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1、高等数学二重积分概念本讲稿第一页，共二十八页三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 第十章 本讲稿第二页，共二十八页解法解法:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底：顶顶:侧面：侧面：求其体积.“大化小,常代变,近似和,求 极限”xOy 面上的闭区域 D连续曲面以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面类似定积分解决问题的思想:本讲稿第三页，共二十八页1)“大化小”以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个
2、3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体用 曲线网分D为 n 个区域任意本讲稿第四页，共二十八页4)“取极限”令则曲顶柱体的体积为：本讲稿第五页，共二十八页2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片,在 xOy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.度为设D 的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”相应把薄片也分为小块.用 曲线网分D 为 n 个小区域任意本讲稿第六页，共二十八页2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量本讲稿第七页，共二十八页两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同
3、“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:本讲稿第八页，共二十八页二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义 将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I,使可积可积,积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,在D上的二重积分二重积分.本讲稿第九页，共二十八页引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域 D,因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 本讲稿第十页，共二十八页二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数定理2(证明略)定理1 在D上可积可积.限个
4、点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如,在 D:上二重积分存在;在D 上 二重积分不存在.本讲稿第十一页，共二十八页三、二重积分的性质三、二重积分的性质(k 为常数)为D 的面积,则 本讲稿第十二页，共二十八页特别,由于则5.若在D上6.设D 的面积为,则有本讲稿第十三页，共二十八页7.(二重积分的中值定理)证证由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使使连续,因此由性质6 可知,本讲稿第十四页，共二十八页例例1其中解解它在与 x 轴的交点(1,0)处与直线从而而域 D 位于直线的上方,故在 D
5、上比较下列积分的大小:积分域 D 的边界为圆周本讲稿第十五页，共二十八页例例2 估计下列积分之值解解由于积分性质5即:1.96 I 2DD 的面积为本讲稿第十六页，共二十八页例例3 判断积分的正负号.解解则原式=猜想结果为负 但不好估计.舍去此项分积分域为本讲稿第十七页，共二十八页8.设函数D 位于 x 轴上方的部分为D1,当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍在 D 上在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有本讲稿第十八页，共二十八页四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的记记作作
6、本讲稿第十九页，共二十八页同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算记记作作 本讲稿第二十页，共二十八页例例4解解利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.设两个直圆柱方程为本讲稿第二十一页，共二十八页内容小结内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法本讲稿第二十二页，共二十八页被积函数相同,且非负,思考与练习思考与练习解解 由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:本讲稿第二十三页，共二十八页2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则的大小顺序为()因 0 y 1,故故在D上有提示:本讲稿第二十四页，共二十八页3 计算解解 本讲稿第二十五页，共二十八页4 证明:其中D 为解解又 D 的面积为 1,故结论成立.利用题中 x,y 位置的对称性,有本讲稿第二十六页，共二十八页补充题补充题1.的值,其中 D 为解解 被积函数D 的面积的最大值的最小值 估计本讲稿第二十七页，共二十八页2.判断的正负.解解 当时，故又当时，于是本讲稿第二十八页，共二十八页