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1、2016年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=1，2，B=（x，y）|xA，yA，xyA，则B的子集共有（）A2个B4个C6个D8个2（5分）复数z=1+ai（aR）在复平面对应的点在第一象限，且|=，则z的虚部为（）A2B4C2iD4i3（5分）对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是（）Amn，m，nBmn，=m，nCmn，n，mDmn，m，n4（5分）执行如图的程序框图，假如输入x=1，则输出t的值为（）A6B8C10D125（5分）已知an为等差数列，3a4+a8
2、=36，则an的前9项和S9=（）A9B17C36D816（5分）已知函数f（x）=x2x+2，则函数y=f（x）的图象为（）ABCD7（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A=0.4x+2.3B=2x2.4C=2x+9.5D=0.3x+4.48（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A64BC16D9（5分）D是ABC所在平面内一点，=+（，R），则01，01是点D在ABC内部（不含边界）的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分也不
3、必要条件10（5分）命题p：“x00，sin2x0+cos2x0a”是假命题，则实数a的取值范围是（）Aa1BaCa1Da11（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M（1，2），若=0，则直线l的斜率k=（）A2B1C1D212（5分）函数f（x）=eaxlnx（a0）存在零点，则实数a的取值范围是（）A0aB0aCaDa二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上的相应位置上13（5分）将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有 种（用数字作答）14（5分）设F1、F2分别是双曲线C：=
4、1（a0，b0）的左右焦点，点M（a，b）若MF1F2=30，则双曲线的离心率为 15（5分）已知函数f（x）=，若曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi）（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线相互平行，则a的取值范围是 16（5分）若数列an满意：a1=0，a2=3且（n1）an+1=（n+1）ann十1（nN*，n2），数列bn满意bn=（）n1，则数列bn的最大项为第 项三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，b=acosC+asinC（I）求A；（）若a=2，b+
5、c4，求ABC的面积18（12分）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打竞赛，依据以往竞赛的胜败状况，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，假如竞赛采纳“五局三胜制”（先胜三局者获胜，竞赛结束）（1）求甲获得竞赛成功的概率；（2）设竞赛结束时的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，AA1=2，AC=2，M是CC1的中点，P是AM的中点，点Q在线段BC1上，且BQ=QC1（1）证明：PQ平面ABC；（2）若直线BA1与平面ABM成角的正弦值为，求BAC的大小20（12分）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率e=，且椭圆上一点M与椭圆左右两
6、个焦点构成的三角形周长为4+2（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设点D为椭圆上任意一点，直线y=m和椭圆C交于A、B两点，且直线DA、DB与y轴分别交于P、Q两点，摸索究PF1F2和QF1F2之间的等量关系并加以证明21（12分）已知函数f（x）=lnx+kx（kR）（1）当k=1时，求函数f（x）的极值点；（2）当k=0时，若f（x）+a0（a，bR）恒成立，试求ea1b+1的最大值；（3）在（2）的条件下，当ea1b+1取最大值时，设F（b）=m（mR），并设函数F（x）有两个零点x1，x2，求证：x1x2e2请考生在第22、23、24题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一个题计分。做
7、答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑题号选修4-1：几何证明选讲22（10分）已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CD分别交AE、AB于点F、D，ADF=45（1）求证：CD为ACB的平分线；（2）若AB=AC，求的值选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为=4sin从极点作圆C的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线C1（1）求C1的极坐标方程；（2）已知曲线l的参数方程为，（0，t为参数，且t0），l与C交于点A，l与C1交于点B，且|=，求的值选修4-5：不等式证明选讲24已知a，b，
8、c均为正实数，且+=1（1）证明：+；（2）求证：+12016年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=1，2，B=（x，y）|xA，yA，xyA，则B的子集共有（）A2个B4个C6个D8个【解答】解：集合A=1，2，B=（x，y）|xA，yA，xyA，B=（2，1），B的子集共有2个故选：A2（5分）复数z=1+ai（aR）在复平面对应的点在第一象限，且|=，则z的虚部为（）A2B4C2iD4i【解答】解：复数z=1+ai（aR）在复平面对应的点在第一象限
9、，a0，=1ai|=，=，解得a=2则z的虚部为2故选：A3（5分）对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是（）Amn，m，nBmn，=m，nCmn，n，mDmn，m，n【解答】解：在A中，mn，m，n，则与相交或相行，故A错误；在B中，mn，=m，n，则与不肯定垂直，故B错误；在C中，mn，n，m，由由面面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，mn，m，n，则由面面平行的判定定理得，故D错误故选：C4（5分）执行如图的程序框图，假如输入x=1，则输出t的值为（）A6B8C10D12【解答】解：模拟程序的运行过程，可得x=1，t=0执行循环体，x=4，t=2不满意条件x120，执行循环体，x=1
10、3，t=4不满意条件x120，执行循环体，x=40，t=6不满意条件x120，执行循环体，x=121，t=8满意条件x120，退出循环，输出t的值为8故选：B5（5分）已知an为等差数列，3a4+a8=36，则an的前9项和S9=（）A9B17C36D81【解答】解：an为等差数列，3a4+a8=36，3（a1+3d）+a1+7d=4a1+16d=36，解得a1+4d=a5=9，S9=（a1+a9）=9a5=99=81故选：D6（5分）已知函数f（x）=x2x+2，则函数y=f（x）的图象为（）ABCD【解答】解：函数f（x）=x2x+2，则函数y=f（x）=x2+x+2函数的图象开口向下，经
11、过（1，0）与（2，0），函数的图象为：故选：D7（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A=0.4x+2.3B=2x2.4C=2x+9.5D=0.3x+4.4【解答】解：变量x与y正相关，可以排解C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A8（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A64BC16D【解答】解：依据三视图知几何体是：三棱锥DABC、为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B是棱的中点，由正方体的性质得，CD平面ABC，AB
12、C的面积S=4，所以该多面体的体积V=，故选：D9（5分）D是ABC所在平面内一点，=+（，R），则01，01是点D在ABC内部（不含边界）的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：若=+（，R），点D在ABC内部，则01，01，反之不成立，例如时，点D为边BC的中点01，01是点D在ABC内部（不含边界）的必要不充分条件故选：B10（5分）命题p：“x00，sin2x0+cos2x0a”是假命题，则实数a的取值范围是（）Aa1BaCa1Da【解答】解：“x00，sin2x0+cos2x0a”是假命题，即x0，sin2x+cos2xa是真命题，由s
13、in2x+cos2x=sin（2x+）a，得：sin（2x+），由x0，得：2x+，故sin（2x+）的最大值是1，故只需1，解得：a，故选：D11（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M（1，2），若=0，则直线l的斜率k=（）A2B1C1D2【解答】解：抛物线的方程为y2=4x，F（1，0），设焦点弦方程为y=k（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程得k2x2（2k2+4）x+k2=0由韦达定理：x1+x2=2+，x1x2=1，y1y2=4，y1+y2=M（1，2），=0，（x1+1，y12）（x2+1，y22）=0，12k+k2=0，k=
14、1故选：C12（5分）函数f（x）=eaxlnx（a0）存在零点，则实数a的取值范围是（）A0aB0aCaDa【解答】解：先考虑函数f（x）=ax与g（x）=logax（a1）图象仅有一个交点，且在公共点处有公共的切线，a的值两函数互为反函数，则该切线即为y=x，设切点A，可求出A（e，e），此时a=e若ae时，则f（x）=ax与g（x）=logax（a1）无公共点；若1ae时，则f（x）=ax与g（x）=logax（a1）有两个公共点对f（x）=eaxlnx（a0），换元令t=ea，即得tx=logtx，由上知1ea=te，得0a故选：A二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答
15、案填在答题卡上的相应位置上13（5分）将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有48种（用数字作答）【解答】解：由题意分2步进行，先将2本不同的语文书排在一起，看成做一个元素，考虑其挨次，有A22种状况，再将其与其他3本不同的数学书全排列，有A44种状况，则其不同的排列方法为A44A22=48种，故答案为：4814（5分）设F1、F2分别是双曲线C：=1（a0，b0）的左右焦点，点M（a，b）若MF1F2=30，则双曲线的离心率为2【解答】解：由题意可得F1（c，0），M（a，b），直线MF1的斜率为tan30=，即有=，即a+c=b，平方
16、可得（a+c）2=3b2=3（c2a2）=3（c+a）（ca），化简可得a+c=3（ca），即为c=2a，可得e=2故答案为：215（5分）已知函数f（x）=，若曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi）（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线相互平行，则a的取值范围是（1，2）【解答】解：函数f（x）=，f（x）=，曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi）（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线相互平行，即y=f（x）在点Pi（xi，f（xi）处的值相等当x0时，f（x）=2x+2a22a2，当x0时，f（x）必需满意，1a2，故答案为（1，2）16（5分）
17、若数列an满意：a1=0，a2=3且（n1）an+1=（n+1）ann十1（nN*，n2），数列bn满意bn=（）n1，则数列bn的最大项为第6项【解答】解：（n1）an+1=（n+1）ann十1（nN*，n2），nan+2=（n+2）an+1n，两式相减，得：nan+2nan+1=（n+1）an+1（n+1）an1，两边同时除以n（n+1），整理得：=（nN*，n2），又a1=0，a2=3，a3=3a21=8，=2，=2，=，由累乘法可知anan11=2=2（n1），anan1=1+2（n1）=2n1（n2）由累加法可知：an=（anan1）+（an1an2）+（a3a2）+（a2a1）+a
18、1=（2n1）+2（n1）1+（231）+（221）=2（2+3+n）（n1）=2n+1=n21（n2），又a1=0满意上式，an=n21，bn=（）n1=n（n+1）（）n1，令f（x）=x（x+1）（）x1，通过求导、计算可得草图如图，故数列bn的最大项为第6项，故答案为：6三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，b=acosC+asinC（I）求A；（）若a=2，b+c4，求ABC的面积【解答】解：（1）在ABC中，b=acosC+asinC，b=a+asinC即b2+c2a2=abs
19、inC又b2+c2a2=2bccosA，asinC=ccosA，sinAsinC=sinCcosA，tanA=A=（2）由余弦定理得：cosA=，b2+c2=bc+42bc，bc4又b2+c2=bc+4，（b+c）2=3bc+4，b+c4，（b+c）2=3bc+416，bc4bc=4SABC=18（12分）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打竞赛，依据以往竞赛的胜败状况，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，假如竞赛采纳“五局三胜制”（先胜三局者获胜，竞赛结束）（1）求甲获得竞赛成功的概率；（2）设竞赛结束时的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望【解答】解：（1）甲获得竞赛成功包含三种状况：甲
20、连胜三局；前三局甲两胜一负，第四局甲胜；前四局甲两胜两负，第五局甲胜甲获得竞赛成功的概率：p=+C（）2（）2=（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，P（X=3）=，P（X=4）=+=，P（X=5）=C（）2（）2+C（）2（）2=，随机变量X的分布列为： X 3 4 5 P 数学期望EX=19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，AA1=2，AC=2，M是CC1的中点，P是AM的中点，点Q在线段BC1上，且BQ=QC1（1）证明：PQ平面ABC；（2）若直线BA1与平面ABM成角的正弦值为，求BAC的大小【解答】证明：（1）分别以BA，BC，BB1为x轴，y轴，z轴建立
21、空间直角坐标系Bxyz，如图所示：设AB=a，BC=b，则A（a，0，0），B（0，0，0），M（0，b，1），C1（0，b，2）P（，），Q（0，）=（，0）BB1平面ABC，=（0，0，2）为平面ABC的一个法向量=0，PQ平面ABC，PQ平面ABC（2）A1（a，0，2），=（a，0，2），=（a，0，0），=（0，b，1），设平面ABM的法向量为=（x，y，z），则，令z=1得=（0，1）cos，=（a2+4）（）=15AC=2，a2=8b2（12b2）（）=15解得b=sinBAC=BAC=3020（12分）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率e=，且椭圆上一点M与椭圆左右两个焦点构
22、成的三角形周长为4+2（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设点D为椭圆上任意一点，直线y=m和椭圆C交于A、B两点，且直线DA、DB与y轴分别交于P、Q两点，摸索究PF1F2和QF1F2之间的等量关系并加以证明【解答】（1）解：由题意可得：e=，2a+2c=4+2，又a2=b2+c2联立解得：a=2，b=c=椭圆C的方程为：=1（2）解：PF1F2+QF1F2=90下面给出证明：F1设D（x0，y0），则+=1把y=m代入椭圆方程可得：+=1，解得x=取A（，m），B（，m）直线DA的方程为：yy0=（xx0），可得P同理可得：直线DB的方程为：yy0=（xx0），可得Q=，=又=2=1PF1F
23、2+QF1F2=9021（12分）已知函数f（x）=lnx+kx（kR）（1）当k=1时，求函数f（x）的极值点；（2）当k=0时，若f（x）+a0（a，bR）恒成立，试求ea1b+1的最大值；（3）在（2）的条件下，当ea1b+1取最大值时，设F（b）=m（mR），并设函数F（x）有两个零点x1，x2，求证：x1x2e2【解答】（1）解：当k=1时，f（x）=lnxx，f（x）=1令f（x）=0，可得x=1，函数在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，函数f（x）的极大值点是1；（2）解：当k=0时，若f（x）+a0（a，bR）恒成立，则lnx+a0（a，bR）恒成立，alnx+恒成
24、立，令y=lnx+，则y=，由题意b0，函数在（0，b）上单调递减，在（b，+）上单调递增，alnb+1，a1lnb，ea1b+11，ea1b+1的最大值为1；（3）证明：由（2）可知a1=lnb，F（b）=m，F（x）=mx1、x2为函数F（x）的两个零点，不妨设0x1x2，m=0，m=0，lnx1mx1=0，lnx2mx2=0，lnx1lnx2=m（x1x2），lnx1+lnx2=m（x1+x2）原不等式x1x2e2等价于lnx1+lnx22m（x1+x2）2，ln，令=t，则0t1，lnlnt，设g（t）=lnt，（0t1），g（t）=0，函数g（t）在（1，+）是递增，g（t）g（1）
25、=0即不等式lnt成立，故所证不等式x1x2e2成立请考生在第22、23、24题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一个题计分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑题号选修4-1：几何证明选讲22（10分）已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CD分别交AE、AB于点F、D，ADF=45（1）求证：CD为ACB的平分线；（2）若AB=AC，求的值【解答】（1）证明：CA切圆O于A点，由弦切角定理，可得CAE=BBE为圆O的直径DAF=90ADF=45，ADF=AFDACD+CAE=B+BCDACD=BCD，CD为ACB的角平分线；（2）解：若AB=AC，则CAE=
26、B=ACB=30则=选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为=4sin从极点作圆C的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线C1（1）求C1的极坐标方程；（2）已知曲线l的参数方程为，（0，t为参数，且t0），l与C交于点A，l与C1交于点B，且|=，求的值【解答】解：（1）由圆C的极坐标方程为=4sin从极点作圆C的弦，设各条弦中点M（，）则（2，）在圆C上，C1的极坐标方程为2=4sin，可得=2sin（2）曲线l的参数方程为，（0，t为参数，且t0），化为y=xtan由题意可得：|OA|=1=4sin，|OB|=2=2sin，|=，|OA|OB|=2sin=，即sin=又0，或=选修4-5：不等式证明选讲24已知a，b，c均为正实数，且+=1（1）证明：+；（2）求证：+1【解答】证明：（1）由a，b，c均为正实数，且+=1，可得+，+，+，相加可得+，即有（+）2=+2（+）3（+）=3，当且仅当a=b=c=取得等号；（2）由a，b，c均为正实数，且+=1，可得+2=，+，+，相加可得+=1，即有原不等式成立第23页（共23页）