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1、第第1章矩阵的初等变章矩阵的初等变换与线性方程组换与线性方程组1第1页，共38页，编辑于2022年，星期日 线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程
2、组来表示。含有有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。数称为线性函数。2第2页，共38页，编辑于2022年，星期日 线性代数作为独立的分支直到线性代数作为独立的分支直到2020世纪才形成，然而世纪才形成，然而它的历史却非常久远。它的历史却非常久远。最古老的线性问题是最古老的线性问题是线性方程组线性方程组的解法，在中国的解法，在中国古代的数学著作九章算术古代的数学著作九章算术方程中，已经作了比方程中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵
3、的行方程组的增广矩阵的行施行初等变换施行初等变换，消去未知量的，消去未知量的方法。方法。随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式行列式和和矩阵矩阵在在1819世纪期间先后产生，为处理线性世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。3第3页，共38页，编辑于2022年，星期日 向量概念的引入，形成了向量概念的引入，形成了向量空间向量空间的概念。线性问题的概念。线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空
4、间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。的中心内容。线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支。比如，数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支。比如，“以直代曲以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。许多经济学、工程学、物理、化学等领域的大型线想。许多经济学、工程学、物理、化学等领域的大型线性问题的计算使得线性代数成为应用最广泛的数学学科性问题的计算使得线性代数成为应用最广泛的数学学科之
5、一。之一。4第4页，共38页，编辑于2022年，星期日第一章第一章解线性方程组的消元法与矩阵的初等解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换变换1.3 解解线性方程组的的消元法线性方程组的的消元法1.2 矩阵及初等变换矩阵及初等变换1.1 若干典型问题若干典型问题5第5页，共38页，编辑于2022年，星期日今有30000美元投资给三个投资公司A，B，C，投资给这三个公司的(平均)年利润率分别为12、15、22。投资者投资目标是(平均)年总利润为6000美元，投资者要求投给公司B的资金是投给公司A的2倍。为了达到这个投资目标与要求，应当投资每个公司各多少美元?解解 设投资于公司A，B，C的资金分别为问
6、题问题1 1（投资问题）（投资问题）6第6页，共38页，编辑于2022年，星期日问题问题：（1）如何判别（*）是否有解？若有解，解是否唯一？（2）如何解（*）？（3）当（*）有无穷多解时，其解如何表示？（*）问题问题2.线性方程组的一般理论线性方程组的一般理论7第7页，共38页，编辑于2022年，星期日 问题问题3 航线连接问题航线连接问题 四个城市间的单向航线如图：四个城市间的单向航线如图：1234可简单地用一个数表来表示：可简单地用一个数表来表示：8第8页，共38页，编辑于2022年，星期日 问题问题4 Fibonacci数列数列(兔子繁殖问题）兔子繁殖问题）Fibonacci数列满足递推
7、关系式：数列满足递推关系式：其中其中 利用利用矩阵的对角化方法矩阵的对角化方法，可以得到该数列一般项的显示表，可以得到该数列一般项的显示表达式。达式。问题问题5 二次曲面的图形二次曲面的图形线性代数的最基本研究对象线性代数的最基本研究对象线性方程组线性方程组线性代数研究中的最基本工具线性代数研究中的最基本工具矩阵矩阵线性代数研究的非常有用的方法线性代数研究的非常有用的方法矩阵的初等变换矩阵的初等变换9第9页，共38页，编辑于2022年，星期日 矩阵诞生于矩阵诞生于矩阵诞生于矩阵诞生于19191919世纪，晚于行列式约一百年。从表面上看，世纪，晚于行列式约一百年。从表面上看，世纪，晚于行列式约一
8、百年。从表面上看，世纪，晚于行列式约一百年。从表面上看，矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符号；但是，正是这矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符号；但是，正是这矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符号；但是，正是这矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符号；但是，正是这种种种种“结构好的语言的好处，它的简洁的记法常常是深奥理论的结构好的语言的好处，它的简洁的记法常常是深奥理论的结构好的语言的好处，它的简洁的记法常常是深奥理论的结构好的语言的好处，它的简洁的记法常常是深奥理论的源泉。源泉。源泉。源泉。”(P.S.Laplace)”(P.S.Laplace)”(P.S.Laplace)”(P.S
9、.Laplace)进入进入进入进入20202020世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当成熟，世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当成熟，世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当成熟，世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当成熟，作为研究课题已寿终正寝。作为研究课题已寿终正寝。作为研究课题已寿终正寝。作为研究课题已寿终正寝。随着电子计算机的发展，各种随着电子计算机的发展，各种随着电子计算机的发展，各种随着电子计算机的发展，各种快速算法相继涌现，矩阵数值分析快速发展，矩阵理论研快速算法相继涌现，矩阵数值分析快速发展，矩阵理论研快速算法相继涌现，矩阵数值分析快速发展，矩阵理论研快速算法相继涌现，矩阵数值分析快
10、速发展，矩阵理论研究进入一个新的发展阶段。究进入一个新的发展阶段。究进入一个新的发展阶段。究进入一个新的发展阶段。2 矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换10第10页，共38页，编辑于2022年，星期日定义定义 为表示它是一个为表示它是一个整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。11第11页，共38页，编辑于2022年，星期日(1)11的矩阵可以理解为一个数。的矩阵可以理解为一个数。(2)行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩阵的矩阵 A，称为，称为 n 阶方阶方阵或阵或 n 阶矩阵。阶矩阵。(3)只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵或称为行矩阵或 n
11、 维行向量。维行向量。称为列矩阵或称为列矩阵或 m 维列向量。维列向量。(4)只有一列的矩阵只有一列的矩阵12第12页，共38页，编辑于2022年，星期日(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O。(6)矩阵矩阵(约定未写出的元素全为零约定未写出的元素全为零)称为单位矩阵。称为单位矩阵。(7)矩阵矩阵称为对角矩阵。记作称为对角矩阵。记作13第13页，共38页，编辑于2022年，星期日定义定义设设 ，如果，如果(此时称此时称A与与B是是同型矩阵同型矩阵)且且则称则称 A 与与 B 相等相等，记作，记作 A=B。问问：与与 相等吗？相等吗？14第14页，共38页，编辑
12、于2022年，星期日(3)把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、第称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、第三种三种初等行变换初等行变换(1)交换矩阵的某两行，记为交换矩阵的某两行，记为(2)以不等于的数乘矩阵的某一行，记为以不等于的数乘矩阵的某一行，记为记为记为类似定义三种类似定义三种初等列变换初等列变换初等列变换初等列变换以上六种变换统称为矩阵的以上六种变换统称为矩阵的初等变换初等变换初等变换初等变换定义定义15第15页，共38页，编辑于2022年，星期日定义定义行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵及及行
13、最简行最简(阶梯阶梯)形矩阵形矩阵(行最简行最简形就是所谓的最简单的形就是所谓的最简单的“代表代表”)书书P.5-定义定义4行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵16第16页，共38页，编辑于2022年，星期日行最简阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵（3）台阶左下方元素全为零；）台阶左下方元素全为零；（1）每个台阶上只有一行；）每个台阶上只有一行；（2）每个台阶上第一个元素不为零。）每个台阶上第一个元素不为零。行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵：行最简阶梯形行最简阶梯形(1)(2)(3)+(4)台阶上的第一个元素为台阶上的第一个元素为1,且其所在列其它元素全为零。且其所在列其它元素全为零。17第17页，共38页，编辑于20
14、22年，星期日 只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形，只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形，从而再化为行最简形。行阶梯形不唯一，行最简形唯一。从而再化为行最简形。行阶梯形不唯一，行最简形唯一。书书P6-定理定理1.1.1定理定理 例例118第18页，共38页，编辑于2022年，星期日化阶梯形：从上到下，从左到右化阶梯形：从上到下，从左到右,化最简形：从下向上，从右到左。化最简形：从下向上，从右到左。19第19页，共38页，编辑于2022年，星期日练习练习 将下列矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵将下列矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵,再化为行最简阶梯形矩阵再化为行最简阶梯形矩阵20第20页，共38页
15、，编辑于2022年，星期日矩阵的初等行变换是可逆的矩阵的初等行变换是可逆的矩阵的初等行变换是可逆的矩阵的初等行变换是可逆的,其逆变换仍为初等变换其逆变换仍为初等变换其逆变换仍为初等变换其逆变换仍为初等变换,且变换类型相且变换类型相且变换类型相且变换类型相同同同同初等列变换也有类似的结果初等列变换也有类似的结果逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换21第21页，共38页，编辑于2022年，星期日如果如果 ,则称则称 A 与与 B 相抵相抵(也称也称等等价价)定义定义矩阵的相抵关系是不是一个等价关系矩阵的相抵关系是不是一个等价关系?(等价关系等价关系)在一个集合在一个集合 S 中如果有一种关系中如果
16、有一种关系 R 满足满足 (1)自反性：自反性：aRa;(2)对称性：对称性：aRb bRa;(3)传递性：传递性：aRb,bRc aRc。则称则称 R 为为 S 的一个的一个等价关系等价关系等价关系等价关系。定义定义作业作业 P7 3 4课后思考课后思考 P7 5 622第22页，共38页，编辑于2022年，星期日第一章第一章解线性方程组的削元法与矩阵的初等解线性方程组的削元法与矩阵的初等变换变换1.3 解解线性方程组的削元法线性方程组的削元法1.2 矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换1.1 若干典型问题若干典型问题第23页，共38页，编辑于2022年，星期日（*）线性方程组线性方程组记记一一
17、.线性方程组的矩阵形式线性方程组的矩阵形式24第24页，共38页，编辑于2022年，星期日（*）（1 1）若）若，则称（则称（*）为）为非齐次线性方程组非齐次线性方程组;（2 2）若）若，则称（则称（*）为）为齐次线性方程组齐次线性方程组.25第25页，共38页，编辑于2022年，星期日例例1 线性方程组线性方程组（*）系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵记记26第26页，共38页，编辑于2022年，星期日引例引例 用加减消元法解方程组用加减消元法解方程组27第27页，共38页，编辑于2022年，星期日28第28页，共38页，编辑于2022年，星期日29第29页，共38页，编辑于2022年，星期日
18、30第30页，共38页，编辑于2022年，星期日例例2求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解对对增广矩阵增广矩阵用行变换化用行变换化阶梯形阶梯形最后一行对应的方程是：最后一行对应的方程是：0=20=20=20=2,所以无解。所以无解。31第31页，共38页，编辑于2022年，星期日解方程组解方程组例例3第一步第一步第一步第一步:把增广矩阵用把增广矩阵用行行变换化阶梯形变换化阶梯形,判断是否有解判断是否有解;若有解若有解,继续化继续化为行最简阶梯形矩阵。为行最简阶梯形矩阵。32第32页，共38页，编辑于2022年，星期日第二步第二步第二步第二步：写出等价的：写出等价的(独立的独立的)方程组
19、，保留第一个未知数在左边其余的移方程组，保留第一个未知数在左边其余的移到右边，移到右边的称为到右边，移到右边的称为自由变量自由变量。第三步第三步第三步第三步：令自由变量为任意实数，写出通解。再改写为向量形式。：令自由变量为任意实数，写出通解。再改写为向量形式。令令通解通解33第33页，共38页，编辑于2022年，星期日思考思考 利用矩阵解线性非齐次方程组的步骤利用矩阵解线性非齐次方程组的步骤.祥见教材第祥见教材第12页页.练习练习 解方程组解方程组34第34页，共38页，编辑于2022年，星期日例例4求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解解解 对系数矩阵对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形施行初等行变换化为最简阶梯形:35第35页，共38页，编辑于2022年，星期日写出等价方程组并移项写出等价方程组并移项:36第36页，共38页，编辑于2022年，星期日令令写出参数形式的通解写出参数形式的通解,再改写为向量形式再改写为向量形式:通解通解其中其中为任意实数。为任意实数。37第37页，共38页，编辑于2022年，星期日思考思考 利用矩阵解线性齐次方程组的步骤利用矩阵解线性齐次方程组的步骤.祥见教材第祥见教材第14页页.练习练习 解方程组解方程组作业作业 P16 1(1)(4);2课后思考课后思考 P16 3;438第38页，共38页，编辑于2022年，星期日