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1、第一章计数原理(A)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1将5封信投入3个邮筒，不同的投法有()A53种 B35种 C3种 D15种2三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有()A18种 B24种 C45种 D90种37名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()A720种 B360种C1 440种 D120种4从5名男生和5名女生中选3名组队参加某集体项目的比赛，其中至少有1名女生入选的组队方案数为()A100 B110 C120 D1805从1,2,3，100中任取2个数相乘，其积能被3整除的有()A33组 B528组C2
2、 111组 D2 739组6编号为1,2,3,4,5的5人，入座编号也为1,2,3,4,5的5个座位，至多有2人对号入座的坐法种数为()A120 B130 C90 D1097杨辉三角为：杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是()A第6行 B第7行C第8行 D第9行8在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则第六项的系数是()A330 B462 C682 D7929在8的展开式中，常数项是()A28 B7 C7 D2810若(3x)n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中含项的系数是()A7 B7 C21 D2111若(x1)nxnax3bx21(n
3、N*)，且ab31，则n的值为()A9 B10 C11 D1212三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有()A72个 B120个C240个 D360个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_个14过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有_对15在(x)9的展开式中，x3的系数是_16对于二项式(1x)1 999，有下列四个命题：展开式中T1 000Cx999；展开式中非常数项的系数和
4、是1；展开式中系数最大的项是第1 000项和第1 001项；当x2 000时，(1x)1 999除以2 000的余数是1.其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)有A，B，C三个城市，上午从A城去B城有5班汽车，2班火车，都能在1200前到达B城，下午从B城去C城有3班汽车，2班轮船某人上午从A城出发去B城，要求1200前到达，然后他下午去C城，问有多少种不同的走法？18(12分)用0,1,2,3,4,5共6个数字，可以组成多少个没有重复数字的六位奇数？19(12分)有9本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有
5、多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本20(12分)求(x1)5展开式中的常数项21(12分)已知Sn2nC2n1C2n2C211(nN*)，求证：当n为偶数时，Sn4n1能被64整除22(12分)已知(3x2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大992，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项第一章计数原理(A)答案1B2D分三步进行：先从六个班中选两个班给第一名老师，有C种方法；再从剩余的四个班中选两个班给第二名老师，有C种方法；最后两个班给第3名老师，共CCC90(种)方法3C用捆绑法：NAA1 440(种)4B方法一(直接法)分为三类
6、：一女二男，二女一男，三女所以共有CCCCC110(种)组队方案方法二(间接法)无限制条件的方案数减去全是男生的方案数，所有共有CC12010110(种)组队方案5D乘法满足交换律，因此是组合问题把1,2,3，99,100分成2组：3,6,9，99，共计33个元素；1,2,4,5，100，共计67个元素，故积能被3整除的有CCC2 739(组)6D问题的正面有3种情况：有且仅有1人对号入座，有且仅有2人对号入座和全未对号入座，这3种情况都难以求解从反面入手，只有2种情况：全对号入座(4人对号入座时必定全对号入座)，有且仅有3人对号入座全对号入座时只有1种坐法；有3人对号入座时，分2步完成：从5
7、人中选3人有C种选法，安排其余2人不对号入座，只有1种坐法因此，反面情况共有1C111(种)不同坐法.5人无约束条件入座5个座位，有A120(种)不同坐法所以满足要求的坐法种数为12011109.7B8B由题意知，2n11 024210，所以n11.所以第六项的系数为C462.故选B.9C10C赋值法：令x1，得n7，由通项公式得Tk1C(3x)7k()k(1)k37kCx，令3，得k6，的系数为(1)6376C21.11C12C131921436解析15条直线中任选两条，有C105(对)直线；其中平行直线有C36(对)；相交直线有6C(同一顶点处)3(每个侧面的对角线)63(对)所以异面直线
8、共有10566336(对)1584解析Tr1Cx9rxrCx92r，令92r3，r3.x3的系数是C84.16解析展开式中T1 000C(x)999Cx999，所以正确；展开式中各项系数和为0，而常数项为1，所以非常数项的系数和为1，错；展开式中系数最大的项是第1 001项，错；将二项式展开，即可判断对17解根据分类加法计数原理，上午从A城到B城，并在1200前到达，共有527(种)不同的走法下午从B城去C城，共有325(种)不同的走法根据分步乘法计数原理，上午从A城去B城，然后下午从B城去C城，共有7535(种)不同的走法 18.解分三步：确定末位数字，从1,3,5中任取一个有C种方法；确定
9、首位数字，从另外的4个非零数字中任取一个有C种方法；将剩余的4个数字排中间有A种排法，故共有CCA288(个)六位奇数19解(1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C种方法；第三步：把剩下的书给丙有C种方法，共有不同的分法为CCC1 260(种)(2)分两步完成：第一步：按4本、3本、2本分成三组有CCC种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A种方法，共有CCCA7 560(种)20解(x1)5(x)15，通项为Tk1C(x)5k(1)k(0k5)当k5时，T6C(1)51，当0k5时，(x)5k的通项为
10、Tr1Cx5kr()rCx5k2r(0r5k)0k5，且kZ,5k2r0，k只能取1或3，相应r的值分别为2或1，常数项为CC(1)CC(1)3(1)51.21证明Sn(21)n3n，n为偶数，设n2r(rN*)，Sn4n19r8r1(81)r8r1(C8r2C8r3C)82，(*)当r1时，9r8r10，显然Sn4n1能被64整除；当r2时，(*)式能被64整除n为偶数时，Sn4n1能被64整除22解令x1得展开式各项系数和为(13)n4n，又展开式二项式系数和为CCC2n，由题意知4n2n992，即(2n)22n9920，(2n32)(2n31)0，2n32，n5.所以展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三项和第四项，它们是T3C()3(3x2)290x6.T4C()2(3x2)3270x，设展开式中第r1项的系数最大又Tr1C()5r(3x2)rC3rx，得即解得r，又rN，r4.所以展开式中第5项系数最大，T5C34x405x.6