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1、2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义,目标导学： 1、能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向量的长度； 2、会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。,向量的夹角：,当= 0时， 与 同向；,当= 180时， 与 反向；,当= 90时， 与 垂直，记作 。,问题,其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量.,平面向量的数量积：,已知非零向量 与 ，我们把数量 叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规定,其中是 与 的夹角， 叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量 的数量积为零，即 。,3“投影”的概念：,定义：|b|cos叫做向量b在向
2、量a方向上的投影,注意：投影也是一个数量，不是向量；,4向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.,5、数量积的性质：,例1.已知 ， 的夹角=120， 求 。,解：,数量积的运算规律：,如图可知：,思考：等式 是否成立？,数量积的运算规律：,不成立,1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号确定；,2、两个向量的数量积称为内积，写成ab;与代数中的数ab不同，书写时要严格区分；,3、在实数中，若a0，且ab=0,则b=0；但在数量积中，若a0，且ab=0,不能推出b=0。因为其中cos有可能为0,4、已知实数a、b、c（b0)，则有ab=bc得a=c.但是有ab=bc不能得a=c,5、在实数中（ab)c=a(bc), 但（ab)c a(bc),要注意的是：,例2.我们知道，对任意 ，恒有,对任意向量 是否也有下面类似的结论？,例3.已知 ， 的夹角60， 求 。,例4.已知 ，且 与 不共线，k为何值时， 向量 与 互相垂直。,小结,向量数量积计算时, 一要算准向量的模, 二要找准两个向量的夹角。,