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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网高考数学一轮复习第高考数学一轮复习第 1313 讲：数列的综合应用讲：数列的综合应用【复习目标】会解数列应用题能将生活中有关增长率、降低率或同幅递增、递减的实际问题转化为等比数列或等差数列模型求解了解数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何的综合题的处理策略。【课前热身】1甲、乙两个工厂 2004 年元月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加，并且每月增加的产值相同；乙厂的产值也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知 2005 年元月份两厂的产值又相等，则 2004 年 7 月份产值高的工厂是（）A甲厂B乙厂C产值相等D不能确定2.AB
2、C 中，a、b、c 分别为A、B、C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列，B=30，ABC 的面积为23，那么 b=（）（全国 4 文理）A231 B31C232 D323.已知函数2()2logxf xx，数列na的通项公式是nan（Nn），当|()2005|nf a取得最小值时，n 4.在如图的表格中,每格填上一个数字 后,使每一横行成等差 数 列,每 一 纵 行 成 等 比 数 列,则 a b c 的 值 为()A1B2C3D45已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S2=10,S5=55,则过点P(n,na)和 Q(n+2,2na)(nN+)的直线的一个方向向量的坐标可以是()
3、A(2,12)B(-12,-2)C(-12,-1)D(-1,-1)【例题探究】1.某林场原有森林木材量为a,木材以每年的25%增长率生长,而每年冬天要砍伐的木材量为x,为了实现经过 20 年达到木材存有量至少翻两番的目标,则 x 的最大值是多少?(lg2=0.3)2、如图,把正三角形 ABC 分成有限个全等的小正三角形,且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数,使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等.设点 A 为第一行,BC 为第 n 行,记点 A 上的数为11a,第 i 行中第 j 个数为)ij1(aij.若41a,21a,1a222111 .120.51abc
4、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网(1)求333231a,a,a ;(2)试归纳出第 n 行中第 m 个数nma的表达式(用 含n,m 的式子表示,不必证明)(3)记,aaaSnn2n1nn证 明:.314S1S1S1nnn213 已知数列an的前 n 项和为2(1)().nSnanaR设集合(,)|nnSAanNn,221(,)|1,.4Bx yxyx yR(1)求数列an的通项公式;(2)若以集合 A 中的元素作为点的坐标,则这些点是否都在同一条直线上?并说明理由;(3)“BA 至多只有一个元素”是否正确?如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明.【方法点
5、拨】1.在涉及指数运算的题目中,应用对数运算,十分重要,而解题过程中,一些近似运算又是十分必要的.2.12,nnnnnSaaa证明:1211141.3nnnSSS因为21,2nmn ma所以 Sn是等比数列求和,但1Sn却不是等差比数列,也不是等差数列,直接求和变得不可能.观察需要证明的不等式,显然只要11Sn4n-1即可(数列4n-1的前 n 项和为4n-13).这类数列和式的不等式证明的关键是求和,特别是既不是等差、等比数列,也不是等差乘等比的数列求和,要利用不等式的放缩法,放缩为等比数列求和、错位相减法求和、裂项相销法求和，最终归结为有限项的数式大小比较.3.数列与平面解几何，注意用坐标
6、与曲线的关系来打开解题思路，平时练习中还是此类问题可联系起来看冲刺强化训练（13）1.已知数列an,“对任意的 nN*,点 Pn(n,an)都在直线 y=3x+2 上”是“an为等差数列”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2数列 na前n项和nS与通项na满足关系式：*222NnnnnaSnn，则10100aa的值为http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（）90.A180.B360.C400.D31999 年 11 月 1 日起，全国储蓄存款开始征收利息税，利息税的税率为 20%，若将 1 万元人民币存入银行，年利率为 2.25
7、%，则 1 年后到期时，应得本金和利息共计（）10180.A元10225.B元11800.C元12250.D元4、在ABC中，Atan是以-4 为第三项，4 为第七项的等差数列的公差，Btan是以31为第三项，9 为第六项的等比数列的公比，则该三角形是（）.A锐角三角形.B直角三角形.C钝角三角形.D等腰三角形5已知数列 na中，nnnaaaaa1221,6,3，则2003a等于（）6.A6.B3.C3.D6定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列an是等和数列，且a12，公和为 5，那么a18的值为
8、_，这个数列的前 n 项和Sn的计算公式为_.7 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设an是公比为 q 的无穷等比数列,下列an的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第组.(写出所有符合要求的组号)S1与S2;a2与 S3;a1与 an;q 与 an.其中 n 为大于 1 的整数,Sn为an的前 n 项和.8学校餐厅每天供应 1000 名学生用餐，每星期一有两种菜谱BA,可供选择（每人选一种），调查表明：凡是在星期一选 A 菜谱的，下星期一会有 20%改选 B，而选 B 的，下星期一则有 30%改选 A，若用nnba,分别表示在第 n 个星期一选 A、B 的人数。（1）试
9、用nnba,表示1na；（2）证明：300211nnaa。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网9、已知函数 2412xxxf。（1）求 xf1；（2）设11a，*111Nnafann，求na；（3）设2122221.nnnnaaab，是否存在最小正整数 m，使对任意*Nn，有25mbn成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网参考答案参考答案【课前热身】1A2.B3.1104答案：A解析：按照横行等差,纵行等比的数列特征,先计算第 1、3 纵行,再分别计算横行即可.a=12,b=516,c=6
10、32=316,a+b+c=1.5B【例题探究】例 1.分析:本题可以分析第一年末,第二年末,得出第二十年末木材存量的表达式,结合“翻两番”而列式解之.解:依题意得各年木材存有量如下：第 1 年：xaxa45%)251(第 2 年：xxa45)45()451()45(2xa第 20 年后：19220)45()45(451)45(xa=451)45(11)45(2020 xa=2020)45(44)45(xxa于是axxa4)45(44)45(2020另 y=20)45(,而 lg2=0.3,则 lgy=20(1-3lg2),100 yaxxa44004100即338ax maxx338a。答:每
11、年的砍伐量的最大值是338a.例 2.解:(1),22213211aaaa.8132a,aaaa32213122.41a31,aaaa32223321.161a33,41a31,81a32.161a33(2)由,1a11,21a21.41a31可归纳出1n312111a,a,a,a是公比为21的等比数列,故.21a1n1n由,21a21;41a22,41a31,81a32.161a33可归纳出nn3n2n1na,a,a,a是公比为21的等比数列,http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网,2121a1m1nnm.21a2mnnm,)21(1)21(211)21(1)21(
12、Sn2nn1nn,1)21(1n,)21(1)21(nn.21)21()21()21(1)21(2n2n2nn2n,1)21(1)21()21(1)21(4)21(1)21(2nnnnn2n.2S112n2n.314S1S1S1nnn21例 3，解析：(1)当1n 时,1111aSaa 当2n 时,221(1)(1)(1)(1)nnnaSSnannan22na.可见,当 n=1 时,满足上式.所以,数列an的通项公式是22 ()nananN.(2)由数列na的通项公式是22,nana可知数列na是等差数列.1()2nnn aaS()2nn aa,1().2nnSaan点(,)nnSan的坐标满
13、足方程1(),2yxa点(,)nnSan在直线1()2yxa上.所以,以集合 A 中的元素为坐标的点),(nSann均在直线)(21axy上.(3)由221()244yxaxy,消去 y,得224axa 当 a=0 时,方程无解,此时,;BA当 a0 时,方程只有一个解24,2axa 此时方程组也只有一个解,即224244axaaya 故上述方程组至多有一解,所以BA 至多有一个元素.冲刺强化训练(13)1.A2.C3.C4.A5.B6.318a25215nnsn为偶数为奇数nn7.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网8.解析:(1)%30%)201(1nnnbaa(2)1000nnba30021103)1000(541nnnnaaaa9.解析:(1)xf1=xx241(x0)(2)nnnnaaafa211411411221nnaa11a344)1(112nnan又0na341nan（3）由2122221.nnnnaaab，23223221nnnnaaab3)32(413)22(413)1(41232222211nnnaaabbnnnnn=0)14(21)14(21141)294(21)254(21141nnnnnn1nnbb即 nb中1b最大254514915123221maab即970m存在最小正整数 m=8