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1、高等数学年最新课件二重积分本讲稿第一页，共三十二页在这一节，我们将把一元函数定积分的概念及基本性在这一节，我们将把一元函数定积分的概念及基本性质推广到二元函数的定积分，即二重积分，为引出二重积质推广到二元函数的定积分，即二重积分，为引出二重积分的概念，我们先来讨论两个实际问题。分的概念，我们先来讨论两个实际问题。1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积体积公式来计算，但可采用这样的思想方法体积公式来计算，但可采用这样的思想方法n n 二重积分的概念二重积分的概念二重积分的概念二重积分的概念本讲稿第二页，共三十二页（1）分割）分割（2）近似）近似本讲稿第三页，共三十二页即即本讲稿第四页，共三十二页(3)
2、求和求和就得到所求的曲顶柱体的体积的近似值，就得到所求的曲顶柱体的体积的近似值，即即（4）取极限）取极限即即本讲稿第五页，共三十二页2.平面薄板的质量平面薄板的质量本讲稿第六页，共三十二页本讲稿第七页，共三十二页上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义。述二重积分的定义。定义定义本讲稿第八页，共三十二页如果
3、当个小闭区域的直径中的最大值如果当个小闭区域的直径中的最大值趋于零时，趋于零时，最后附带指出，在二重积分的定义最后附带指出，在二重积分的定义本讲稿第九页，共三十二页边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。任取一小区域区域。任取一小区域也就是说，在直角坐标系下，有也就是说，在直角坐标系下，有本讲稿第十页，共三十二页二重积分与一元函数定积分有类似的性质。二重积分与一元函数定积分有类似的性质。下面所涉及下面所涉及性质性质1被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即即性质性质2 函数的和（或差
4、）的二重积分等于各个函数的二重函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重 n n 二重积分的性质二重积分的性质二重积分的性质二重积分的性质本讲稿第十一页，共三十二页性质性质3此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。性质性质4此性质的几何意义很明显，因为高为此性质的几何意义很明显，因为高为1的平顶柱体的体积在的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。数值上就等于柱体的底面积。本讲稿第十二页，共三十二页性质性质5特殊地，由于特殊地，由于又有不等式又有不等式性质性质6本讲稿第十三页，共三十二页性质性质7（二重积分的中值定理）（二重积分的中值定理）使得下
5、式成立使得下式成立本讲稿第十四页，共三十二页按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。域来说，这不是一种切实可行的方法。1.在直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下二重积分的计算n n 二重积分的计算二重积分的计算二重积分的计算二重积分的计算本讲稿第十五页，共三十二页其截面是一个曲边梯形，这个曲边梯形的其截面是一个曲边梯形，这个曲边梯形的“曲边曲边”是曲线是曲线本讲稿第十六页，共三十二页由于整个
6、曲顶柱体的体积为由于整个曲顶柱体的体积为由此，可得由此，可得或者写成或者写成本讲稿第十七页，共三十二页定理定理7.9记作记作因此，等式因此，等式7.6也写成也写成本讲稿第十八页，共三十二页本讲稿第十九页，共三十二页定理定理7.10 设区域设区域D为为记作记作本讲稿第二十页，共三十二页上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域积分限是根据积分区域D的类型来确定的。的类型来确定的。本讲稿第二十一页，共三十二页对于较复杂的积分区域，
7、在化二重积分为二次积分时，对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分次序。为了计算简便，需要选择恰当的二次积分次序。这时，既要这时，既要考虑积分区域考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的形状，又要考虑被积函数下面举例说明如何利用公式下面举例说明如何利用公式(7.6)计算二重积分。计算二重积分。例例1解解本讲稿第二十二页，共三十二页（2）定限）定限（3）计算）计算例例2本讲稿第二十三页，共三十二页解解（3）计算）计算本讲稿第二十四页，共三十二页2.在极坐标系下二重积分的计算在极坐标系下二重积分的计算按二重积分的定义有按二重积分的定义有下面将推导出这个和
8、的极限在极坐标系中的形式下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式.曲线相交不多于两点曲线相交不多于两点,我们用以极点为中心的一族同心圆我们用以极点为中心的一族同心圆:本讲稿第二十五页，共三十二页本讲稿第二十六页，共三十二页于是于是即即本讲稿第二十七页，共三十二页由于在直角坐标系中由于在直角坐标系中也常记作也常记作所以所以,上式又可写成上式又可写成这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式（公式（7.8）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变变换为极坐标，只要把被积函数中的变换为极坐标，只要把被积函数中的本讲稿第二十八页，共三十二页接下来的问题，仍然是要将它化成二次积分来计算。为接下来的问题，仍然是要将它化成二次积分来计算。为本讲稿第二十九页，共三十二页二重积分化为二次积分的公式为二重积分化为二次积分的公式为上式也写成上式也写成（7.9）本讲稿第三十页，共三十二页本讲稿第三十一页，共三十二页例例3解解本讲稿第三十二页，共三十二页