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1、高中数学必修四1.5函数的图象小结导学案中学数学必修四导学案1.4三角函数的图象和性质小结 1.4三角函数的图象和性质小结编审：周彦魏国庆【学习目标】1能画出ysinx，ycosx，ytanx的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性【新知自学】学问梳理：1周期函数及最小正周期对于函数f(x)，假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期若在全部周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期2正弦函数、余弦函数、正切
2、函数的图象和性质函数ysinxycosxytanx图象 定义域xRxRxR且x2k，kZ值域_单调性在_上递增，kZ；在_上递减，kZ在_上递增，kZ；在_上递减，kZ在_上递增，kZ最值x_(kZ)时，ymax1；x_(kZ)时，ymin1x_(kZ)时，ymax1；x_(kZ)时，ymin1无最值奇偶性_对称性对称中心_对称轴_无对称轴最小正周期_ 对点练习：1、函数ycosx3，xR()A是奇函数B是偶函数C既不是奇函数也不是偶函数D既是奇函数又是偶函数2下列函数中，在2，上是增函数的是()AysinxBycosxCysin2xDycos2x3函数ycos2x2的图象的一条对称轴方程是(
3、)Ax2Bx4Cx8Dx4函数f(x)tanx(0)的图象的相邻的两支截直线y4所得线段长为4，则f4的值是()A0B1C1D45已知函数ysinx的定义域为，值域为1，12，则ba的值不行能是()A3B23CD43【合作探究】典例精析：一、三角函数的定义域与值域例1、(1)求函数ylgsin2x9x2的定义域(2)求函数ycos2xsinx|x|4的最大值与最小值 规律总结：1求三角函数定义域事实上是解简洁的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sinx，cosx的值域；(2)化为yAsin(x)k的形式，逐步分析x
4、的范围，依据正弦函数单调性写出值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题变式练习1：(1)求函数ysinxcosx的定义域(2)已知函数f(x)cos2x32sinx4sinx4，求函数f(x)在区间12，2上的最大值与最小值 二、三角函数的单调性例2、（1）已知函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，.若f(x)的最小正周期为6，且当x2时，f(x)取得最大值，则()Af(x)在区间上是增函数Bf(x)在区间上是增函数Cf(x)在区间上是减函数Df(x)在区间上是减函数（2）设aR，f(x)cosx(asinxcosx)cos22x满意f3
5、f(0)，求函数f(x)在4，1124上的最大值和最小值 规律总结：1熟记ysinx，ycosx，ytanx的单调区间是求困难的三角函数单调区间的基础2求形如yAsin(x)k的单调区间时，只需把x看作一个整体代入ysinx的相应单调区间即可，留意A的正负以及要先把化为正数变式练习2：（1）若函数y2cosx在区间上递减，且有最小值1，则的值可以是()A.2B.12C.3D.13（2）函数f(x)sin2x3的单调减区间为_ 三、三角函数的周期性和奇偶性及对称性例3、设函数f(x)sin2x23sinxcosxcos2x(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且12，1.(1)求函数f(x
6、)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点4，0，求函数f(x)的值域 规律总结：求三角函数周期的方法：(1)利用周期函数的定义；(2)公式法：y=Asin(x)和y=Acos(x)的最小正周期为2|，y=tan(x)的最小正周期为|；变式练习3：已知函数f(x)(sinxcosx)sinx，xR，则f(x)的最小正周期是_ 【课堂小结】 【当堂达标】1若函数f(x)sinx3()是偶函数，则()A2B23C32D532函数yln(sinxcosx)的定义域为_3函数y2sinx4的单调递增区间为_4设函数f(x)cos2x3sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期(2)设A，
7、B，C为ABC的三个内角，若cosB13，=-14，且C为锐角，求sinA. 5已知函数f(x)sinx(cosx3sinx)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数ysin2x的图象向左平移a0a2个单位，向下平移b个单位，得到函数yf(x)的图象，求a，b的值；(3)求函数f(x)的单调增区间 【课时作业】1、已知函数ysinx的定义域为，值域为，则ba的值不行能是()A.3B.23C.D.432、若函数f(x)sinx3()是偶函数，则()A.2B.23C.32D.533、函数ycos2x3图象的对称轴方程可能是()Ax6Bx12Cx6Dx124.假如函数f(x)sin(x6)(0
8、)的两个相邻零点之间的距离为12，则的值为()A.3B.6C.12D.245.函数f(x)cos(2x32)(xR)，下面结论不正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为B.函数f(x)的对称中心是(2，0)C.函数f(x)的图象关于直线x4对称D.函数f(x)是偶函数6、若02，g(x)sin2x4是偶函数，则的值为_7、函数y2sin(3x)2的一条对称轴为x12，则_.8、函数ycos(3x)的图象关于原点成中心对称图形则_.9.若函数f(x)2tan(kx3)的最小正周期T满意1T2，则自然数k的值为_10.设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,cR),已知不论、为何实数恒有f(si
9、n)0和f(2+cos)0.(1)求证：b+c=1；(2)求证c3；(3)若函数f(sin)的最大值为8，求b，c的值. 11、有一块半径为R，中心角为45的扇形铁皮材料，为了获得面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值. 12、是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+a在闭区间0，上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由. 【延长探究】设f(x)asin2xbcos2x，其中a，bR，ab0，若f(x)f6对一切xR恒成立，则f11120f710f5f(x)既不是奇函
10、数也不是偶函数f(x)的单调递增区间是k6，k23(kZ)存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交以上结论正确的是_(写出正确结论的编号) 中学数学必修四1.4.3正切函数的性质和图象导学案 1.4.3正切函数的性质和图象【学习目标】1.能借助单位圆中正切线画出y=tanx的图象.2.理解正切函数在上的性质.（预习课本第页42-44页的内容）【新知自学】学问回顾：1、周期性 2、奇偶性 3.单调性：y=sinx在每一个区间_上是增函数，在每一个区间_上是减函数；y=cosx在每一个区间_上是增函数，在每一个区间_上是减函数；4.最值：当且仅当x=_时，y=sinx取最大值_，当且仅
11、当x=_时，y=sinx取最小值_.当且仅当x=_时，取最大值_，当且仅当x=_时，y=cosx取最小值_.新知梳理：1.正切函数的性质（1）周期性：正切函数的最小正周期为_;y=tanx()的最小正周期为_.（2）定义域、值域：正切函数的定义域为_,值域为_.（3）奇偶性：正切函数是_函数.（4）单调性：正切函数的单调递增区间是_.2正切函数的图象：正切函数y=tanx,xR且的图象，称“正切曲线”.探究：1.正切函数图象是被平行直线y=所隔开的无穷多支曲线组成。能否认为正切函数在它的定义域内是单调递增的？ 2.正切曲线的对称中心是什么？ 对点练习：1.函数的周期是（）A.B.C.D.2.函
12、数的定义域为()A.B.C.D.3.下列函数中,同时满意(1)在(0,)上递增,(2)以2为周期,(3)是奇函数的是()A.B.C.D.4.求函数y的定义域【合作探究】典例精析：题型一：与正切函数有关的定义域问题例1.求函数的定义域. 变式1.求函数的定义域. 题型二：正切函数的单调性例2.（1）求函数y=tan(3x-)的周期及单调区间.（2）比较tan与tan的大小. 变式2.(1)求函数y=tan(-x)的周期及单调区间.(2)比较大小：tan与tan(). 【课堂小结】 【当堂达标】1.下列各式正确的是（）ABCD大小关系不确定 2.函数y5tan(2x1)的最小正周期为_ 3.函数y
13、tan的单调区间是_，且此区间为函数的_区间（填递增或递减） 4.写出函数y=|tanx|的定义域、值域、单调区间、奇偶性和周期. 【课时作业】1、在定义域上的单调性为（）.A在整个定义域上为增函数B在整个定义域上为减函数C在每一个上为增函数D在每一个上为增函数2、若,则（）.ABCD3.与函数的图象不相交的一条直线是（）4.已知函数的图象过点，则可以是 5tan1,tan2,tan3的大小关系是 _. 6.下列四个命题：函数ytanx在定义域内是增函数；函数ytan(2x1)的最小正周期是；函数ytanx的图象关于点(，0)成中心对称；函数ytanx的图象关于点成中心对称其中正确命题的序号为
14、_ 7.求函数y=3tan(2x+),()的值域、单调区间。 8.比较tan与tan()的大小 9.求下列函数的定义域（1）（2）（3）y=lg(1-tanx)（4）y 10.函数的定义域是, 周期是 单调区间为 【延长探究】7函数f(x)tanx(0)的图象上的相邻两支曲线截直线y1所得线段长为，则的值是_ 8.已知，求函数f(x)的最值及相应的x值. 中学数学必修四1.5.2函数的图象与性质（2）导学案 1.5.2函数的图象与性质（2）【学习目标】1.娴熟驾驭由到的图象的变换过程.2.依据三角函数的图象给出的条件求函数解析式.（预习教材P53P56，找出怀疑之处）【新知自学】学问回顾：1.
15、把y=sinx图象向（0)或向(O)平行移动个单位，得到y=sin(x+)的图象；再将得到图象上各点横坐标变为原来的倍，得到y=sin()(0)的图象；再把得到图象上各点的纵坐标变为原来的倍，得到y=Asin()(A0，0)的图象。2.考虑按A的依次，如何进行图像变换？探究新知：1.yAsin(x)(A0，0)中A、的物理意义：A叫振幅，确定图象最高(低)点的位置；叫相位，叫初相，影响图象的零值点；影响其周期，T=通常状况下：A0，0，可正可负，也可为O2.图象的对称性:函数y=Asin()(A0，0)的图象具有轴对称和中心对称，详细如下：(1)函数y=Asin()的图象关于每一条直线成轴对称
16、图形.（2)函数y=Asin()的图象关于点(，0)(其中()，成中心对称图形 3、对点练习：（1）将函数ysinx的图象向左平移3个单位长度后所得图象的解析式为_（2）把ysinx图象上全部点的横坐标变为原来的13(纵坐标不变)得到的图象对应的函数解析式为_（3）函数y2sin(x34)的周期、振幅依次是_、_.【合作探究】典例精析：题型一：函数y=Asin()的性质例1.已知函数f(x)12sin(2x6)54，(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合变式1：函数y6sin(14x6)
17、的振幅是_，周期是_，频率是_，初相是_，图象最高点的坐标是_ 题型二：求函数y=Asin()得解析式例2，如图是函数yAsin(x)(A0，0，|2)的图象的一部分，求此函数的解析式变式2：若函数的最小值为-2，周期为，且它的图象过点（0，），求此函数的表达式。 规律总结：由函数yAsin(x)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，的值。(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|；(2)通过求周期T来确定，相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T；(3)从找寻“五点法”中的第一零点，0(也叫初始点)作为突破口 【课堂小结】【当堂达标】1、函数(
18、0，|，xR)的部分图象如图所示，则函数表达式为()(A)y=-4sin(x+)(B)y=4sin(x-)(C)y=4sin(x-)(D)y=4sin(x+)2.已知函数（A0，0，0）的两个邻近的最值点为（）和（），则这个函数的解析式为_. 3设函数在同一周期内，当时，y有最大值为；当，y有最小值。求此函数解析式. 【课时作业】1、已知函数ysin(x)(0，|2)的部分图象如图所示，则()A1，6B1，6C2，6D2，6 2.将函数的图象沿x轴向右平移，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与的图象相同，则是()（A）（B）（C）（D）3.已知如图是函数的图象，那么（
19、）ABCD 4、函数ysin2x的图象向右平移个单位(0)得到的图象恰好关于x6对称，则的最小值是_ 5、关于f(x)4sin2x3(xR)，有下列命题：由f(x1)f(x2)0可得x1x2是的整数倍；yf(x)的表达式可改写成y4cos2x6；yf(x)图象关于6，0对称；yf(x)图象关于x6对称其中正确命题的序号为_(将你认为正确的都填上) 6、已知函数图象的一个最高点（2，3）与这个最高点相邻的最低点为（8，-3），求该函数的解析式. 7、函数的最小值为-2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差是,又图象过点（0，1），求这个函数的解析式.8、用五点法作出函数y2sin(x3)3的图象，
20、并指出它的周期、频率、相位、初相及最值 【延长探究】已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点M34，0对称，且在区间0，2上是单调函数，求和的值 中学数学必修四1.5.1函数的图象与性质（1）导学案 1.5.1函数的图象与性质（1）【学习目标】1.了解的实际意义，会用五点法画出函数的简图.2.会对函数进行振幅变换，周期变换，相位变换，领悟“由简洁到困难，从特别到一般”的化归思想.（预习教材P49P53，完成下列问题）【新知自学】学问回顾：1、函数y=sinx，y=cosx的图象、性质 2、“五点法”作图 新知梳理：1、情景引入：物体作简谐运动时，位移s与时间t的关系为
21、，请你思索一下，能说出简谐运动的振幅，周期，频率，相位，初相是什么吗？它的图象与有何关系？2、新知探究问题1，在同一坐标系中，画出,的简图，思索与的图象有什么关系? 结论：一般地,函数的图象可以看做将函数的图象上全部的点(当)或(当)平移个单位长度而得到的.问题2，与的图象有什么关系? 结论：一般地,函数的图象可以看做将函数的图象上全部的点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)而得到的.问题3.与的图象有什么关系?结论：一般地,函数的图象可以看做将函数的图象上全部的点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)而得到. 对点练习：1、函数的图象经过、即得到函数的图象。 2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区
22、间上的简图：（1）； 3、要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【合作探究】典例精析：例1：叙述到的改变过程.向_平移_个单位得到 变式练习1：叙述到的改变过程. 向右平移个单位得到,求 例2:将函数的图象先沿x轴向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，求与最终的图象对应的很熟解析式。 变式2：函数的图象可看作是函数的图象，经过如下平移得到的，其中正确的是（）.A.右移个单位B.左移个单位C.右移个单位D.左移个单位例3:用“五点法”作出函数y3sin(2x3)，xR的简图，说明它与ysinx图象之间的关系 【
23、感悟】（1）整体代换：令取0、2得到五点作图；它在x22k(kZ)时取得最大值，在x322k(kZ)时取得最小值变式3：已知函数y3sin(12x4)(1)用“五点法”画函数的图象；(2)说出此图象是由ysinx的图象经过怎样的变换得到的； 【课堂小结】1学问：2方法：3思想：【当堂达标】1、1.若将某函数的图象向左平移，所得到的图象的函数式是,则原来的函数表达式为（）.A.B.C.D.2.已知函数在同一周期内，当时,y有最大值2，当xy有最小值-2，那么函数的解析式为（）.A.B.C.D.3.已知函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图形沿着x轴向左平移个单位
24、，这样得到的曲线与的图象相同，那么已知函数的解析式为（）.A.B.C.D.【课时作业】1、要得到函数ysin12x的图象，只需将函数ysin(12x6)的图象()A向左平移3个单位B向右平移3个单位C向左平移6个单位D向右平移6个单位2、将函数y5sin3x的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象右移3个单位，得到图象的解析式是()Ay5sin(3232x)Bysin(71032x)Cy5sin(66x)Dy5cos32x3、要得到函数ycos(2x1)的图象，只要将函数ycos2x的图象()A向左平移1个单位B向右平移1个单位C向左平移12个单位D向右平移12个单位4、为了得到函数ysin2x3
25、的图象，只需把函数ysin2x6的图象()A向左平移4个长度单位B向右平移4个长度单位C向左平移2个长度单位D向右平移2个长度单位5把函数的图象适当变动就可以得到的图象，这种变动可以是()A向右平移B向左平移C向右平移D向左平移 6.说明的图象是由的图象经过怎样的变换得到的？并用“五点法”作出再一个周期上的图象。 【延长探究】1、若函数f(x)3sin(x)对随意x都有f(3x)f(3x)，则f(3)等于()A3或0B3或0C0D3或32、已知函数f(x)sin32x(xR).(1)求f(x)的单调减区间；(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可) 第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页