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1、第七章第七章刚刚 体体 的的 简简 单单 运运 动动运动学/刚体的简单运动运动学/刚体的简单运动7-1 7-1 刚体的刚体的平行移动平行移动( (平移平移) )7-2 7-2 刚体的刚体的定轴转动定轴转动7-3 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度7- -4 轮系的传动比轮系的传动比7-5 7-5 角速度和角加速度的矢量表示角速度和角加速度的矢量表示 点的速度和加速度的矢积表示点的速度和加速度的矢积表示运动学/刚体的简单运动7-1 7-1 刚体的平行移动刚体的平行移动( (平移平移) )一、刚体平移的定义一、刚体平移的定义 刚体在运动过程刚体在运动过程中，其上中，其
2、上与其初始位置保与其初始位置保持平行，这种运动称持平行，这种运动称为刚体的为刚体的平行移动平行移动，简称简称。直线平移直线平移电梯的升降电梯的升降曲线平移曲线平移荡木荡木AB的运动的运动平移刚体上任一点的轨迹可能是直平移刚体上任一点的轨迹可能是直线或曲线线或曲线 运动学/刚体的简单运动运动学/刚体的简单运动 AB在运动中方向始终不变，在运动中方向始终不变，大小亦始终不变大小亦始终不变( (因为是刚体因为是刚体) )。其上各点其上各点的轨迹可以是直线，的轨迹可以是直线，也可以是曲线。也可以是曲线。 由由A、B 两点的运动方程两点的运动方程)()(trr trrBBAAABABrrr又)0dd(d
3、d)(ddddtrvtrrrttrvABAAABABBAAABABBatrrrttra222222dd)(dddd 同理运动学/刚体的简单运动二、刚体平移的特点二、刚体平移的特点 1） 2） 因此，因此，即刚体上任何一点的运动，就可代，即刚体上任何一点的运动，就可代表刚体上其它各点的运动。表刚体上其它各点的运动。 于是有结论于是有结论:运动学/刚体的简单运动运动学/刚体的简单运动一、刚体一、刚体定轴转动定轴转动的定义的定义 刚体在运动过程中，其刚体在运动过程中，其上或其扩部分有两点保持不上或其扩部分有两点保持不动时，称动时，称，简称转动。过两固定点的不简称转动。过两固定点的不动直线称为动直线称
4、为（图（图中中z轴即为转轴）。轴即为转轴）。二、刚体二、刚体定轴转动定轴转动的特点的特点 不在轴线上的各点均作圆周运动：不在轴线上的各点均作圆周运动：圆周所在平面垂圆周所在平面垂直转轴；圆心均在轴线上；半径为点到转轴的距离。直转轴；圆心均在轴线上；半径为点到转轴的距离。运动学/刚体的简单运动 在刚体上任取一平行于轴的直在刚体上任取一平行于轴的直线线A1A2，则，则A1A2作平动，可取其上作平动，可取其上任一点任一点A代表代表A1A2的运动。所以，绕的运动。所以，绕z轴转动的刚体可简化成投影在轴转动的刚体可简化成投影在oxy平平面上的平面图形绕面上的平面图形绕O点的转动。点的转动。 为描述转动刚
5、体在空间的位置随为描述转动刚体在空间的位置随时间的变化，需建立转动方程。时间的变化，需建立转动方程。运动学/刚体的简单运动 = = f f(t) = (t) = (t)(t) 单位为单位为弧度弧度(rad) ,(rad) ,代数量代数量 符号规定符号规定: : 从从z z轴正向看轴正向看, ,逆时针逆时针 为正为正, ,顺时针为负。顺时针为负。 1.角速度角速度 ddlim 0ttt单位：单位：rad/s (代数量代数量)符号规定符号规定: : 从从z z轴正向看轴正向看, ,逆时针为正逆时针为正, ,顺时针为负。顺时针为负。运动学/刚体的简单运动2.角加速度角加速度 （表征角速度变化快慢）（
6、表征角速度变化快慢） 220ddddlimtttt单位：单位：rad/s2 (代数量代数量) 与与 方向一致为方向一致为加速转动加速转动， 与与 方向相反为方向相反为减减速转动速转动。当。当 =常数，常数， = = 0+ t ,为为匀速转动匀速转动；当；当 =常数，常数， = 0+at, = = 0+ 0t+12at2，为为匀变匀变速转动速转动。 工程中常用转速工程中常用转速 n （ 转转/分分 r / min），则），则n与与 的的关系为关系为:)nn(rad/s30602运动学/刚体的简单运动 、 对整个刚体而言对整个刚体而言(各点都一样各点都一样)； v、a 对刚体中某个点而言对刚体中某
7、个点而言(各点不一样各点不一样)。tstsvt0limddRtRt0limoRRv 转动刚体内任一点的速度的代数值等于该点的转动半径与刚转动刚体内任一点的速度的代数值等于该点的转动半径与刚体的角速度的乘积。体的角速度的乘积。 速度的方向沿圆周的切线方向，指向与角速度的转向一致。速度的方向沿圆周的切线方向，指向与角速度的转向一致。转动刚体上各点的速度方向与其转动半径垂直。转动刚体上各点的速度方向与其转动半径垂直。速度的大小与转动半径成正比。速度的大小与转动半径成正比。运动学/刚体的简单运动tvaddRRRvan222)(4222Raaan22 tanRRaanRtRtdd)(ddRaRRan2o
8、R运动学/刚体的简单运动 v方向与方向与 转向保持一致转向保持一致 ， R ，与，与 R 成正比。成正比。各点的全加速度方向与各点转动半径夹角都相同各点的全加速度方向与各点转动半径夹角都相同,且小于且小于90o , 在同一瞬时的速度和加速度的分布图为在同一瞬时的速度和加速度的分布图为:Rv 42 Ra2 tan各点速度分布图各点速度分布图各点加速度分布图各点加速度分布图a运动学/刚体的简单运动 试画出图中刚体上试画出图中刚体上两点在图示位置时的速度两点在图示位置时的速度和加速度方向。和加速度方向。 运动学/刚体的简单运动M解：解：RaRaRaMsin 已知：圆轮已知：圆轮O由静止开始作等加由静
9、止开始作等加速转动，速转动，OM0.4m，在，在 某瞬时某瞬时求：求： 转动方程转动方程; t5s时，时，点的速度和法向加点的速度和法向加速度的大小。速度的大小。,m/s 402Ma 30sinMa4 . 030sin402rad/s 50 a运动学/刚体的简单运动Mtt500 m/s100520Mv222m/s250004 . 0100RvaMnM当当5s时时,00225:t转动方程ttRvM20504 . 0 222025502121tttt 运动学/刚体的简单运动解：解：AB杆为平移，杆为平移，O1A为定轴转动。根据平移的特点，为定轴转动。根据平移的特点，在同一瞬时，在同一瞬时，M、A两
10、点具有相同的速度和加速度。两点具有相同的速度和加速度。 例例7-3 平行四连杆机构在图示平面内运动。平行四连杆机构在图示平面内运动。 m， m， m，如，如 按按 的规律转动，其中的规律转动，其中 以以rad计计，t以以s计计。 时时，M点的速度与加速度。点的速度与加速度。 2 . 021BOAO6 . 021ABOO2 . 0AMAO1t158 . 0t运动学/刚体的简单运动A点作圆周运动，其运动方程为点作圆周运动，其运动方程为tAOs313ddtsvA（m/s) 0ddtvaA2212452 . 09AOvaAnA（m/s）8 . 0t (s)时，4 . 2s(m)， 2 . 01AO(m
11、)， 122 . 04 . 2 此时此时AB杆正好第六次回到起始的水平位置杆正好第六次回到起始的水平位置O点处点处 、 的方向如图示的方向如图示 MvMa运动学/刚体的简单运动 例例7-4 某主机采用一台电动机带动，起动时，电动机转某主机采用一台电动机带动，起动时，电动机转速在速在5s内由零均匀升到内由零均匀升到n500 rpm，此后由此转速作匀速运，此后由此转速作匀速运动如图示。试计算：动如图示。试计算：(1)电动机启动阶段内的角加速度；电动机启动阶段内的角加速度；(2)10s钟内电动机转过的转数。钟内电动机转过的转数。在起动阶段电动机作匀变速转动在起动阶段电动机作匀变速转动 t0解:(1)
12、角加速度为角加速度为3.523050030nrad/s 46.1053 .52rad/s252.305运动学/刚体的简单运动（2）电动机在）电动机在10s内转过的转数在内转过的转数在t15s内内,电动机作电动机作匀变速转动，转过的角度为匀变速转动，转过的角度为8.130546.1021212211trad从从t15 s后，电动机作匀速转动，到后，电动机作匀速转动，到 t210 s时，转过时，转过的角度为的角度为, rad。所以，电动。所以，电动机在机在10s内共转过的角度为内共转过的角度为262)510(3 .522t8 .3922628 .13021 rad因为每转等于2 rad，所以以转数
13、表示有5 .6228 .392转转运动学/刚体的简单运动 机械中常用齿轮传动机构，以达到机械中常用齿轮传动机构，以达到传递转动传递转动和和变速变速的目的。的目的。运动学/刚体的简单运动两轮接触点的两轮接触点的速度速度大小、方向相同；大小、方向相同；两轮接触点的两轮接触点的切向加速度切向加速度大小、方向相同。大小、方向相同。 运动学/刚体的简单运动11RvA22RvB两齿轮之两齿轮之：1221RR1212zzRR又2121 nn由于转速由于转速n与与 有如下关系有如下关系: 12122112zzRRi2112i 30 602nn运动学/刚体的简单运动121221212, 1zzrrnni外啮合取
14、外啮合取，內啮合取，內啮合取+。的乘积齿数所有主动轮半径的乘积齿数所有从动轮半径推广)()()1(:11, 1mnnnnni其中其中m为外啮合齿轮的对数。为外啮合齿轮的对数。考虑到考虑到转向转向,则有则有)()(齿数主动轮半径齿数从动轮半径运动学/刚体的简单运动 减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮和和安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为为z1=36、z2=112、z3=32和和z4=128。如主动轴。如主动轴的转速的转速n1=1450r/min，试求从动轮，试求从动轮的转速的转速n4。从齿轮从齿轮到
15、齿轮到齿轮的传的传动比为动比为4114nnimin/1174 .1214501414rinn故例例7-5解：解：4 .12323612811231422) 1(zzzz运动学/刚体的简单运动皮带不可伸长（理想化）；皮带不可伸长（理想化）；设皮带与轮之间无相对滑动；设皮带与轮之间无相对滑动；皮带（链条）上各点皮带（链条）上各点v，a 大小相同。大小相同。BAvv ( 方向可不同方向可不同 ) BBAArrABBAABrri皮带轮（链轮）传动适用于皮带轮（链轮）传动适用于两轴距离较远的情况。两轴距离较远的情况。 运动学/刚体的简单运动7-5 7-5 角速度和角加速度的矢量表示角速度和角加速度的矢量
16、表示 点的速度和加速度的矢积表示点的速度和加速度的矢积表示按右手规则确定按右手规则确定 ， 的方向。的方向。kkktt ddddtdd22ddddtt 运动学/刚体的简单运动Rvvrtrtvad)(dddvraaRrrsin|ravanrvvanratrrtdddd|90sin|2noaRvv|rsinr半径半径R=100mm的圆盘绕园心转动，图示瞬时点的圆盘绕园心转动，图示瞬时点A的速度的速度例例7-6s/mm200 jvA，点点B切向加速度切向加速度2s/mm150iaB求角速度、角加速度。并写出求角速度、角加速度。并写出C点的加速度的矢量表达式点的加速度的矢量表达式。解解：由由A点点AArvkjirkjiAzyx00100kji0200000100zyxkjikjyz100100k2由B点：BBrajrkjiBzyx100k5 . 1对对C点点：nCCCaaaCCvr)(CCrv2s/mm8 .1769 .388jiaC