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1、专题讲座五 解析几何在高考中的常见题型与求解策略1(2016长春质量检测)若F(c，0)是双曲线1(ab0)的右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，OAB的面积为，则该双曲线的离心率e()A.B.C. D.解析：选C.设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为，则tan ，tan 2，因此OAB的面积可以表示为aatan 2，解得，则e.故选C.2(2016山西省考前质量检测)已知F为抛物线C：y24x的焦点，点E在C的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q，与C交于点P，则点P的坐标为()A(1，2) B(2，2)C(3，2) D(4，
2、4)解析：选D.由题意，得抛物线的准线方程为x1，F(1，0)设E(1，y)，因为PQ为EF的垂直平分线，所以|EQ|FQ|，即y，解得y4，所以kEF2，kPQ，所以直线PQ的方程为y(x1)，即x2y40.由解得即点P的坐标为(4，4)，故选D.3已知F1、F2分别为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆的中心O任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，的值为_解析：易知当P，Q分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大由于F1(，0)，F2(，0)，不妨设P(0，1)，所以(，1)，(，1)，所以2.答案：24若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为，离心
3、率为e，则的最小值为_解析：由题意，所以ba，所以c2a，e2，(当且仅当a2时取等号)，则的最小值为.答案：5.(2016山西省四校联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线ykx(k0)与椭圆相交于E、F两点(1)求椭圆C的方程；(2)当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值解：(1)由题意知：e，所以e2，所以a24b2.又圆x2y2b2与直线xy0相切，所以b1，所以a24，故所求椭圆C的方程为x21.(2)设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x10)，即k2时，上式取等号所以当四边形A
4、EBF面积取最大值时，k2.6.(2016河南省八校联考)已知点P(2，3)，Q(2，3)在椭圆1上，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点(1)若直线AB的斜率为，求四边形APBQ的面积的最大值；(2)当A、B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为yxt，把其代入1，得x2txt2120，由t24(t212)0，解得4tb0)的离心率为，一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，kOAkOB，判断AOB的面积是否为定值？若
5、是，求出定值，若不是，说明理由解：(1)由题意得c1，又e，所以a2，从而b2a2c23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(34k2)x28mkx4(m23)0，由(8mk)216(34k2)(m23)0得m20.由弦长公式得|AB|x1x2|.又点O到直线l：ykxm的距离d，所以SAOBd|AB| .故AOB的面积为定值.2(2016太原模拟)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是点F1、F2，其离心率e，点P为椭圆上的一个动点，PF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆的方程；(2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，
6、0，求|的取值范围解：(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，PF1F2面积取最大值，此时SPF1F2|F1F2|OP|bc，所以bc4，因为e，所以b2，a4，所以椭圆的方程为1.(2)由(1)得椭圆的方程为1，则F1的坐标为(2，0)，因为0，所以ACBD，当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得|6814，当直线AC的斜率k存在且k0时，则其方程为yk(x2)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立消去y，得(34k2)x216k2x16k2480，所以，所以|x1x2|，此时直线BD的方程为y(x2)，同理，由可得|，所以|，令tk21(k0)，则t1，所以|，因为t1，所以0，所以|.由可知，|的取值范围是.5