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1、第三章线性系统时域分析用第1页，共156页，编辑于2022年，星期二时时域域分分析析法法是是根根据据系系统统的的微微分分方方程程，以以拉拉普普拉拉斯斯变变换换作作为为数数学学工工具具，直直接接解解出出控控制制系系统统的的时时间间响响应应。然然后后，依依据据响响应应的的表表达达式式及及其其描描述述曲曲线线来来分分析析系系统统的的控控制制性性能能，如如稳稳定定性性、快快速速性性、稳稳态态精精度度等等，并并找找出出系系统统结结构构、参参数数与与这这些些性性能之间的关系。能之间的关系。时域分析法是一种直接分析法，还是一种时域分析法是一种直接分析法，还是一种比较准确的方法，可以提供系统时间响应比较准确的
2、方法，可以提供系统时间响应的全部信息。的全部信息。第2页，共156页，编辑于2022年，星期二3.1 典型输入信号及性能指标典型输入信号及性能指标 一个系统的时间响应，不仅取决于系统本身一个系统的时间响应，不仅取决于系统本身的结构与参数，而且还同系统的初始状态以的结构与参数，而且还同系统的初始状态以及加在系统上的外作用信号有关。及加在系统上的外作用信号有关。为为了了分分析析和和比比较较控控制制系系统统的的优优劣劣，通通常常对对初始状态和外作用信号做一些典型化处理。初始状态和外作用信号做一些典型化处理。初始状态：零状态初始状态：零状态外作用：外作用：第3页，共156页，编辑于2022年，星期二一
3、、典型输入信号一、典型输入信号 1阶跃函数阶跃函数 其表达式为其表达式为 当当a=1时，称为单位阶跃函数，记作时，称为单位阶跃函数，记作1(t)，则则有有 单位阶跃函数的拉氏变换为单位阶跃函数的拉氏变换为 第4页，共156页，编辑于2022年，星期二2速度函数（斜坡函数）速度函数（斜坡函数）其表达式为其表达式为 当当a=1时，时，r(t)=t，称为单位速度函数，其拉氏变称为单位速度函数，其拉氏变换为换为 第5页，共156页，编辑于2022年，星期二3加速度函数（抛物线函数）加速度函数（抛物线函数）其表达式为其表达式为 当当a=1/2时时，称称为为单单位位加加速速度度函函数数，其其拉拉氏氏变变换
4、为换为 第6页，共156页，编辑于2022年，星期二4脉冲函数脉冲函数 其表达式为其表达式为 单位脉冲函数单位脉冲函数(t)，其数学描述为其数学描述为单位脉冲函数的拉氏变换为单位脉冲函数的拉氏变换为 第7页，共156页，编辑于2022年，星期二5正弦函数正弦函数 其表达式为其表达式为 其拉氏变换为其拉氏变换为 第8页，共156页，编辑于2022年，星期二二、阶跃响应的性能指标二、阶跃响应的性能指标 分析时假定控制系统是单位反馈的、初始分析时假定控制系统是单位反馈的、初始条件为零、给定输入为单位阶跃函数。条件为零、给定输入为单位阶跃函数。控制系统的时间响应，从时间顺序上，可以控制系统的时间响应，
5、从时间顺序上，可以划分为划分为过渡过程过渡过程和和稳态过程稳态过程。过渡过程过渡过程是指系统从初始状态到接近最终状是指系统从初始状态到接近最终状态的响应过程。态的响应过程。稳态过程稳态过程是指时间趋于无穷时系统的输出状态。是指时间趋于无穷时系统的输出状态。第9页，共156页，编辑于2022年，星期二第10页，共156页，编辑于2022年，星期二0.5td延迟时间延迟时间td0.10.9tr上升时间上升时间tr峰值峰值时间时间tptp超调量超调量%调节时间调节时间ts误差带误差带ts振荡次数振荡次数N稳态误差稳态误差ess控制系统的典型单位阶跃响应控制系统的典型单位阶跃响应ess=1-h()第1
6、1页，共156页，编辑于2022年，星期二延迟时间延迟时间上升时间上升时间峰值时间峰值时间调节时间调节时间快速性快速性超超 调调 量量 振荡次数振荡次数稳态误差稳态误差平稳性平稳性最终最终(稳态稳态)精度精度第12页，共156页，编辑于2022年，星期二3.2 一阶系统分析一阶系统分析 由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。一、一阶系统的数学模型一、一阶系统的数学模型 一阶系统的微分方程为一阶系统的微分方程为 其闭环传递函数为其闭环传递函数为 惯性环节惯性环节 惯性环节惯性环节 惯性环节惯性环节 惯性环节惯性环节 惯性环节惯性环节 第13页，共156页
7、，编辑于2022年，星期二二、一阶系统的单位阶跃响应二、一阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃输入的拉氏变换为单位阶跃输入的拉氏变换为 取取C(s)的拉氏变换，可得一阶系统的单位阶的拉氏变换，可得一阶系统的单位阶跃响应跃响应 第14页，共156页，编辑于2022年，星期二则则 或写成或写成 一一阶阶系系统统中中的的单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线是是一一条条由由零零开开始始，按按指指数数规规律律上上升升并并最最终终趋趋于于1的的曲曲线线。响响应应曲曲线线具具有有非非振振荡荡特特征征，故故又又称称为为非非周周期期响应。响应。css=1 代表稳态分量代表稳态分量 代表动态分量代表动态分量 第15页，共1
8、56页，编辑于2022年，星期二一阶系统的阶跃响应一阶系统的阶跃响应 没有超调没有超调 量；量；调节时间调节时间 ts=3T(5%)ts=4T(2%)没有稳态没有稳态误差，即误差，即初初第16页，共156页，编辑于2022年，星期二例例 一一阶阶系系统统如如图图所所示示,试试求求系系统统单单位位阶阶跃跃响响应应的的调调节时间节时间ts。如果要如果要求求ts0.1 s，试问系统的反馈系数应调整为，试问系统的反馈系数应调整为何值？何值？解：解：(1)由结构图写出闭环传递函数由结构图写出闭环传递函数第17页，共156页，编辑于2022年，星期二从从(s)的分母多项式看出时间常数的分母多项式看出时间常
9、数T=0.1 s，故故调节时间调节时间(2)计算计算ts0.1 s的反馈系数值的反馈系数值设反馈系数为设反馈系数为Kh，则系统闭环传递函数，则系统闭环传递函数故故第18页，共156页，编辑于2022年，星期二要求要求ts=0.1 s，代入上式得代入上式得所以所以调节时间调节时间第19页，共156页，编辑于2022年，星期二练习：练习：根据定义，求一阶系统的动态性能指标：根据定义，求一阶系统的动态性能指标：td=?tr=?第20页，共156页，编辑于2022年，星期二3.3 二阶系统分析二阶系统分析 由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。一、二阶系统的数
10、学模型一、二阶系统的数学模型 位置随动系统原理图位置随动系统原理图 第21页，共156页，编辑于2022年，星期二前向通道的传递函数前向通道的传递函数 折算转动惯量和粘性摩擦系数折算转动惯量和粘性摩擦系数第22页，共156页，编辑于2022年，星期二则则 闭环传递函数为闭环传递函数为 La很小，很小，La0，同时令，同时令与与第23页，共156页，编辑于2022年，星期二系统的特征方程系统的特征方程 F 称为实际阻尼系数。称为实际阻尼系数。当当 时时，特特征征方方程程有有一一对对相相等等的的负负实实根根，系系统统处于临界阻尼状态。处于临界阻尼状态。令令Fc为临界阻尼系数，则为临界阻尼系数，则
11、第24页，共156页，编辑于2022年，星期二闭环传递函数的分子、分母同除以闭环传递函数的分子、分母同除以J 引入两个新的参量引入两个新的参量 n称为无阻尼自然频率或固有频率称为无阻尼自然频率或固有频率 称为阻尼比称为阻尼比第25页，共156页，编辑于2022年，星期二闭环传递函数写成如下一般形式闭环传递函数写成如下一般形式 其闭环特征方程为其闭环特征方程为 方程的特征根为方程的特征根为 第26页，共156页，编辑于2022年，星期二阻尼比阻尼比 的取值不同，二阶系统的特征根的取值不同，二阶系统的特征根(闭闭环极点环极点)在在s平面上的分布：平面上的分布：欠欠 阻阻 尼尼状状 态态临界阻尼临界
12、阻尼 状状 态态第27页，共156页，编辑于2022年，星期二 过过 阻阻 尼尼状状 态态零零 阻阻 尼尼状状 态态负负 阻阻 尼尼状状 态态第28页，共156页，编辑于2022年，星期二二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应 1.1.过阻尼过阻尼 1的情况的情况 系统闭环特征方程有两个不相等的负实根。系统闭环特征方程有两个不相等的负实根。式中式中 第29页，共156页，编辑于2022年，星期二于是闭环传递函数为于是闭环传递函数为 因此，过阻尼二阶系统可以看成两个时间常数因此，过阻尼二阶系统可以看成两个时间常数不同的惯性环节的串联。不同的惯性环节的串联。第30页，共156页，编辑
13、于2022年，星期二当输入为单位阶跃信号时当输入为单位阶跃信号时 系统的输出系统的输出 取取C(s)的拉氏反变换，得到单位阶跃响应的拉氏反变换，得到单位阶跃响应 稳态分量为稳态分量为1，动态分量为两项指数项。，动态分量为两项指数项。第31页，共156页，编辑于2022年，星期二过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线第32页，共156页，编辑于2022年，星期二过阻尼二阶系统调节时间特性过阻尼二阶系统调节时间特性 取取 相相 对对 变变 量量ts/T1及及T1/T2经经计计算算机机解解算算后后制成曲线。制成曲线。当当T1=T2(=1的临界阻的临界阻尼情况尼情况):调节时
14、间调节时间ts=4.75T1；当当T1=4T2(=1.25)时时:ts3.3T1；当当T14T2(1.25)时时:ts3T1。第33页，共156页，编辑于2022年，星期二2.临界阻尼临界阻尼=1的情况的情况 系统具有两个相等的负实根系统具有两个相等的负实根s1,2=-n。所以所以 取取C(s)的拉氏反变换，得临界阻尼下二阶系的拉氏反变换，得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应统的单位阶跃响应 第34页，共156页，编辑于2022年，星期二3.欠阻尼欠阻尼0 1的情况的情况 欠欠阻阻尼尼二二阶阶系系统统具具有有一一对对实实部部为为负负的的共共轭轭复复根根，时时间间响响应应呈呈衰衰减减振振荡荡特特性
15、性，故故又又称称为为振振荡环节荡环节。系统闭环传递函数的一般形式为系统闭环传递函数的一般形式为 特征根为一对共轭复根特征根为一对共轭复根 衰减系数衰减系数 d 阻尼振荡频率阻尼振荡频率第35页，共156页，编辑于2022年，星期二当输入信号为单位阶跃作用时当输入信号为单位阶跃作用时 取取C(s)的拉氏变换，得欠阻尼二阶系统的单的拉氏变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应位阶跃响应 第36页，共156页，编辑于2022年，星期二或者写成或者写成 式中式中 或或 系系统统的的响响应应由由稳稳态态分分量量和和动动态态分分量量两两部部分分组组成成，稳稳态态分分量量的的值值等等于于1，动动态态分分量量是是
16、一一个个随随时时间间t的增长而衰减的振荡过程。的增长而衰减的振荡过程。第37页，共156页，编辑于2022年，星期二欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线 第38页，共156页，编辑于2022年，星期二采采用用无无因因次次时时间间 nt作作为为横横坐坐标标，则则时时间间响响应应就仅仅是阻尼比就仅仅是阻尼比 的函数。的函数。阻尼正弦振荡的滞后角阻尼正弦振荡的滞后角为为 第39页，共156页，编辑于2022年，星期二 =0.707时的单位阶跃响应曲线时的单位阶跃响应曲线 第40页，共156页，编辑于2022年，星期二二阶系统单位阶跃响应的通用曲线二阶系统单位阶跃响应的通用
17、曲线 第41页，共156页，编辑于2022年，星期二平平稳稳性性：阻阻尼尼比比 越越大大，超超调调量量越越小小，响响应应的的振振荡荡倾倾向向越越弱弱，平平稳稳性性越越好好。反反之之，阻阻尼尼比比 越小，振荡越强，平稳性越差。越小，振荡越强，平稳性越差。当当 =0时，零阻尼响应为时，零阻尼响应为 响应为具有频率为响应为具有频率为 n的的不衰减不衰减(等幅等幅)振荡。振荡。第42页，共156页，编辑于2022年，星期二由于由于 所所以以,在在一一定定的的阻阻尼尼比比 下下，n越越大大，振振荡荡频频率率 d也也越越高高，系系统统响响应应的的平平稳性越差。稳性越差。结结论论：要要使使系系统统单单位位阶
18、阶跃跃响响应应的的平平稳稳性性好好，就就要求阻尼比要求阻尼比 大，自然频率大，自然频率 n小。小。阻尼比阻尼比 和超调量和超调量%的关系曲线的关系曲线 第43页，共156页，编辑于2022年，星期二快快速速性性：过过大大，系系统统响响应应迟迟钝钝，调调节节时时间间ts长长，快快速速性性差差；过过小小，虽虽然然响响应应的的起起始始速速度度较较快快，但但因因为为振振荡荡强强烈烈，衰衰减减缓缓慢慢，所所以以调调节节时间时间ts也长，快速性差。也长，快速性差。对对于于一一定定的的阻阻尼尼比比 ，所所对对应应的的无无因因次次时时间间的的响响应应是是一一定定的的。因因此此，当当 一一定定时时，n越越大大，
19、调调节节时时间间ts也也就就越越短短，即快速性越好。即快速性越好。第44页，共156页，编辑于2022年，星期二稳稳态态精精度度：瞬瞬态态分分量量随随时时间间t的的增增长长衰衰减减到到零零，而而稳稳态态分分量量等等于于1。因因此此，欠欠阻阻尼尼二二阶阶系系统统的的单位阶跃响应不存在稳态误差。单位阶跃响应不存在稳态误差。第45页，共156页，编辑于2022年，星期二三、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标三、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标 1.1.上升时间上升时间tr：单单位阶跃响应曲线位阶跃响应曲线第一次到达稳态第一次到达稳态值的时间就是上值的时间就是上升时间。升时间。因为因为第46页，共1
20、56页，编辑于2022年，星期二所以所以所以所以即即第47页，共156页，编辑于2022年，星期二2.2.峰峰值值时时间间tp：响响应应曲曲线线达达到到第第一一峰峰值值所所需需的的时间。时间。对时间对时间t求导并令其为零，可得到峰值时间。求导并令其为零，可得到峰值时间。则则第48页，共156页，编辑于2022年，星期二到达第一个峰值时应满足到达第一个峰值时应满足 所以所以峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。第49页，共156页，编辑于2022年，星期二3.3.超调量超调量%超调量的定义超调量的定义 将将峰峰值值时时间间表表达达式式代代入入单单位位阶阶跃跃响响应应表表
21、达达式，得到输出量的最大值式，得到输出量的最大值第50页，共156页，编辑于2022年，星期二所以所以 超调量只是阻尼比的函数。超调量只是阻尼比的函数。第51页，共156页，编辑于2022年，星期二阻尼比阻尼比 和超调量和超调量%的关系曲线的关系曲线 第52页，共156页，编辑于2022年，星期二4.4.调节时间调节时间ts 无无因因次次调调节节时时间间 nts与与阻阻尼尼比比 之之间间的的关关系系曲曲线线:如如 n一一 定定，则则ts先先随随 的的增增大大而而减减小小,达达到到最最小小值值之之后后，随随 的的增增大大而又增大。而又增大。无因次调节时间无因次调节时间 nts与阻尼比与阻尼比 的
22、关系曲线的关系曲线 第53页，共156页，编辑于2022年，星期二曲线的不连续性解释：曲线的不连续性解释：n一定，一定，不同不同第54页，共156页，编辑于2022年，星期二第55页，共156页，编辑于2022年，星期二第56页，共156页，编辑于2022年，星期二 =0.707时的单位阶跃响应曲线时的单位阶跃响应曲线 由图看出：由图看出：实际响应的实际响应的收敛速度总收敛速度总是比包络线是比包络线要快。要快。第57页，共156页，编辑于2022年，星期二根据调节时间的定义，调节时间满足下列不等式根据调节时间的定义，调节时间满足下列不等式即即而而h(t)的稳态值的稳态值 h()=1因此因此而而
23、第58页，共156页，编辑于2022年，星期二将条件改为将条件改为解得解得若取若取=5%得得若取若取 =2%得得第59页，共156页，编辑于2022年，星期二当阻尼比当阻尼比 0。系统稳定的充要必要条件：特征方程的赫尔系统稳定的充要必要条件：特征方程的赫尔维茨行列式维茨行列式Dk(k=1，2，3，n)全部为正。全部为正。第82页，共156页，编辑于2022年，星期二各阶赫尔维茨行列式为各阶赫尔维茨行列式为 式式中中脚脚注注大大于于n的的系系数数 或或 负负 脚脚注注 系系 数数，均均 以以 零零 代代之。之。第83页，共156页，编辑于2022年，星期二例例 系统的特征方程为系统的特征方程为试
24、用赫尔维茨判据，判别系统的稳定性。试用赫尔维茨判据，判别系统的稳定性。解：解：由特征方程知各项系数为由特征方程知各项系数为 稳定的充分必要条件稳定的充分必要条件 由由于于D20或或D偶偶0。(1)系统特征方程的各项系数大于零，系统特征方程的各项系数大于零，即即 ai0(i=0，1，2，3，n)。说明：说明：(1)是系统稳定的必要条件；如果满是系统稳定的必要条件；如果满足足ai0，则根据，则根据(2)继续计算。继续计算。第85页，共156页，编辑于2022年，星期二例例 系统特征方程为系统特征方程为利用林纳得利用林纳得-奇帕特判据，判别系统稳定性。奇帕特判据，判别系统稳定性。解：解：稳定的充分必
25、要条件为稳定的充分必要条件为(1)ai0 即即a00，a10，a20，a30；(2)事实上事实上第86页，共156页，编辑于2022年，星期二例例 单位负反馈系统的开环传递函数单位负反馈系统的开环传递函数 试求增益试求增益K的稳定域。的稳定域。系统的闭环特征方程系统的闭环特征方程 解：解：特征方程各项系数为特征方程各项系数为 第87页，共156页，编辑于2022年，星期二稳定的充分必要条件稳定的充分必要条件(1)ai0，则要求则要求K0；(2)D20 即即 得得 K14 所以保证系统稳定，增益的稳定域为所以保证系统稳定，增益的稳定域为 0K0，则则40K-270，得得 K0.675 D2=a1
26、a2-a0a3，则则11 15-(40K-27)0,得得 K4.8所以满足要求的所以满足要求的K值范围为值范围为 0.675K4.8显然，比系统原来的稳定域显然，比系统原来的稳定域0K0，K-2。(2)由由得得 K6 所以稳定性条件为所以稳定性条件为0K6 第二步，求第二步，求E(s)。当干扰当干扰n(t)=0时有时有 第114页，共156页，编辑于2022年，星期二所以所以 输入信号输入信号r(t)=t，所以所以 则则 第115页，共156页，编辑于2022年，星期二第三步，用终值定理求稳态误差第三步，用终值定理求稳态误差e ss。假设系统满足稳定条件，即假设系统满足稳定条件，即0K0,则则
27、T2、T1、K1、K2均应大于零。均应大于零。得得 T1 T2(2)由由第148页，共156页，编辑于2022年，星期二第二步，求稳态误差。第二步，求稳态误差。在在干干扰扰作作用用点点到到误误差差信信号号之之间间的的传传递递函函数数中中有有一一个个积积分分环环节节，故故系系统统在在n(t)=1(t)作作用用下下，essn=0。第149页，共156页，编辑于2022年，星期二六、改善系统稳态精度的方法六、改善系统稳态精度的方法 1.按干扰补偿按干扰补偿 输出输出c(t)对干扰对干扰n(t)的闭环传递函数的闭环传递函数 第150页，共156页，编辑于2022年，星期二若能使若能使 C N(s)为零
28、，则干扰对输出的影响就可为零，则干扰对输出的影响就可消除。消除。由分子为零，即由分子为零，即得对干扰全补偿的条件为得对干扰全补偿的条件为第151页，共156页，编辑于2022年，星期二2.按指令信号补偿按指令信号补偿 误差定义为误差定义为 第152页，共156页，编辑于2022年，星期二所以所以为使为使E(s)=0，应保证应保证 得到得到 第153页，共156页，编辑于2022年，星期二本章本章小结小结1.时时域域分分析析是是通通过过直直接接求求解解系系统统在在典典型型输输入入信信号号作作用用下下的的时时间间响响应应，来来分分析析系系统统的的控控制制性性能能的的。工工程程上上常常用用单单位位阶
29、阶跃跃响响应应的的超超调调量量、调调节节时时间间和和稳稳态态误误差差等等性性能能指指标标，评评价价系系统统性性能能的的优劣。优劣。2.控控制制系系统统的的动动态态特特性性可可以以近近似似为为一一阶阶或或二二阶阶系系统统。因因此此一一、二二阶阶系系统统的的理理论论分分析析结结果果，常常是高阶系统分析的基础。常常是高阶系统分析的基础。第154页，共156页，编辑于2022年，星期二3.稳稳定定性性是是系系统统正正常常工工作作的的首首要要条条件件。线线性性系系统统的的稳稳定定性性，是是系系统统固固有有的的一一种种特特性性，完完全全由由系系统统自自身身的的结结构构、参参数数决决定定。判判别别稳稳定定性
30、性的的代代数数方方法法是是赫赫尔尔维维茨茨判判据据、林林纳纳德德奇奇帕帕特判据和劳思判据。特判据和劳思判据。4.系系统统的的稳稳态态误误差差标标志志着着系系统统最最终终可可能能达达到到的的控控制制精精度度。稳稳态态误误差差既既和和系系统统的的结结构构、参参数数有有关关，又又和和外外作作用用的的形形式式及及大大小小有有关关，同同时时还还和和干扰作用点的位置有关。干扰作用点的位置有关。第155页，共156页，编辑于2022年，星期二5.系系统统的的型型别别和和静静态态误误差差系系数数也也是是稳稳态态精精度度的的一一种种标标志志，型型别别越越高高、静静态态误误差差系系数数越越大大，系系统统的的稳稳态态误误差差就就越越小小。实实际际系系统统中中，型型系系统统最最常常见见，型型0型次之。型次之。第156页，共156页，编辑于2022年，星期二