《高一数学《用二分法求方程的近似解》导学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学《用二分法求方程的近似解》导学案.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高一数学用二分法求方程的近似解导学案高一数学用二分法求方程的近似解041 课题：3.1.2用二分法求方程的近似解教学目标：学问与技能通过详细实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做打算情感、看法、价值观体会数学靠近过程，感受精确与近似的相对统一 教学重点：重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识难点恰当地运用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解 教学程序与环节设计：教
2、学过程与操作设计：环节教学内容设计师生双边互动创 设 情 境材料一：二分查找(binary-search)（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的状况下，需检索（）个单元。100010100500二分法检索（二分查找或折半查找）演示 材料二：高次多项式方程公式解的探究史料由于实际问题的须要，我们常常须要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于
3、高于4次的函数，类似的努力却始终没有胜利，到了十九世纪，依据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的探讨，人们相识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当困难，一般来讲并不相宜作详细计算因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中非常重要的课题师：从学生感爱好的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题 生：体会二分查找的思想与方法 师：从高次代数方程的解的探究历程，引导学生相识引入二分法的意义组 织 探 究二分法及步骤：对于在
4、区间，上连绵不断，且满意的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：1确定区间，验证，给定精度；2求区间，的中点；3计算： 师：阐述二分法的靠近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的详细步骤 分析条件“”、“精度”、“区间中点”及“”的意义环节呈现教学材料师生互动设计组 织 探 究1若=，则就是函数的零点；2若，则令=（此时零点）；3若，则令=（此时零点）；4推断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤24生：结合引例“二分查找”理解二分
5、法的算法思想与计算原理 师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法 例题解析：例1求函数的一个正数零点（精确到）分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答解：（略）留意：1第一步确定零点所在的大致区间，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；2建议列表样式如下：零点所在区间中点函数值区间长度1，2011，1.500.51.25，1.500.25如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最终一步 例2借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解
6、（精确到）解：（略） 思索：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？ 结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点师：引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，留意规范方法、步骤与书写格式 生：依据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行沟通、探讨、评析 师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数 生：仔细思索，运用所学学问寻求确定方程解的个数的方法，并进行、探讨、沟通、归纳、概括、评析形成结论环节呈现教学材料师生互动设计探究与发觉1）函数零点的性质从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象
7、与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点 2）用二分法求函数的变号零点二分法的条件表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点师：引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，驾驭常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围尝试练习1）教材P106练习1、2题；2）教材P108习题31（A组）第1、2题；3）求方程的解的个数及其大致所在区间；4）求方程的实数解的个数；5）探究函数与函数的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过的点作业回馈1）教材P108习题31（A组）第36题、（B组）第4题；
8、2）提高作业：1已知函数（1）为何值时，函数的图象与轴有两个交点？（2）假如函数的一个零点在原点，求的值 2借助于计算机或计算器，用二分法求函数的零点（精确到）； 3用二分法求的近似值（精确到） 环节呈现教学材料师生互动设计课外活动查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的探讨史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增加探究精神，培育创新意识收获与体会说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法；谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的相识？ 高一数学用二分法求方程的近似解038 第三十
9、一课时用二分法求方程的近似解【学习导航】学问网络学习要求1通过详细实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；2能借助计算器用二分法求方程的近似解；3体会数学靠近过程，感受精确与近似的相对统一自学评价1二分法对于在区间上连绵不断，且满意的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，验证，给定精度；（2）求区间的中点；（3）计算：若=，则就是函数的零点；若，则令=（此时零点）；若，则令=
10、（此时零点）；（4）推断是否达到精度：即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤24【精典范例】例1：利用计算器，求方程的一个近似解（精确到0.1）【解】设，先画出函数图象的简图.(如右图所示)因为，所以在区间内，方程有一解，记为.取与的平均数，因为，所以.再取与的平均数，因为，所以.如此接着下去，得，因为与精确到的近似值都为，所以此方程的近似解为.利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.点评:第一步确定零点所在的大致区间，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；建议列表样式如下：零点所在区间区间中点函数值区间长度10
11、.50.250.125如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最终一步例2：利用计算器，求方程的近似解（精确到0.1）分析：分别画函数和的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等因此，这个点的横坐标就是方程的解由函数与的图象可以发觉，方程有惟一解，记为，并且这个解在区间内.【解】设，利用计算器计算得因为与精确到的近似值都为，所以此方程的近似解为.思索:发觉计算的结果约稳定在.这事实上是求方程近似解的另一种方法迭代法除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等例3：利用计算器，求方程的近似解（精确到0.1）【解】方程可以化为分别画函数与的图象，由图象可以知道
12、，方程的解在区间内，那么对于区间，利用二分法就可以求得它的近似解为.追踪训练一1.设是方程的解，则所在的区间为（B）ABCD2.估算方程的正根所在的区间是（B）ABCD3计算器求得方程的负根所在的区间是（A）A（，0）BCD4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到)(1)(2)答案:(1)(2),【选修延长】一、含字母系数的二次函数问题例4：二次函数中实数、满意，其中，求证：（1）)；（2）方程在内恒有解分析：本题的奇妙之处在于，第一小题供应了有益的依据：是区间内的数，且，这就启发我们把区间划分为(，)和（，）来处理【解】（1），由于是二次函数,故，又，所以，由题意，得,当时，由（1）知若，
13、则，又,所以在（，）内有解若，则，又，所以在（,）内有解当时同理可证点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就示意着二次项系数若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改（2）对字母、分类时先对哪个分类是有肯定讲究的，本题的证明中，先对分类，然后对分类明显是比较好追踪训练二1若方程在内恰有一则实数的取值范围是(B)ABCD2.方程的两个根分别在区间和内，则的取值范围是；3已知函数，在上存在，使，则实数的取值范围是_4已知函数试求函数的零点；是否存在自然数，使？若存在，求出，若不存在，请说明理由答案：（1）函数的零点为；（2）计算得，由函数的单调性，可知不存在自然数，使成立学生质疑老师释疑 用二
14、分法求方程近似解 3.1.2用二分法求方程的近似解学案 课前预习学案一、预习目标能说出零点的概念，零点的等价性，零点存在性定理。二、预习内容（预习教材P89P91，找出怀疑之处）复习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点.方程有实数根函数的图象与x轴函数.假如函数在区间上的图象是连绵不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点. 复习2：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？三、提出怀疑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些怀疑，请把它填在下面的表格中怀疑点怀疑内容课内探究学案一、学习目标1.依据详细函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方
15、程的近似解；2.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.学习重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识学习难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解二、学习过程探究任务：二分法的思想及步骤问题：有12个小球，质量匀称，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.解法：第一次，两端各放个球，低的那一端肯定有重球；其次次，两端各放个球，低的那一端肯定有重球；第三次，两端各放个球，假如平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球. 思索：以上的
16、方法其实这就是一种二分法的思想，采纳类似的方法，如何求的零点所在区间？如何找出这个零点？ 新知：对于在区间上连绵不断且0的函数，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection). 反思：给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如何呢？ 确定区间，验证，给定精度；求区间的中点；计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；推断是否达到精度；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤三、典型例题例1借助计算器或计算机，利用二分法求方程的近似解. 变式：求方程的根大致所在区间. 例2求方程的
17、解的个数及其大致所在区间.变式训练求函数的一个正数零点（精确到）零点所在区间中点函数值符号区间长度 四、反思总结二分法的概念；二分法步骤；二分法思想.五、当堂达标1.求方程的实数解个数及其大致所在区间. 课后练习与提高1.若函数在区间上为减函数，则在上（）.A.至少有一个零点B.只有一个零点C.没有零点D.至多有一个零点2.下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（）.3.函数的零点所在区间为（）.A.B.C.D.4.用二分法求方程在区间2，3内的实根，由计算器可算得，那么下一个有根区间为.5.函数的零点个数为，大致所在区间为.6.借助于计算机或计算器，用二分法求函数的零
18、点（精确到）. 高一数学用二分法求方程的近似解039 课题：3.1.2用二分法求方程的近似解教学目标：学问与技能通过详细实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做打算情感、看法、价值观体会数学靠近过程，感受精确与近似的相对统一 教学重点：重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识难点恰当地运用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解 教学程序与环节设计： 教学过程与操作设计：
19、环节教学内容设计师生双边互动创 设 情 境材料一：二分查找(binary-search)（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的状况下，需检索（）个单元。100010100500二分法检索（二分查找或折半查找）演示 材料二：高次多项式方程公式解的探究史料由于实际问题的须要，我们常常须要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类
20、似的努力却始终没有胜利，到了十九世纪，依据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的探讨，人们相识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当困难，一般来讲并不相宜作详细计算因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中非常重要的课题师：从学生感爱好的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题 生：体会二分查找的思想与方法 师：从高次代数方程的解的探究历程，引导学生相识引入二分法的意义组 织 探 究二分法及步骤：对于在区间，上连绵不断，
21、且满意的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：1确定区间，验证，给定精度；2求区间，的中点；3计算： 师：阐述二分法的靠近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的详细步骤 分析条件“”、“精度”、“区间中点”及“”的意义环节呈现教学材料师生互动设计组 织 探 究1若=，则就是函数的零点；2若，则令=（此时零点）；3若，则令=（此时零点）；4推断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤24生：结合引例“二分查找”理解二分法的算法思想与计算
22、原理 师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法 例题解析：例1求函数的一个正数零点（精确到）分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答解：（略）留意：1第一步确定零点所在的大致区间，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；2建议列表样式如下：零点所在区间中点函数值区间长度1，2011，1.500.51.25，1.500.25如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最终一步 例2借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）解：（略
23、） 思索：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？ 结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点师：引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，留意规范方法、步骤与书写格式 生：依据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行沟通、探讨、评析 师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数 生：仔细思索，运用所学学问寻求确定方程解的个数的方法，并进行、探讨、沟通、归纳、概括、评析形成结论环节呈现教学材料师生互动设计探究与发觉1）函数零点的性质从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；
24、若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点 2）用二分法求函数的变号零点二分法的条件表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点师：引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，驾驭常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围尝试练习1）教材P106练习1、2题；2）教材P108习题31（A组）第1、2题；3）求方程的解的个数及其大致所在区间；4）求方程的实数解的个数；5）探究函数与函数的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过的点作业回馈1）教材P108习题31（A组）第36题、（B组）第4题；2）提高作业：1已
25、知函数（1）为何值时，函数的图象与轴有两个交点？（2）假如函数的一个零点在原点，求的值 2借助于计算机或计算器，用二分法求函数的零点（精确到）； 3用二分法求的近似值（精确到） 环节呈现教学材料师生互动设计课外活动查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的探讨史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增加探究精神，培育创新意识收获与体会说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法；谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的相识？ 第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页