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1、等差数列与等比数列综合问题（2）等差数列与等比数列 等差数列与等比数列 【复习目标】驾驭等差、等比数列的定义及通项公式，前n项和公式以及等差、等比数列的性质，在解决有关等差，等比数列问题时，要留意运用方程的思想和函数思想以及整体的观点，培育分析问题与解决问题的实力。【课前热身】1假如，为各项都大于零的等差数列，公差，则()ABC+D=2已知9,a1,a2,1这四个数成等差数列,9,b1,b2,b3,1这5个数成等比数列,则等于（）A-8B8C8或-8D3设Sn是等差数列的前n项和，若（）（福建文）A1B1C2D4已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则=（）（浙江文理）A4B6C8D105.(
2、2022年杭州二模题)已知成等差数列,成等比数列,则椭圆的准线方程为_.【例题探究】1、已知数列为等差数列，且(05湖南)（）求数列的通项公式；（）证明 2、设数列记（）求a2，a3；（）推断数列是否为等比数列，并证明你的结论； 3、某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的运用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取）【方法点拨】1本题的关键在于指数式和对数式的互化
3、在数列中的应用。2数列通项公式和递推公式常常在已知条件中给出,利用列举、叠加、叠乘等方法求之.求通项公式的方法应驾驭.3例3是比较简洁的数列应用问题，由于问题所涉及的数列是熟识的等比数列与等差数列，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解.冲刺强化训练（12）1已知等差数列满意则有()A.B.C.D.2在正数等比数列中已知则（）A11B10C8D43设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则（）ABCD4在各项都为正数的等比数列中首项，前三项和为21，则()A33B72C84D1895设数列的前项和为（）.关于数列有下列三个命题：（1）若既是等差数列又是等比数列，则；（2）若，则是等差数列；（3
4、）若，则是等比数列.这些命题中，真命题的序号是. 6、在等差数列中，等比数列中，则 7设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为（湖南理） 8已知，都是各项为正数的数列，对随意的正整n,都有成等差数列，等比数列。（1）求证：是等差数列；（2）假如，。 9设C1,C2,Cn是圆心在抛物线上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为。已知，。若Ck(k=1,2,3,n)都与x轴相切，且顺次两圆外切。（1）求证：是等差数列（2）求的表达式；（3）求证：参考答案【课前热身】1B2，A3，A4，B5
5、、y=22.解析：由条件易知m=2,n=4.但要留意椭圆焦点所在的坐标轴是y轴.因此准线方程为y=a2c=22.【例题探究】1,（I）解：设等差数列的公差为d.由即d=1.所以即（II）证明因为，所以2,解：（I）（II）因为,所以所以猜想：是公比为的等比数列.证明如下：因为所以是首项为,公比为的等比数列.3，解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，甲方案获利：（万元）银行贷款本息：（万元）故甲方案纯利：（万元）乙方案获利：（万元）；银行本息和：（万元）故乙方案纯利：（万元）；综上，甲方案更好. 冲刺强化训练(12)1C2A3B4C5（1）、（2）、（3）6解：点评：此题也可以把和d看成两个未
6、知数，通过列方程，联立解之d=。再求出但计算较繁，运用计算较为便利。78解：（1）证明：成等差数列，。成等比数列，即，成等差数列。（2）解：而，）9解：（1）由题意知：，：，,两边平方，整理得是以为首项，公差为2的等差数列（2）由（1）知，（3）， 等差等比数列综合问题 等差等比数列综合问题 教学目标 1.娴熟运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和式以及有关性质，分析和解决等差 、等比数列的综合问题 2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算实力 教学重点与难点 用方程的观点相识等差、等比数列的基础学问，从本质上驾驭公式 例题 1（1）已知an成等差，且a
7、5=11，a8=5，求an=； （2）等差数列an中，如S2=4,S4=16,Sn=121，求n=； （3）等差数列an中，a6+a9+a12+a15=20，求S20=； （4）等差数列an中，am=n，an=m,则am+n=，Sm+n=； （5）等差数列an中，公差d=2，a1+a4+a7+a97=50， 求a3+a6+a9+a99=? （6）若两个等差数列an、bn的前n项的和分别为Sn,Tn,且，求. 2（1）在等比数列an中，a1+a2=3，a4+a5=24，则a7+a8=； （2）设an是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，则=； （3）设an是由正数组成的等比数列，且a4a6+
8、2a5a7+a6a8=36，则a5+a7=； (4)设等比数列an的前n项和为Sn=4n+m，求得常数m=； 3(1)“”是“a、G、b成等比数列”的条件； （2）“数列an既是等差数列又是等比数列”是“该数列为常数列”的条件 （3）设数列an、bn(bn0）满意，则an为等差数列是bn为等比数列的条件； （4）Sn表示数列an的前n项的和，则Sn=An2+Bn,（其中A、B为常数）是数列an成等差数列的条件。 4三个实数6、3、1顺次排成一行，在6与3之间插入两个实数，在3与1之间插入一个实数，使得这六个数中的前三个、后三个组成等差数列，且插入的三个数又成等比数列，求所插入的三个数的和。 5
9、.在2和20之间插入两个数,使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和是多少？ 6已知x、y为正实数，且x、a1、a2、y成等差数列，x、b1、b2、y成等比数列，则的取值范围是。 7设an是正数等差数列，bn是正数等比数列，且a1=b1，a2n+1=b2n+1， 试比较an+1与bn+1的大小。 8（1）等差数列an中，前n项的和为Sn，且S6S7，S7S8，则此数列的公差小于是0；S9肯定小于S6；是各项中最大的一项；肯定是Sn的最大值。把正确的序号填入后面的横线上. (2)等差数列an中，公差d是自然数，等比数列bn中，b1=a1,b2=a2，现有数据：2；3；4；5，
10、当bn中全部项都是an中的项时，d可以取（填上正确的序号）。 作业：复习题三A组9，10，11，12,14 等差数列（2） 等差数列（2）学习目标1.理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能依据定义推断一个数列是等差数列；2.探究并驾驭等差数列的通项公式；3.正确相识运用等差数列的各种表示法，能敏捷运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 小结：要判定是不是等差数列，只要看（n2）是不是一个与n无关的常数. 动手试试练1.等差数列1，3，7，11，求它的通项公式和第20项. 练2.在等差数列的首项是，求数列的首项与公差. 三、总结提升学习小结1.等差
11、数列定义：(n2)；2.等差数列通项公式：(n1). 学问拓展1.等差数列通项公式为或.分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线上的一些间隔匀称的孤立点.2.若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为.若四个数成等差数列，可设这四个数为.学习评价自我评价你完成本节导学案的状况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.等差数列1，1，3，89的项数是（）.A.92B.47C.46D.452.数列的通项公式，则此数列是（）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n的等差数列3.等差数列的第1项是
12、7，第7项是1，则它的第5项是（）.A.2B.3C.4D.64.在ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B.5.等差数列的相邻4项是a+1，a+3，b，a+b，那么a，b. 课后作业1.在等差数列中，已知，d3，n10，求； 已知，d2，求n； 已知，求d； 已知d，求.2.一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度. 等差数列3.1等差数列（其次课时，等差数列的性质）教学目的：1.明确等差中项的概念.2.进一步娴熟驾驭等差数列的通项公式及推导公式.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解
13、与应用教学难点：敏捷应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题一、复习引入1等差数列的定义；2等差数列的通项公式：（1），（2），（3）3有几种方法可以计算公差dd=d=d=二、讲解新课：问题：假如在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满意什么条件？由定义得A-=-A，即：反之，若，则A-=-A由此可可得：成等差数列。也就是说，A=是a,A,b成等差数列的充要条件定义：若，A，成等差数列，那么A叫做与的等差中项。不难发觉，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13中5是3和7的等差中项，1和9
14、的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。留意到，由此揣测：性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则，即m+n=p+q(m,n,p,qN)（以上结论由学生证明）但通常由推不出m+n=p+q，特例：等差数列an中，与首尾“等距离”的随意两项和相等.即三、例题例1在等差数列中，若+=9,=7,求,.分析：要求一个数列的某项，通常状况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必需知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的随意两项（知道随意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式+=+=9入手（答案：=2,=32）例2等差数列中，+=12,且=80.
15、求通项分析：要求通项，仍旧是先求公差和其中至少一项的问题。而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必需消元（项）或再构造一个等式出来。（答案：=10+3(n1)=3n13或=23(n1)=3n+5）例3在等差数列中,已知450,求及前9项和（）.提示：由双项关系式：2，2及450,得5450,易得2180.()()()()9810.例4已知a、b、c的倒数成等差数列，那么，a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列。分析：将a、b、c的成等差数列转化为a+c=2b，再探究a2(b+c)+b2(c+a)=c2(a+b)，即a2(b+c)+b2(c+a)-c2(a+b)=0是否
16、成立.例5已知两个等差数列5，8，11，和3，7，11都有100项，问它们有多少公共项.分析：两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.（答案：25个公共项）四、练习：1.在等差数列中，已知，求首项与公差2.在等差数列中,若求3.在等差数列中若，求五、作业：课本：P114习题3.27.10，11.精析精练P117智能达标训练第9页 共9页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页