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1、高等数学二重积分的计算法本讲稿第一页，共五十页 于是在直角坐标系下可于是在直角坐标系下可用平行于坐标轴的直线网来用平行于坐标轴的直线网来划分区域划分区域D，故二重积分可写为故二重积分可写为D则面积元素为则面积元素为 若若f（x，y）在有界闭区域）在有界闭区域D上可积，则积分值上可积，则积分值与区域与区域D的分割方式及点的分割方式及点 的取法无关。的取法无关。一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分本讲稿第二页，共五十页设曲顶柱体的底可表示为设曲顶柱体的底可表示为:X型型积分区域积分区域其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.1.X型型积分区域：积分区域：本讲稿第三页
2、，共五十页则则X型区域的二重积分可按如下累次积分计算型区域的二重积分可按如下累次积分计算本讲稿第四页，共五十页同样同样,曲顶柱体的底可表示为曲顶柱体的底可表示为Y型型2.Y型型积分区域：积分区域：本讲稿第五页，共五十页则则Y型区域的二重积分可按如下累次积分计算型区域的二重积分可按如下累次积分计算本讲稿第六页，共五十页 X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直线与轴的直线与区域边界相交不多于两个交点区域边界相交不多于两个交点.本讲稿第
3、七页，共五十页若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别使在分割后的三个区域上分别使用积分公式用积分公式则必须分割则必须分割.本讲稿第八页，共五十页化二重积分为累次积分的化二重积分为累次积分的步骤：步骤：1.1.确定积分区域是确定积分区域是X-X-型还是型还是Y-Y-型若都不是则分块型若都不是则分块2.2.确定积分确定积分限限；3.3.分别进行积分。分别进行积分。本讲稿第九页，共五十页注意注意1 若若D=(x,y)|axxb,cyd 为为矩形区域矩形区域本讲稿第十页，共五十页注意注意2 如果如果 D 既是既是 x-型区域，又是型区域，又是 y-型区域，型区域，将二重积分化为两种不同顺序的
4、累次积分，结果将二重积分化为两种不同顺序的累次积分，结果相同相同.但实计算时，可能影响计算的繁简，甚至但实计算时，可能影响计算的繁简，甚至于影响到能否于影响到能否“积出积出”。因此，化二重积分为累。因此，化二重积分为累次积分时，应注意积分次序的选择。次积分时，应注意积分次序的选择。本讲稿第十一页，共五十页主要题型主要题型:1.改变积分顺序改变积分顺序(给出抽象函数给出抽象函数)2.纯计算二重积分纯计算二重积分(给出具体的函数和区域给出具体的函数和区域)3.需要考虑积分顺序的二重积分的计算需要考虑积分顺序的二重积分的计算 (几个常见的函数几个常见的函数)5.空间立体体积的计算空间立体体积的计算(
5、有时和定积分结合起来有时和定积分结合起来)利用二重积分的几何含义利用二重积分的几何含义(曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积)4.被积函数中带绝对值被积函数中带绝对值本讲稿第十二页，共五十页1.改变积分顺序改变积分顺序(给出抽象函数给出抽象函数)本讲稿第十三页，共五十页解解积分区域如图积分区域如图本讲稿第十四页，共五十页解解积分区域如图积分区域如图本讲稿第十五页，共五十页0y x2a2a例例3 3 改变积分换序改变积分换序aD:解解0 x 2aD1D2D3本讲稿第十六页，共五十页练习练习:改变积分顺序改变积分顺序本讲稿第十七页，共五十页2.纯计算二重积分纯计算二重积分(给出具体的函数和区域给出具体的函
6、数和区域)本讲稿第十八页，共五十页11y=x20y xD2 先对先对 y 积分（从下到上）积分（从下到上）1 画出区域画出区域 D 图形图形3 先对先对 x 积分（从左到右）积分（从左到右）.y=x.例例5：计算：计算本讲稿第十九页，共五十页例例7.计算计算其中其中D 由由所围成所围成.解解:令令(如图所示如图所示)显然显然,本讲稿第二十页，共五十页3.需要考虑积分顺序的二重积分的计算需要考虑积分顺序的二重积分的计算 (几个常见的函数几个常见的函数)本讲稿第二十一页，共五十页解解本讲稿第二十二页，共五十页解解本讲稿第二十三页，共五十页4.被积函数中带绝对值被积函数中带绝对值本讲稿第二十四页，共
7、五十页例例1010解解先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图本讲稿第二十五页，共五十页5.空间立体体积的计算空间立体体积的计算(有时和定积分结合起来有时和定积分结合起来)利用二重积分的几何含义利用二重积分的几何含义(曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积)本讲稿第二十六页，共五十页例例13求两个垂直的底圆半径为求两个垂直的底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积解解:设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为本讲稿第二十九页，共五十页二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标
8、系计算二重积分 在平面上取定一点在平面上取定一点O，由，由O出发引一出发引一 条射线条射线Ox，并取定一个长度单位和计算角度，并取定一个长度单位和计算角度 的正方向（逆时针方向），合称为一个极坐的正方向（逆时针方向），合称为一个极坐 标系。标系。这样，平面上任一点这样，平面上任一点M的位置就可以用的位置就可以用OM 的长度的长度 r 和从和从Ox到到OM的角度的角度 来刻划，来刻划，称为称为M在这个极坐标系中的极坐标，在这个极坐标系中的极坐标，O点称为极坐点称为极坐 标系的极点，标系的极点，Ox称为极轴。称为极轴。xrMO本讲稿第三十页，共五十页本讲稿第三十一页，共五十页二重积分化为二次积分的
9、公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征区域特征:积分域在极点外积分域在极点外本讲稿第三十二页，共五十页区域特征如图区域特征如图本讲稿第三十三页，共五十页二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征区域特征:积分域的边界过极点积分域的边界过极点本讲稿第三十四页，共五十页极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征区域特征:极点在积分域内极点在积分域内本讲稿第三十五页，共五十页0y x2a.解解例例1.本讲稿第三十六页，共五十页此题用直角系算麻烦，此题用直角系算麻烦，需使用需使用极坐标系！极坐标系！极坐
10、标系！极坐标系！21D0y xD:变换到变换到极坐标系极坐标系.例例2计算计算本讲稿第三十七页，共五十页2R区域边界：区域边界：x=0.0y x 即即 r=2Rsin r=2Rsin 例例3 3.本讲稿第三十八页，共五十页0y x12 y=xD.例例4 4本讲稿第三十九页，共五十页解解例例5.a-a0本讲稿第四十页，共五十页y0 x本讲稿第四十一页，共五十页练习练习 本讲稿第四十二页，共五十页解解xy0本讲稿第四十三页，共五十页例例12本讲稿第四十四页，共五十页解解本讲稿第四十五页，共五十页本讲稿第四十六页，共五十页本讲稿第四十七页，共五十页解解本讲稿第四十八页，共五十页作业作业P95 1 (2),(4);2 (1),(4);5;6 (4)(5);8；9；11(2),(3);13(3),(4);14(2),(3);15(1),(4)；17本讲稿第五十页，共五十页