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1、第7讲 立体几何中的向量方法第1课时1.如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG.证明：因为平面PAD平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)， C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)法一：(0，1，0)，(1，2，1)，设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则n(1，0，1)为平面EFG的一个法
2、向量，因为(2，0，2)，所以n0，所以n，因为PB平面EFG，所以PB平面EFG.法二：(2，0，2)，(0，1，0)，(1，1，1)设st，即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，所以解得st2.所以22，又因为与不共线，所以，与共面因为PB平面EFG，所以PB平面EFG.2.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.证明：如图，建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0
3、)，B1(4，0，4)(1)取AB中点N，则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，所以(2，4，0)，(2，4，0)，所以，所以DENC.又NC平面ABC，DE平面ABC，故DE平面ABC.(2)因为(2，2，4)，(2，2，2)，(2，2，0)，所以(2)22(2)(4)(2)0，所以，即B1FEF.因为(2)222(4)00，所以，即B1FAF，又AFFEF，所以B1F平面AEF.3.如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD.(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，
4、求SEEC的值；若不存在，试说明理由解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则ACBD.由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图设底面边长为a，则高SOa，于是S，D，B，C，则0.故OCSD.从而ACSD.(2)棱SC上存在一点E，使BE平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且，.设t，则t，而0t.即当SEEC21时，.而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC.4.如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE
5、平面CDE.证明：(1)设ADDE2AB2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)因为F为CD的中点，所以F.，(a，a，a)，(2a，0，a)因为()，AF平面BCE，所以AF平面BCE.(2)因为，(a，a，0)，(0，0，2a)，所以0，0，所以，.又CDDED，所以平面CDE，即AF平面CDE.又AF平面BCE，所以平面BCE平面CDE.1.如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成3
6、0角(1)求证：CM平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PAD.证明：(1)以C为坐标原点，分别以CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，因为PC平面ABCD，所以PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以PBC30.因为PC2，所以BC2，PB4.所以D(0，1，0)，B(2，0，0)，A(2，4，0)，P(0，0，2)，M，所以(0，1，2)，(2，3，0)，令n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则即所以令y2，得n(，2，1)因为n2010，所以n，又CM 平面PAD，所以CM平面PAD.(2)取AP的中点E，则E(，2，1)
7、，(，2，1)因为PBAB，所以BEPA，又因为(，2，1)(2，3，0)0，所以，所以BEDA，又PADAA，所以BE平面PAD，又因为BE平面PAB，所以平面PAB平面PAD.2如图，正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由解：(1)AB平面DEF，理由如下：在ABC中，由E、F分别是AC、BC的中点，得EFAB.又因为AB平面DEF，EF平面DEF，所以AB平面DEF.(2)以点D为坐标原点，直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1)，故(0，1)假设存在点P(x，y，0)满足条件，则(x，y，2)，y20，所以y.又(x2，y，0)，(x，2y，0)，所以(x2)(2y)xy，所以xy2.把y代入上式得x，所以，所以在线段BC上存在点P使APDE，此时.6