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1、1 / 6【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 7 7 章立体几何第章立体几何第 4 4 讲垂直关系知能训练轻松闯关理北师大版讲垂直关系知能训练轻松闯关理北师大版1若 a，b 表示两条不同的直线， 表示平面，a，b，则 a 与 b 的关系为( ) Bab，且 a 与 b 不相交Aab，且 a 与 b 相交 Da 与 b 不一定垂直Cab 解析：选 C.因为 b，所以在 中必有一条直线 c 与 b 平行，因 为 a，所以 ac，所以 ab. 2 “直线 a 与平面 M 内的无数条直线都垂直”是“直线 a 与平面 M 垂直”的( ) B必要不充分条件A充分不
2、必要条件 D既不充分也不必要条件C充要条件 解析：选 B.根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M 内的无 数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 M 垂直” ，反之可以，所 以应该是必要不充分条件 3(2016南昌调研)已知两个不同的平面 ， 和两条不重合的 直线 m，n，则下列四个命题中不正确的是( ) A若 mn，m，则 n B若 m，m，则 C若 m，mn，n，则 D若 m，n，则 mn 解析：选 D.由线面平行、垂直之间的转化知 A、B 正确；对于 C，因 为 m，mn，所以 n，又 n，所以 ，即 C 正确；对 于 D，m，n，则 mn，或 m 与 n 是异面直线，故
3、D 项 不正确 4在如图所示的四个正方体中，能得出 ABCD 的是( ) 解析：选 A.A 中，因为 CD平面 AMB，所以 CDAB；B 中，AB 与 CD 成 60角；C 中，AB 与 CD 成 45角；D 中，AB 与 CD 夹角的正切值 为. 5设 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列 命题中正确的是( ) A若 ， a，b，则 ab B若 a，b，且 ，则 ab C若 a，ab，b，则 D若 ab，a，b，则 2 / 6解析：选 C.若 ，a，b，则直线 a 与 b 可能平行或异面， 所以 A 错误；若 a，b，且 ，则直线 a 与 b 可能平行 或相交或异面，所以
4、B 错误；若 a，ab，b，则 ， 所以 C 正确；若 ab，a，b，则 与 相交或平行，所以 D 错误故选 C. 6(2016九江模拟) 如图，在三棱锥 DABC 中，若 ABCB，ADCD，E 是 AC 的中点，则 下列命题中正确的是( ) A平面 ABC平面 ABD B平面 ABD平面 BCD C平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDE D平面 ABC平面 ACD，且平面 ACD平面 BDE 解析：选 C.因为 ABCB，且 E 是 AC 的中点，所以 BEAC，同理， DEAC，由于 DEBEE，于是 AC平面 BDE.因为 AC 平面 ABC，所 以平面 ABC平面 BD
5、E.又 AC 平面 ACD，所以平面 ACD平面 BDE.故 选 C. 7. 如图，在ABC 中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面 ABC，PC4，M 是 AB 上的一个动点，则 PM 的最小值为_ 解析：作 CHAB 于 H，连接 PH.因为 PC平面 ABC，所以 PHAB，PH 为 PM 的最小值，等于 2. 答案：27 8(2016无锡质检)已知 ， 是三个不同的平面，命题 “ 且 ”是真命题，若把 ， 中的任 意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命 题有_个 解析：若把 ， 换为直线 a，b，则命题转化为“ab 且 ab” ，此命题为真命题；若把 ， 换为
6、直线 a，b，则 命题转化为“a 且 abb” ，此命题为假命题；若把 ， 换为直线 a，b，则命题转化为“a 且 bab” ，此 命题为真命题 答案：2 9四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，则这个 四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有_对 解析：因为 ADAB，ADPA 且 PAABA，可得 AD平面 PAB.同 理可得 BC平面 PAB、AB平面 PAD、CD平面 PAD，由面面垂直的 判定定理可得，平面 PAD平面 PAB，平面 PBC平面 PAB，平面 PCD平面 PAD，平面 PAB平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD，共有3 / 65 对 答案
7、：5 10已知 a、b、l 表示三条不同的直线，、 表示三个不同 的平面，有下列四个命题： 若 a，b，且 ab，则 ； 若 a、b 相交，且都在 、 外， a，a，b，b，则 ； 若 ，a，b，ab，则 b； 若 a，b，la，lb，l，则 l. 其中正确命题的序号是_ 解析：若平面 、 两两相交于三条直线，则有交线平行，故 不正确因为 a、b 相交，假设其确定的平面为 ，根据 a，b，可得 .同理可得 ，因此 ，正 确由面面垂直的性质定理知正确当 ab 时，l 垂直于平面 内两条不相交直线，不能得出 l，错误 答案： 11(2014高考课标全国卷) 如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧
8、面 BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为 O，且 AO平面 BB1C1C. (1)证明：B1CAB； (2)若 ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱 ABCA1B1C1 的 高 解： (1)证明：连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1 的交点因为侧面 BB1C1C 为菱形，所以 B1CBC1. 又 AO平面 BB1C1C， 所以 B1CAO， 故 B1C平面 ABO. 由于 AB 平面 ABO，故 B1CAB. (2)作 ODBC，垂足为 D，连接 AD.作 OHAD，垂足为 H. 由于 BCAO，BCOD，故 BC平面 AOD， 所以 OHBC. 又 OHAD，所以 OH平面
9、ABC. 因为CBB160，所以CBB1 为等边三角形 又 BC1，可得 OD. 由于 ACAB1，所以 OAB1C. 由 OHADODOA，且 AD，得 OH. 又 O 为 B1C 的中点，所以点 B1 到平面 ABC 的距离为，故三棱柱4 / 6ABCA1B1C1 的高为. 12(2015高考安徽卷) 如图，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60. (1)求三棱锥 PABC 的体积； (2)证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 ACBM，并求的值 解：(1)由题设 AB1，AC2，BAC60， 可得 SABCABACsin 60. 由 PA平面 ABC
10、，可知 PA 是三棱锥 PABC 的高 又 PA1， 所以三棱锥 PABC 的体积 VSABCPA. (2)在平面 ABC 内，过点 B 作 BNAC，垂足为 N.在平面 PAC 内，过 点 N 作 MNPA 交 PC 于点 M，连接 BM. 由 PA平面 ABC 知 PAAC， 所以 MNAC. 由于 BNMNN，故 AC平面 MBN. 又 BM 平面 MBN，所以 ACBM. 在直角BAN 中，ANABcosBAC，从而 NCACAN. 由 MNPA，得. 1(2016山西、河南、河北三省监测)在多面体 ABCDE 中，AB平 面 ACD，DE平面 ACD，ACADCDDE2AB，F 为棱
11、 CE 上异于点 C，E 的动点，则下列说法正确的有( ) 直线 DE 与平面 ABF 平行； 当 F 为 CE 的中点时，BF平面 CDE； 存在点 F 使得直线 BF 与 AC 平行； 存在点 F 使得 DFBC. B2 个A1 个 D4 个C3 个 解析：选 C.因为 AB、DE 都垂直平面 ACD，所以 DEAB，因为 AB 平 面 ABF，所以 DE平面 ABF，正确；当 F 为 CE 的中点时，取 CD 的中点 G，连接 AG，FG，于是 FGDE，则 ABFG，且 FGDEAB，所以四边形 ABFG 为平行四边形，则 AGBF，又 ACAD，所以 AGCD，又 DE平面 ACD，
12、AG 平面 ACD，所以 AGDE，因为 CDDED，所以 AG平面 CDE，则 BF平面 CDE，正确；因为 AC 与平面 CBE 交于 C，而 BF 在平面 CBE 内，所 以直线 BF 与 AC 不可能平行，所以错；连接 DF，当 F 为 CE 中点 时，由知 BF平面 CDE，而 DF 平面 CDE，则 DFBF，而 CDDE，所以 DFCE，BFCEF，于是 DF平面 CBE，BC 平面5 / 6CBE，则 DFBC，正确，综上，正确的说法共有 3 个 2. 点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，给出下列四 个命题： 三棱锥 AD1PC 的体积不变；
13、 A1P平面 ACD1； DBBC1； 平面 PDB1平面 ACD1. 其中正确的命题序号是_ 解析：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 DC1 交 D1C 于点 O1，连接 OO1，则 OO1BC1. 所以 BC1平面 AD1C，动点 P 到平面 AD1C 的距离不变， 所以三棱锥 PAD1C 的体积不变 又 VPAD1CVAD1PC，所以正确 连接 A1B，A1C1，因为平面 A1C1B平面 AD1C，A1P 平面 A1C1B，所 以 A1P平面 ACD1，正确 由于 DB 不垂直于 BC1，显然不正确； 连接 B1D，由于 DB1D1C，DB1AD1，D1CAD1D1， 所以 DB1平
14、面 AD1C，DB1 平面 PDB1， 所以平面 PDB1平面 ACD1，正确 答案： 3(2015高考北京卷) 如图，在三棱锥 VABC 中，平面 VAB平面 ABC，VAB 为等边三角 形，ACBC 且 ACBC，O，M 分别为 AB，VA 的中点 (1)求证：VB平面 MOC； (2)求证：平面 MOC平面 VAB； (3)求三棱锥 VABC 的体积 解：(1)证明：因为 O，M 分别为 AB，VA 的中点， 所以 OMVB. 又因为 VB平面 MOC，所以 VB平面 MOC. (2)证明：因为 ACBC，O 为 AB 的中点，所以 OCAB. 又因为平面 VAB平面 ABC，且 OC
15、平面 ABC， 所以 OC平面 VAB. 所以平面 MOC平面 VAB. (3)在等腰直角三角形 ACB 中，ACBC， 所以 AB2，OC1. 所以等边三角形 VAB 的面积 SVAB. 又因为 OC平面 VAB，6 / 6所以三棱锥 CVAB 的体积等于 OCSVAB. 又因为三棱锥 VABC 的体积与三棱锥 CVAB 的体积相等，所以三棱 锥 VABC 的体积为. 4(2016青岛质检) 如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，DBBC，DBAC，点 M 是棱 BB1 上一点 (1)求证：B1D1平面 A1BD； (2)求证：MDAC； (3)试确定点 M 的位置，使得平面 DM
16、C1平面 CC1D1D. 解：(1)证明：由直四棱柱 ABCDA1B1C1D1，得 BB1DD1，BB1DD1， 所以四边形 BB1D1D 是平行四边形， 所以 B1D1BD. 因为 BD 平面 A1BD，B1D1平面 A1BD， 所以 B1D1平面 A1BD. (2)证明：因为 BB1平面 ABCD，AC 平面 ABCD， 所以 BB1AC. 又因为 BDAC，且 BDBB1B， 所以 AC平面 BB1D1D， 因为 MD 平面 BB1D1D，所以 MDAC. (3)当点 M 为棱 BB1 的中点时，平面 DMC1平面 CC1D1D.证明如下： 取 DC 的中点 N，D1C1 的中点 N1，连接 NN1 交 DC1 于点 O，连接 BN，OM，如图所示 因为 N 是 DC 的中点，BDBC， 所以 BNDC. 又因为 DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1 的交线，平面 ABCD平面 DCC1D1， 所以 BN平面 DCC1D1. 由题意可得 O 是 NN1 的中点， 所以 BMON 且 BMON， 即四边形 BMON 是平行四边形 所以 BNOM. 所以 OM平面 CC1D1D. 因为 OM 平面 DMC1，所以平面 DMC1平面 CC1D1D.