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1、第三章量子力学中的力学量上本讲稿第一页，共二十二页第第1 1节节 表示力学量的算符表示力学量的算符(2 2)定理定理 厄米算符的本征值为实数厄米算符的本征值为实数 容易证明容易证明坐标算符和动量算符都是厄米算符坐标算符和动量算符都是厄米算符（见书（见书p56)。量子力学基本假定量子力学基本假定：体系处于力学量算符体系处于力学量算符 的本征态时，该力学的本征态时，该力学量有确定值，就是该力学量算符本征态对应的本征值。量有确定值，就是该力学量算符本征态对应的本征值。上章已经知道：体系处于动量算符本征态时，系统的动量有确定值，就是动量上章已经知道：体系处于动量算符本征态时，系统的动量有确定值，就是动
2、量算符的本征值。处于能量算符算符的本征值。处于能量算符(哈密顿量哈密顿量 )本征态本征态(定态定态)时，系统的能量有确时，系统的能量有确定值定值能量本征值。推广之！能量本征值。推广之！厄米算符厄米算符 ：力学量的数值是实数，要求力学量算符的本征值应该是实数。力学量的数值是实数，要求力学量算符的本征值应该是实数。因此要求：因此要求：力学量算符是力学量算符是(线性线性)厄米算符。厄米算符。线性线性：叠加原理，说明干涉衍射等。：叠加原理，说明干涉衍射等。取取由厄米算符的定义得由厄米算符的定义得本讲稿第二页，共二十二页第第2 2节节 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符求解本征值方程求解本征值方程
3、1 1、动量本征值方程动量本征值方程容易得到方程的解容易得到方程的解公式公式（d维维）它满足它满足“归一化归一化”条条件件在三维情况下在三维情况下有时希望解决：有时希望解决：1、不能归一化、不能归一化 2、连续谱、连续谱分立谱分立谱 (箱归一化箱归一化)上述解上述解 实实 都成立都成立连续谱连续谱而且解也不能满足归一化条件而且解也不能满足归一化条件 没有严格意义上的自由粒子没有严格意义上的自由粒子本讲稿第三页，共二十二页第第2 2节节 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符求解本征值方程求解本征值方程动量本征函数动量本征函数1 1、动量本征值方程动量本征值方程箱归一化箱归一化 满足箱满足箱归
4、一化条件归一化条件箱归一化箱归一化周期性边界条件周期性边界条件动量本征函数动量本征函数连续谱连续谱 分立谱分立谱 本讲稿第四页，共二十二页第第2 2节节 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符求解本征值方程求解本征值方程2 2、角动量算符角动量算符球坐标结果球坐标结果(推导见后，或略去推导见后，或略去)角动量平方算符角动量平方算符注意注意因单位矢量是坐标的函数因单位矢量是坐标的函数求求的共同本征函数的共同本征函数?为什么不是求为什么不是求的共同本征函数？的共同本征函数？本讲稿第五页，共二十二页预备知识xzy=00 0球球(r,)r=r 0=0P0O本讲稿第六页，共二十二页预备知识(较好的选择
5、较好的选择!)!)本讲稿第七页，共二十二页角动量算符角动量算符角动量平方算符角动量平方算符球坐标结果球坐标结果角动量算符角动量算符00本讲稿第八页，共二十二页第第2 2节节 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符2 2、角动量算符角动量算符求求的共同本征函数的共同本征函数单值性要求单值性要求令令该方程是数学物理中的标准方程。结论是：该方程是数学物理中的标准方程。结论是：P是非零有限函数的条件是是非零有限函数的条件是勒勒让让德德(Legendre)多项式多项式微分表示微分表示球谐函数方程球谐函数方程连带勒让德方程连带勒让德方程本讲稿第九页，共二十二页预备知识预备知识连带勒让德方程解法连带勒让德
6、方程解法若若则则级数解法：级数解法：作幂级数展开作幂级数展开比较同幂次项系数比较同幂次项系数结论是：结论是：P是非零有限函数的条件是是非零有限函数的条件是勒勒让让德德(Legendre)多项式多项式微分表示微分表示正交性正交性本讲稿第十页，共二十二页第第2 2节节 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符2 2、角动量算符角动量算符最后结果最后结果的共同本征函数的共同本征函数Y称为称为球谐函数球谐函数归一化常数归一化常数Legendre多项式多项式本征值本征值正交归一化条件正交归一化条件的状态分别成为的状态分别成为s,p,d,f 态。态。习题习题(p101 3.5题题+1问问)求刚性转子的定态
7、能量及波函数。哈密顿量分别是求刚性转子的定态能量及波函数。哈密顿量分别是1)2)3)简并度简并度本讲稿第十一页，共二十二页第第3 3节节 氢原子氢原子1 1、预备知识预备知识两体问题转化为单体问题两体问题转化为单体问题引入引入质心坐标质心坐标相互作用势能相互作用势能能量能量(哈密顿量哈密顿量)质心动量质心动量相对动量相对动量总质量总质量约化质量或折合质量约化质量或折合质量量子力学也是如此量子力学也是如此！定态薛定谔方程定态薛定谔方程可变成可变成相对坐标相对坐标无耦合！无耦合！能量能量(哈密顿量哈密顿量)质心运动是质量为质心运动是质量为M的自由粒子的运动。的自由粒子的运动。相对运动是质量为相对运
8、动是质量为的粒的粒子在外场中的运动。子在外场中的运动。1x+r1r2rR 2Oyz本讲稿第十二页，共二十二页第第3 3节节 氢原子氢原子2 2、预备知识预备知识三维问题转化为一维问题三维问题转化为一维问题定态薛定谔方程定态薛定谔方程折合质量折合质量由于势能只是距离的函数由于势能只是距离的函数与方向无关与方向无关=可分离变量可分离变量球坐标系中球坐标系中其中其中离心势能离心势能3)基态是基态是s态态结论结论1)离心势能的引入离心势能的引入与经典力学非常类似与经典力学非常类似2)3维可解（势能维可解（势能V(r)）1维可解（势能维可解（势能 )径向方程径向方程角向方程角向方程本讲稿第十三页，共二十
9、二页第第3 3节节 氢原子氢原子氢原子问题氢原子问题决定定态能量的方程是决定定态能量的方程是简化简化E0时为非束缚态时为非束缚态连续谱连续谱考虑考虑E0 时为非束缚态时为非束缚态对应连续谱对应连续谱E0束缚态束缚态能量能量玻尔半径玻尔半径径向波函数径向波函数归一化常数归一化常数主量子数主量子数角量子数角量子数磁量子数磁量子数简并度简并度共同本征函数共同本征函数缔合缔合Laguerre多项式多项式其中其中归一化条件归一化条件考虑考虑例如例如本讲稿第十六页，共二十二页第第3 3节节 氢原子氢原子径向概率密度径向概率密度图略，见书图略，见书p75图图20概率分布概率分布径向径向角向独立角向独立s,p
10、,d,f,态态角向概率分布角向概率分布径向概率分布径向概率分布例题例题1 求基态氢原子的最可几半径。求基态氢原子的最可几半径。基态径向波函数：基态径向波函数：。电子电子-p角向概率密度角向概率密度绕绕z轴旋转对称的立体图形！轴旋转对称的立体图形！或或注意注意（玻尔半径）（玻尔半径）本讲稿第十七页，共二十二页第第3 3节节 氢原子氢原子例题例题氢原子波函数氢原子波函数例题例题2 p100-101 3.3-3.4题题 求氢原子中电子的电流密度和相应的磁矩和回磁比求氢原子中电子的电流密度和相应的磁矩和回磁比几率流密度矢量几率流密度矢量电流密度矢量电流密度矢量定态时变为定态时变为电流环的磁矩电流环的磁
11、矩环围绕面积环围绕面积环电流环电流环的体积环的体积总磁矩总磁矩电流环的磁矩电流环的磁矩轨道回转磁比率轨道回转磁比率本讲稿第十八页，共二十二页第第3 3节节 氢原子氢原子例题例题例题例题3 氢原子的典型物理量氢原子的典型物理量量纲分析量纲分析精细结构常数精细结构常数电磁耦合强度、能级精细结构（相对论修正）电磁耦合强度、能级精细结构（相对论修正）氢原子典型速度氢原子典型速度电离能电离能非相对论描述非相对论描述氢原子典型能量氢原子典型能量氢原子典型角动量氢原子典型角动量电子相关典型长度电子相关典型长度氢原子典型线度氢原子典型线度Compton波长波长相对论、量子理论相对论、量子理论非相对论量子理论非
12、相对论量子理论电子经典半径电子经典半径相对论经典理论相对论经典理论量子理论的标识常数量子理论的标识常数相对论的标识常数相对论的标识常数质点运动非相对论描述的条件质点运动非相对论描述的条件或或 动能动能静能静能本讲稿第十九页，共二十二页第第3 3节节 氢原子氢原子例题例题例题例题4 简单常数代换简单常数代换氢原子中所有结果中氢原子中所有结果中类氢原子类氢原子介子原子、电子空穴对、等等介子原子、电子空穴对、等等氢原子中所有结果中氢原子中所有结果中介质中氢原子介质中氢原子半导体半导体施主、受主能级量级施主、受主能级量级（还要考虑有效质量修正）（还要考虑有效质量修正）引力引力“原子原子”2个中子个中子
13、氢原子中所有结果中氢原子中所有结果中引力太微弱！引力太微弱！本讲稿第二十页，共二十二页第第3 3节节 氢原子氢原子例题例题例题例题5 一维氢原子一维氢原子三维氢原子结果三维氢原子结果2度简并度简并偶偶奇奇例题例题6 二维氢原子二维氢原子例题例题6 碱金属原子碱金属原子原子实原子实+价电子价电子零级近似就是氢原子结果零级近似就是氢原子结果考虑考虑原子实的极化原子实的极化、电子轨道贯穿电子轨道贯穿（半经典描述）（半经典描述）本讲稿第二十一页，共二十二页与氢原子的差别与氢原子的差别（1 1）能量由（能量由（n,n,）两个量子数决定，主量子数相）两个量子数决定，主量子数相同，角量子数不同的能级不相同。
14、各能级均低于氢同，角量子数不同的能级不相同。各能级均低于氢原子相应能级。原子相应能级。（2 2）对同一对同一n n值，值，不同不同 值值的能级，的能级，值值较大的能级与氢较大的能级与氢原子的差别较小；对同一原子的差别较小；对同一 值，值，不同不同n n值值的能级，的能级，n n值值较较大的能级与氢原子的差别较小。大的能级与氢原子的差别较小。（3 3）n n很大时，能级与氢的很接近，少数光谱线的很大时，能级与氢的很接近，少数光谱线的波数几乎与氢的相同。波数几乎与氢的相同。即即:n:n很小时很小时,差别大差别大,且且 值值越越小小,原子序数原子序数越越大大,能级能级和波数与氢原子的差别和波数与氢原子的差别越越大大;n n很大时，能级和波数几乎很大时，能级和波数几乎与氢的相同。与氢的相同。3d3d后就几乎与氢的相同。后就几乎与氢的相同。碱金属原子碱金属原子本讲稿第二十二页，共二十二页