的的取值范围图2备用图海淀4已知：抛物线过点（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为点在图象上，且求的取值范围；若点也在图象上，且满足恒成立，则的取值范围为 5如图1，在ABC中，ABAC，. 过点A作BC的平行线与ABC的平分线交于点
4、D，连接CD 图1 图2（1）求证：；（2）点为线段延长线上一点，将射线GC绕着点G逆时针旋转，与射线BD交于点E若，如图2所示，求证：；若,，请直接写出的值（用含的代数式表示）6. 在平面直角坐标系xOy中，点的坐标是，过点作直线垂直轴，点是直线上异于点的一点，且.过点作直线的垂线，点在直线上，且在直线的下方，.设点的坐标为.（1） 判断的形状，并加以证明；（2） 直接写出与的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（3） 延长交（2）中所求函数的图象于点.求证：.东城7. 已知：关于的一元二次方程（m为实数）.（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）求证：抛物线总过轴上的一个
5、定点；（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根时，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的解析式8. 在矩形中，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点.（1）如图1，当点与点重合时，求的长；（2）如图2，当点在线段上时，设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）连结，当以点E，F，H为顶点的三角形与AEC相似时，求线段的长.9定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角坐标系中的四点. （1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段
6、BC与线段OA的距离是_； 当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是_ .（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，求线段BC与线段OA的距离d. （3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，若线段BC的中点为M，直接写出点M随线段BC运动所形成的图形的周长 .朝阳10已知关于x的一元二次方程x2+(4-m)x+1-m = 0 （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2+(4-m)x+1-m向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共
7、点时，求b的值11如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= ax2+bx+4与x轴交于点A(-2，0)、B(6，0)，与y轴交于点C，直线CDx轴，且与抛物线交于点D，P是抛物线上一动备用图点（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作PQCD于点Q，将CPQ绕点C顺时针旋转，旋转角为（090），当cos=，且旋转后点P的对应点恰好落在x轴上时，求点P的坐标12. 在ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得EGB=EAB，连接AG.（1）如图1，当EF与AB相交时，若EAB=60，求证：EG =AG+BG；（2）如图2，当EF与AB相交时，若EAB= （09
8、0），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含的式子表示）； （3）如图3，当EF与CD相交时，且EAB=90，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.图3图1图2房山13.已知二次函数 （1）求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；（2）若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，且关于x的一元二次方程k2x2(2k3)x1=0有两个不相等的实数根，求k的整数值；（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程 x22(ak)x2ak26 k4=0 有大于0且小于3的实数根，求a的整数值14.（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是B
9、C、CD边上的点，且满足BE=CF，联结AE、BF交于点H.请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作EGBF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD.求证：FG+BEBF;HGF=HDF.第21题图3第24题图2第24题图115.已知抛物线的最低点A的纵坐标是3，直线经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C.（1）求抛物线与直线AB的解析式.（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sinBDE的值.（
10、3）过B点作x轴的平行线BG,点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N在直线BG上，请你直接写出使得AMB+ANB=450的点N的坐标.第25题图 门头沟16 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点O， 点B(-2,n)在这条抛物线上.（1）求抛物线的解析式；（2）将直线沿y轴向下平移b个单位后得到直线l， 若直线l经过B点，求n、b的值；xy11O（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E.若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标.17已知：在AOB与COD中，OAOB，OCOD， （1）如图1，点C、D分别
11、在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，则线段AD与OM之间的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，将图1中的COD绕点逆时针旋转，旋转角为 ()连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的 COD绕点 O逆时针旋转到使 COD的一边OD恰好与AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明18 如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知矩形ABCD的两个顶点B、C的
12、坐标分别是B（1，0）、C（3，0）直线AC与y轴交于点G（0，6）动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动同时动点 Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）求直线AC的解析式；（2）当t为何值时，CQE的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形？ 怀柔19 已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点. （1）求C1的顶点坐标； （2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（3
13、，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标； （3）若直接写出实数n的取值范围.解：20. 如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM.（1） 当M点在何处时，AMCM的值最小；（2）当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；（3）当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.解： （1）21.如图,在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）b= ,c= ；（2）点E是RtABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的
14、垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下,抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.21题图 21题备用图解：（1）b= ， c= ；（2）（3）大兴22已知：如图，抛物线L1：y=x24x+3与x轴交于AB两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（1）直接写出点A和抛物线L1的顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx24kx+3k（k0） 写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质； 若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会因k值的变化而发生变化？
15、如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由23已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AB =，AD = 3，BC = 4，以点D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转至DE.（1）当=90时，连结AE，则EAD的面积等于_（直接写出结果）；（2）当0 180时，连结BE，请问BE能否取得最大值，若能，请求出BE的最大值；若不能，请说明理由；（3）当00，k是常数）的图象经过抛物线的顶点D （1）求抛物线和反比例函数的解析式yxO （2）在线段DC上任取一点E，过点E作轴平行线，交y轴于点F、交双曲线于点G，联结DF、DG、FC、GC若DFG的面积为4，求点G的坐标；判断直线FC和D
16、G的位置关系，请说明理由；当DF=GC时，求直线DG的函数解析式解：29如图，四边形、是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形其中，正方形可以绕中心旋转,正方形静止不动（1）如图1，当四点共线时，四边形的面积为 _；（2）如图2，当三点共线时，请直接写出= _；（3）在正方形绕中心旋转的过程中，直线与直线的位置关系是_,请借助图3证明你的猜想图1图2图3解：30（1）如图1，把抛物线平移后得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则抛物线的解析式为_；图中阴影部分的面积为_（2）若点为抛物线上的动点，我们把时的称为抛物线的内接直角三角形.过点做轴的垂线，抛物线的内接
17、直角三角形的两条直角边所在直线、与直线分别交于、两点，以为直径的与轴交于、两点,如图2.请问：当点在抛物线上运动时，线段的长度是否会发生变化？请写出并证明你的判断 图2图1解：昌平31. 已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求ABC的面积；（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由.32（1）如图1，以AC为斜边的RtABC和矩形HEFG摆放在直线l上（点B、C、E、F在直线l上），已知BC=EF=1，AB=HE=2. ABC沿着直线l向右平移，设CE=x，A
18、BC与矩形HEFG重叠部分的面积为y（y0）. 当x=时，求出y的值；（2）在（1）的条件下，如图2，将RtABC绕AC的中点旋转180后与RtABC形成一个新的矩形ABCD，当点C在点E的左侧，且x =2时，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转角，将矩形HEFG绕着点E逆时针旋转相同的角度. 若旋转到顶点D、H重合时，连接AG，求点D到AG的距离；（3）在（2）的条件下，如图3，当=45时，设AD与GH交于点M，CD与HE交于点N，求证：四边形MHND为正方形. 33. 如图，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点（1）求二次函数的解析式；（2）求切线
19、的函数解析式；（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 密云34已知：关于的一元二次方程（m为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个固定点； （3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的 解析式35如图1，ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边 上，此时BD=CF，BDCF成立 （1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BD=CF成立吗？
20、若成立，请证明；若不成立，请说明理由 （2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点G 求证：BDCF； 当AB=4，AD=时，求线段BG的长36概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离 已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点 （1）根据上述概念，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是 2； 当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为 ； （2）图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d， 求d关于m的
21、函数解析式 （3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M， 求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长； 点D的坐标为（0，2），m0，n0，作MNx轴，垂足为H，是否存在m的值 使以A、M、H为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在 请 说明理由顺义37已知抛物线 （1）求证：无论为任何实数，抛物线与x轴 总有两个交点；（2）若为整数，当关于x的方程的两个有理数根都在与之间 （不包括-1、）时，求的值 （3）在(2）的条件下，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象，再将图象向上平移个单位，若图象与过点（0，
22、3）且与x轴平行的直线有4个交点，直接写出n的取值范围是 38如图，直线与线段相交于点, 点和点在直线上，且.(1) 如图1所示，当点与点重合时 ，且，请写出与的数量关系和位置关系；（2）将图1中的绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，（1）中的与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将图2中的拉长为的倍得到如图3，求的值39 已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连结，是线段上一动点，以为一边向右侧作正方形，连结若，（1）求抛物线的解析式；（2）求证：；（3）求的度数；（4）当点沿轴正方向移动到点时，点也随着运动，则点所走过的路线长 是 综合题答案1解：(1
23、) AO的长为，BOD的面积为 1； 2分(2) A，B两点在函数的图象上， 点A，B的坐标分别为，. 3分AO=AB，由勾股定理得， . 解得或. 4分，. 5分(3) OC=4， 点A的坐标为. . 设点B的坐标为， BE轴于点E，BD轴于点D， 四边形ODBE为矩形，且，点M的纵坐标为，点N的横坐标为.点M，N在函数的图象上，点M的坐标为，点N的坐标为. .， 6分其中.，而，当时，的最大值为1. 7分图12解：(1)补全图形见图1， 1分 EF与HM的数量关系是EF=HM ； 2分 (2)连接MF（如图2）. AD，CE分别平分BAC和ACB，且BAC=120， 1=2=60，3=4.
24、 AB=AC，图2 ADBC. NGEC， MDC =NGM =90. 4+6=90，5+6=90.4=5.3=5. NA=NC，2=60，ANC是等边三角形.AN=AC. 在AFN和AMC中， AFNAMC. 3分AF=AM.AMF是等边三角形.AF=FM，7=60.7=1.FMAE.FHCE，四边形FHEM是平行四边形. 4分EH=FM.AF=EH. 5分 (3) GM的长为. 7分3解：(1) 点A在直线上，且点A的横坐标为0，点A的坐标为.抛物线的解析式为. 1分点B在直线上，设点B的坐标为.点B在抛物线:上，.解得或.点A与点B不重合，点B的坐标为. 2分由勾股定理得AB=. 3分
25、(2) 点A的坐标为. 4分 (3) 方法一：设AC，BD交于点E，直线分别与轴、轴交于点P和Q（如图1）.则点P和点Q的坐标分别为， .图1OP=OQ=2.OPQ =45.AC轴，AC轴.EAB =OPQ =45.DEA =AEB=90，AB =，EA=EB =1.点A在直线上，且点A的横坐标为，点A的坐标为.点B的坐标为. AC轴，点C的纵坐标为. 点C在直线上，点C的坐标为. 抛物线的解析式为. BDAC，点D的横坐标为.点D在直线上，点D的坐标为. 5分点D在抛物线：上，.解得或. 当时，点C与点D重合，. 6分图2 方法二：设直线与轴交于点P，过点A作轴的平行线，过点B作轴的平行线，
26、交于点N.（如图2）则ANB=90，ABN=OPB.在ABN中，BN=ABcosABN，AN=ABsinABN.在抛物线随顶点A平移的过程中，AB的长度不变，ABN的大小不变，BN和AN的长度也不变，即点A与点B的横坐标的差以及纵坐标的差都保持不变.同理，点C与点D的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变.由(1)知当点A的坐标为时，点B的坐标为，当点A的坐标为时，点B的坐标为. AC轴，点C的纵坐标为. 点C在直线上，点C的坐标为. 令，则点C的坐标为. 抛物线的解析式为. 点D在直线上，设点D的坐标为. 点D在抛物线：上，.解得或.点C与点D不重合，点D的坐标为.当点C的坐标为时，点D的坐标为
27、.当点C的坐标为时，点D的坐标为. 5分BDAC，. 6分的取值范围是或. 8分说明：设直线与交于点M.随着点A从左向右运动，从点D与点M重合，到点B与点M重合的过程中，以A，B，C，D为顶点构成的图形不是凸四边形.4解：（1）抛物线过点， 解得 抛物线的解析式为 -2分（2）当时，或.抛物线与轴交于点， .-3分当时，或抛物线与直线交于点, .,关于直线的对称点，.-4分根据图象可得0或-5分的取值范围为4或-7分5解:(1) 平分，-1分，-2分 （2）证明：过作于点，由（1）得点、在以为圆心，为半径的圆上.-3分=，-4分，=4，图1-5分 -7分6解：（1）为等腰三角形-1分证明：如图
28、1，图2 为等腰三角形-2分（2）与的函数关系式为-4分（3）过作于，于交直线于. 为抛物线上异于顶点的任意一点，且， -5分设，,图3则，.当点在轴下方时，如图2,.， 图 4.-7分当点在轴上方时，如图3,，.同理可证. 当点在轴上时，如图4,.综上所述，.-8分7解：（1）. 方程有两个不相等的实数根，.1分，m的取值范围是.2分（2）证明：令得，. ，. 4分抛物线与x轴的交点坐标为（），（）.无论m取何值，抛物线总过定点（）.5分（3）是整数 只需是整数.是整数，且,.6分当时，抛物线为把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为.7分8解：（1），.，.，.，.2分（2）过
29、点作，垂足为点.，.，.，.4分（3）矩形ABCD，. ，.当以点E，F，H为顶点的三角形与相似时，）若，. ，.)若，如图所示，记与交于点.，.， .，. .设，则，. .，. .综上所述，线段的长为或1. 7分9.解：（1）2，； 4分（2）当时，；当时，. 6分（3）. 8分10. （1）证明：=. 1分 = =2分 0. 3分无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.（2）把x=-3代入原方程，解得m=1. 4分 . 即. 依题意，可知新的抛物线的解析式为. 5分即抛物线与直线只有一个公共点，.6分即.=0.解得b= -4. 7分11. 解：（1）根据题意得 1分 解得 所以抛物线的解
30、析式为.2分（2）如图1，过点Q的对应点作EFCD于点E，交x轴于点F. 设P(x，y)，则CQ= x，PQ=4- y. 由题意可知= CQ= x，=PQ=4- y，CQP =C=90. =90. .3分又cos=，.，整理可得.，（舍去）.5分如图2，过点Q的对应点作EFCD于点E，交x轴于点F. 设P(x，y)，则CQ=- x，PQ=4- y.可得.6分又cos=，.，整理可得.（舍去），.7分或.12. 解：（1）证明：如图，作GAH=EAB交GE于点H.GAB=HAE. 1分 EAB=EGB，APE=BPG， ABG=AEH. 又AB=AE， ABGAEH. 2分BG=EH，AG=AH
31、.GAH=EAB=60，AGH是等边三角形.AG=HG.EG =AG+BG. 3分(2) 5分（3）6分 如图，作GAH=EAB交GE于点H. GAB=HAE. EGB=EAB=90， ABG+AEG=AEG+AEH =180. ABG=AEH.又AB=AE， ABGAEH. 7分 BG=EH，AG=AH.GAH=EAB=90，AGH是等腰直角三角形.AG=HG.8分 13.（1）证明：1=0不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点 -1分（2）二次函数的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，且二次函数开口向上当x=1时，函数值y0,即0，解得k -2分关于x的一元二次方程k2x2(2k3)x1=0有两个不相等的实数根k0且2=0k且k0