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1、第七章 刚体的简单运动第1页，共28页，编辑于2022年，星期一第七章第七章 刚体的简单运动刚体的简单运动7-1 7-1 刚体的平行移动刚体的平行移动7-2 7-2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动7-3 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度7-4 7-4 轮系转动比轮系转动比7-5 7-5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度第2页，共28页，编辑于2022年，星期一7-1 7-1 刚体的平行移动刚体的平行移动一、平行移动一、平行移动 如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线始终如果在物体内任
2、取一直线，在运动过程中这条直线始终与它的最初位置平行，这种运动称为与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动平行移动，简称，简称平移平移。例如：例如：第3页，共28页，编辑于2022年，星期一二、平移的特点二、平移的特点 设刚体作平移，在刚体内任选设刚体作平移，在刚体内任选两点两点A、B,令点令点A的矢径为的矢径为rA，点，点B的矢径为的矢径为rB,则两条矢端曲线就则两条矢端曲线就是两点的轨迹。由图可知是两点的轨迹。由图可知当刚体平移时，线段当刚体平移时，线段AB的长度的长度和方向都不改变。和方向都不改变。刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直线，也可能是曲线，刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直
3、线，也可能是曲线，但是它们的形状是完全相同的。但是它们的形状是完全相同的。因此只要把点因此只要把点B的的轨迹沿轨迹沿BA方向平行移动一段距离方向平行移动一段距离BA，就能与点，就能与点A的轨迹完全重合。的轨迹完全重合。7-1 7-1 刚体的平行移动刚体的平行移动第4页，共28页，编辑于2022年，星期一上式对时间上式对时间t求导数，得求导数，得而而因此，得因此，得将上式再求一次导数，得将上式再求一次导数，得结论：结论：当刚体平行移动时。其上各点的轨迹形状相同；在每一当刚体平行移动时。其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时瞬时,各点的速度相同各点的速度相同,加速度也相同加速度也相同。因此因此,研究刚
4、体的研究刚体的平移平移,可以归结为研究刚体内任一点（如质心）的运动可以归结为研究刚体内任一点（如质心）的运动。速度、加速度速度、加速度7-1 7-1 刚体的平行移动刚体的平行移动第5页，共28页，编辑于2022年，星期一例：例：图示曲柄滑道机构，当曲柄图示曲柄滑道机构，当曲柄OA在平面上绕定轴在平面上绕定轴O转动时，通过滑槽转动时，通过滑槽连杆中的滑块连杆中的滑块A的带动，可使连杆在水平槽中沿直线往复动。若曲柄的带动，可使连杆在水平槽中沿直线往复动。若曲柄OA的半的半径为径为r，曲柄与，曲柄与x轴的夹角为轴的夹角为=t，其中，其中是常数，求此连杆在任一瞬时的速是常数，求此连杆在任一瞬时的速度及
5、加速度。度及加速度。解：解：连杆作平移，因此在连杆上任连杆作平移，因此在连杆上任取一点取一点M可代表连杆的运动。点可代表连杆的运动。点M的的位置坐标为位置坐标为这就是点这就是点M的运动方程。因此，的运动方程。因此，点点M的速度及加速度为的速度及加速度为7-1 7-1 刚体的平行移动刚体的平行移动第6页，共28页，编辑于2022年，星期一7-2 7-2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动，则刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动，则这种运动称为这种运动称为刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动，简称，简称刚体的转动刚体的转动。通过这两。通过这两个固定点的
6、一条不动的直线，称为刚体的个固定点的一条不动的直线，称为刚体的转轴转轴或或轴线轴线，简称，简称轴轴。第7页，共28页，编辑于2022年，星期一一、转动方程一、转动方程 取转轴为取转轴为z轴。通过轴线作一固定轴。通过轴线作一固定平面平面,此外，通过轴线作一与刚体固连此外，通过轴线作一与刚体固连的动平面的动平面 。这两个平面间的夹角用。这两个平面间的夹角用表示表示,称为刚体的称为刚体的转角转角。转角转角是一个代数量，它确定了刚是一个代数量，它确定了刚体的位置体的位置,它的符号规定为它的符号规定为:从从z轴正向往轴正向往下看下看,逆时针为正逆时针为正,反之为负。并用弧度反之为负。并用弧度(rad)表
7、示表示,当刚体转动时当刚体转动时,转角转角是时间是时间t的单值连续函数，即的单值连续函数，即这个方程称为刚体绕定轴转动的这个方程称为刚体绕定轴转动的转动方程转动方程。7-2 7-2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动第8页，共28页，编辑于2022年，星期一二、角速度二、角速度 转角转角对时间的一阶导数，称为刚体的对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度瞬时角速度，用，用表表示，即示，即角速度表示刚体转动的快慢和方向。角速度表示刚体转动的快慢和方向。单位一般用单位一般用rad/s（弧度（弧度/秒）。秒）。角速度是代数量。角速度是代数量。从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时，角速度取正值，从轴的正端
8、向负端看，刚体逆时针转动时，角速度取正值，反之取负值。反之取负值。7-2 7-2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动第9页，共28页，编辑于2022年，星期一三、角加速度三、角加速度 角速度角速度对时间的一阶导数，称为刚体的对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度瞬时角加速度。用用表示，即表示，即角加速度表示角速度变化的快慢。角加速度表示角速度变化的快慢。单位一般用单位一般用rad/s2(弧度弧度/秒秒2)。角加速度也是代数量。角加速度也是代数量。如果如果与与同号，则转动是加速的；如果同号，则转动是加速的；如果与与异号，则异号，则转动是减速的。转动是减速的。7-2 7-2 刚体绕定轴的转动刚体绕
9、定轴的转动第10页，共28页，编辑于2022年，星期一四、两种特殊情况四、两种特殊情况 1.1.匀速转动匀速转动刚体角速度不变的转动，称为刚体角速度不变的转动，称为匀速转动匀速转动。在工程实际中，匀速转动时，转动的快慢常用每分钟在工程实际中，匀速转动时，转动的快慢常用每分钟转数转数n来表示，其单位为来表示，其单位为r/min（转（转/分），称为分），称为转速转速。角速度角速度与转速与转速n的关系为的关系为式中转速式中转速n的单位为的单位为r/min，角速度，角速度的单位为的单位为rad/s。7-2 7-2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动第11页，共28页，编辑于2022年，星期一2.2.匀变
10、速转动匀变速转动刚体角加速度不变的转动，称为刚体角加速度不变的转动，称为匀变速转动匀变速转动。其中其中0和和0分别是分别是t=0时的角速度和转角。时的角速度和转角。7-2 7-2 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动第12页，共28页，编辑于2022年，星期一7-3 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度一、转动刚体内各点的速度一、转动刚体内各点的速度 以固定点以固定点O 为弧坐标为弧坐标s的的原点，按原点，按角的正向规定弧角的正向规定弧坐标坐标s的正向，于是的正向，于是将上式对将上式对t求一阶导数，得求一阶导数，得上式可写成上式可写成 即：即：转动刚体内任一点的速度的大
11、小，等于刚体的角速度与该点转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速度与该点到轴线的距离的乘积，它的方向沿圆周的切线指向转动一方到轴线的距离的乘积，它的方向沿圆周的切线指向转动一方。第13页，共28页，编辑于2022年，星期一转动刚体内各点速度分布规律：转动刚体内各点速度分布规律：7-3 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度第14页，共28页，编辑于2022年，星期一二、转动刚体内各点的加速度二、转动刚体内各点的加速度 转动刚体内任一点的切向加转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角速度的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线距离的加速度与该点到轴线距离的乘
12、积，它的方向由角加速度乘积，它的方向由角加速度的符号决定。的符号决定。法向加速度为法向加速度为即：即：转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体角速度的转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。平方与该点到轴线距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。atan7-3 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度第15页，共28页，编辑于2022年，星期一如果如果与与同号，刚体作加速转动；反之作减速转动。同号，刚体作加速转动；反之作减速转动。点点M加速度加速度a的大小和方向：的大小和方向：7-3 7-3 转
13、动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度第16页，共28页，编辑于2022年，星期一由于在每一瞬时，刚体的由于在每一瞬时，刚体的和和都只有一个确定的数都只有一个确定的数值，所以得知：值，所以得知：1在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别于这些点到轴线的距离成正比。小，分别于这些点到轴线的距离成正比。2在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹角与半径间的夹角都有相同的值。都有相同的值。7-3 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度第17页，共28页，
14、编辑于2022年，星期一例：例：叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上M点：点：r=0.4=0.4m，在某在某瞬时的全加速度瞬时的全加速度a=40=40m/s2,与转动半径的夹角与转动半径的夹角=30=30。若。若t=0=0时，位时，位置角置角0=0=0，求叶轮的转动方程及，求叶轮的转动方程及t=2=2s时时M点速度和法向加速度。点速度和法向加速度。7-3 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度第18页，共28页，编辑于2022年，星期一解：解：将将M点在某瞬时的全加速度点在某瞬时的全加速度a沿轨迹的切向及法沿轨迹的切向及法向分解，则切向加速
15、度及角加速度为向分解，则切向加速度及角加速度为由于匀加速转动，故由于匀加速转动，故为常量。转动方程为为常量。转动方程为当当t=2=2s时，叶轮的角速度为时，叶轮的角速度为因此因此M点的速度及法向加速度为点的速度及法向加速度为atan7-3 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度第19页，共28页，编辑于2022年，星期一7-4 7-4 轮系转动比轮系转动比一、齿轮转动一、齿轮转动 外啮合外啮合内啮合内啮合因两轮之间没有相对滑动，故因两轮之间没有相对滑动，故但但因此因此或或处于啮合中的两个定轴齿轮角速度与处于啮合中的两个定轴齿轮角速度与两齿轮的啮合圆半径成反比两齿轮的啮
16、合圆半径成反比。又又故故第20页，共28页，编辑于2022年，星期一设轮设轮是主动轮，轮是主动轮，轮是从动轮。是从动轮。传动比：传动比：不仅适用于圆柱齿轮传动，也适用于轴成任意角度的圆锥齿轮传不仅适用于圆柱齿轮传动，也适用于轴成任意角度的圆锥齿轮传动、摩擦传动等。动、摩擦传动等。有时为了区分轮系中各轮的转向。对各轮都规定统一有时为了区分轮系中各轮的转向。对各轮都规定统一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而转动比的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而转动比也取代数值：也取代数值：正号表示两轮转向相同，负号表示转向相反。正号表示两轮转向相同，负号表示转向相反。7-4 7-4 轮系转动
17、比轮系转动比第21页，共28页，编辑于2022年，星期一二、皮带轮转动二、皮带轮转动 如不考虑皮带的厚度，并假定皮带与轮间无相对滑动，则如不考虑皮带的厚度，并假定皮带与轮间无相对滑动，则于是皮带轮的传动比为于是皮带轮的传动比为即：即：两轮的角速度与其半径成反比两轮的角速度与其半径成反比。轮轮为主动轮：为主动轮：r1 1、1 1轮轮为从动轮：为从动轮：r2 2、2 27-4 7-4 轮系转动比轮系转动比第22页，共28页，编辑于2022年，星期一 例：例：图为一减速箱，轴图为一减速箱，轴为主动轴，与电机相联。已知电机为主动轴，与电机相联。已知电机转速转速n=1450=1450r/min,各齿轮的
18、齿数各齿轮的齿数z1=14,=14,z2=42=42，z3=20=20，z4=36=36。求。求减速箱的总传动比减速箱的总传动比i14及轴及轴的转速。的转速。7-4 7-4 轮系转动比轮系转动比第23页，共28页，编辑于2022年，星期一解：解：用用n1 1、n2 2、n3 3、n4 4分别表示各分别表示各齿轮的转速，则有齿轮的转速，则有应用齿轮传动比公式，得应用齿轮传动比公式，得将两式相乘，得将两式相乘，得7-4 7-4 轮系转动比轮系转动比第24页，共28页，编辑于2022年，星期一即即角加速度矢角加速度矢为角速度矢为角速度矢对时间对时间的一阶导数的一阶导数。7-57-5以矢量表示角速度和
19、角加速度以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度zzkk角速度（角速度（代数量代数量）角速度矢（角速度矢（矢量矢量）它的指向按照右手螺旋规则确定。它的指向按照右手螺旋规则确定。角速度矢是滑动矢量。角速度矢是滑动矢量。同样同样 于是于是 一、以矢量表示角速度和角加速度一、以矢量表示角速度和角加速度 第25页，共28页，编辑于2022年，星期一绕定轴转动的刚体上任一点的速度矢等绕定轴转动的刚体上任一点的速度矢等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积。于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积。二、以矢积表示点的速度和加速度二、以矢积表示点的速度和加速度 1.以矢积表示点的速度
20、以矢积表示点的速度如在轴线上任选一点如在轴线上任选一点O为原点，为原点，rOvr证明：证明：的方向的方向于是可得结论：于是可得结论：与与v的方向一致的方向一致则则7-57-5以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度第26页，共28页，编辑于2022年，星期一2.以矢积表示点的加速度以矢积表示点的加速度 rOratan因为点因为点M的加速度为的加速度为上式右端第一项的大小为上式右端第一项的大小为与与at的方向一致的方向一致 同理同理,右端第二项为法向加速度右端第二项为法向加速度,即即的方向的方向vv7-57-5以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度第27页，共28页，编辑于2022年，星期一第七章第七章 刚体的简单运动刚体的简单运动结结 束束第28页，共28页，编辑于2022年，星期一