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1、矩阵的初等变换与线矩阵的初等变换与线性方程组性方程组第1页 共92页第1页，共90页，编辑于2022年，星期日第2页 共92页一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换第一节第一节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换第2页，共90页，编辑于2022年，星期日第3页 共92页1、引例、引例求解线性方程组：求解线性方程组：一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组第3页，共90页，编辑于2022年，星期日第4页 共92页解：解：1)消元消元第4页，共90页，编辑于2022年，星期日第5页 共92页2)回代回代（4 4个未知数个未知数3 3个方程，无穷解。可取每一行
2、的第个方程，无穷解。可取每一行的第一个未知数为非自由未知数，进行回代）一个未知数为非自由未知数，进行回代）(B4)第5页，共90页，编辑于2022年，星期日第6页 共92页则则（2）解得解得第6页，共90页，编辑于2022年，星期日第7页 共92页方程组的同解变换方程组的同解变换(消元过程消元过程)：1）对换两个方程）对换两个方程3）2）对增广矩阵对增广矩阵 B=(A|b)进行进行相应的三种初等相应的三种初等行行变换变换第7页，共90页，编辑于2022年，星期日第8页 共92页(B4)(B1)行行阶梯形：阶梯形：第8页，共90页，编辑于2022年，星期日第9页 共92页(B4)(B5)行行最简
3、形最简形第9页，共90页，编辑于2022年，星期日第10 共92页对增广矩阵（对增广矩阵（A|b）施行初等行变换，变成行最简形。）施行初等行变换，变成行最简形。方程组的求解注意：注意：初等列变换不能求解方程组，因为列变换是对变初等列变换不能求解方程组，因为列变换是对变元进行变换，并不是方程的同解变换。元进行变换，并不是方程的同解变换。第10页，共90页，编辑于2022年，星期日第11 共92页1）2）3）jikrr+初等变换的逆变换初等变换的逆变换第11页，共90页，编辑于2022年，星期日第12 共92页行等价：行等价：列等价：列等价：等价：等价：性质性质：矩阵的等价关系矩阵的等价关系A B
4、反身性、对称性、传递性反身性、对称性、传递性第12页，共90页，编辑于2022年，星期日第13 共92页标准形标准形：第13页，共90页，编辑于2022年，星期日第14 共92页如：如：第14页，共90页，编辑于2022年，星期日第15 共92页初等矩阵的概念初等矩阵的概念单位矩阵单位矩阵 经一次初等变换得到的经一次初等变换得到的矩阵矩阵1 1、定义、定义2 2、三种初等矩阵、三种初等矩阵三种初等变换三种初等变换 三种初等方阵三种初等方阵第15页，共90页，编辑于2022年，星期日第16 共92页jirr1)|第16页，共90页，编辑于2022年，星期日第17 共92页第17页，共90页，编辑
5、于2022年，星期日第18 共92页第18页，共90页，编辑于2022年，星期日第19 共92页(k 0)2)|第19页，共90页，编辑于2022年，星期日第20 共92页第20页，共90页，编辑于2022年，星期日第21 共92页3）|第21页，共90页，编辑于2022年，星期日第22 共92页第22页，共90页，编辑于2022年，星期日第23 共92页第23页，共90页，编辑于2022年，星期日第24 共92页)(nkjiAE第24页，共90页，编辑于2022年，星期日第25 共92页定理定理1 11）行变换，）行变换，A为为A左乘左乘相应的相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵2）列变换，）列变换
6、，A为为A右乘右乘相应的相应的n阶初等矩阵阶初等矩阵第25页，共90页，编辑于2022年，星期日第26 共92页初等矩阵均可逆，且逆都是同类的初等矩阵：初等矩阵均可逆，且逆都是同类的初等矩阵：初等矩阵的转置仍为初等矩阵；初等矩阵的转置仍为初等矩阵；第26页，共90页，编辑于2022年，星期日第27 共92页解：解：记记 B第27页，共90页，编辑于2022年，星期日第28 共92页定理定理2 2证证:A可逆可逆 存在有限个初等矩阵存在有限个初等矩阵(充分性充分性 )(必要性必要性 )显然显然.第28页，共90页，编辑于2022年，星期日第29 共92页证明：证明：推论推论1 1A可逆可逆A经有
7、限次初等行变换经有限次初等行变换 E可逆矩阵的行最简型为可逆矩阵的行最简型为E第29页，共90页，编辑于2022年，星期日第30 共92页初等行变换初等行变换同理，对方程组若A可逆第30页，共90页，编辑于2022年，星期日第31 共92页（作业）（作业）推论推论2 2第31页，共90页，编辑于2022年，星期日第32 共92页 解解例例 2 2第32页，共90页，编辑于2022年，星期日第33 共92页第33页，共90页，编辑于2022年，星期日第34 共92页例例3 3解：解：第34页，共90页，编辑于2022年，星期日第35 共92页第35页，共90页，编辑于2022年，星期日第36 共
8、92页小结小结1.1.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:第36页，共90页，编辑于2022年，星期日第37 共92页一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法三、矩阵秩的一些结论三、矩阵秩的一些结论第三节第三节 矩阵的秩矩阵的秩第37页，共90页，编辑于2022年，星期日第38 共92页矩阵的秩一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念第38页，共90页，编辑于2022年，星期日第39 共92页1.矩阵的子式矩阵的子式k阶子式阶子式(km,n)：任取任取k行、行、k列交叉得到的列交叉得到的矩阵的行列
9、式矩阵的行列式相应的位置保持不变第39页，共90页，编辑于2022年，星期日第40 共92页2.最高阶非零子式和秩最高阶非零子式和秩A的秩的秩A的最高阶非的最高阶非0子式的阶子式的阶R(A)或或 r(A)第40页，共90页，编辑于2022年，星期日第41 共92页第41页，共90页，编辑于2022年，星期日第42 共92页例例1解解第42页，共90页，编辑于2022年，星期日第43 共92页例例2解解第43页，共90页，编辑于2022年，星期日第44 共92页问题：问题：经过变换矩阵的秩变吗？经过变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法第44页，共90页，编辑于2022年，星期日第4
10、5 共92页1、初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.2、第45页，共90页，编辑于2022年，星期日第46 共92页显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，第46页，共90页，编辑于2022年，星期日第47 共92页例例4解解第47页，共90页，编辑于2022年，星期日第48 共92页A得得第48页，共90页，编辑于2022年，星期日第49 共92页取行阶梯形中的1、2、4列及1、2、3行对应于原矩阵中的行和列，即可得到A的一
11、个最高阶非0子式注：求解最高阶非0子式时，应注意初等变换过程中行、列的对换情况。第49页，共90页，编辑于2022年，星期日第50 共92页例例5 5解解分析：分析：第50页，共90页，编辑于2022年，星期日第51 共92页第51页，共90页，编辑于2022年，星期日第52 共92页1、n阶方阵阶方阵A可逆可逆2三、矩阵秩的一些结论三、矩阵秩的一些结论第52页，共90页，编辑于2022年，星期日第53 共92页3、4、5、Sylverster不等式不等式:第53页，共90页，编辑于2022年，星期日第54 共92页例例1例例2例例3第54页，共90页，编辑于2022年，星期日第55 共92页
12、矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质1.2.3.4.5.6.7.(见下节见下节)8.(见下节见下节)第55页，共90页，编辑于2022年，星期日第56 共92页一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法第四节第四节 线性方程组的解线性方程组的解第56页，共90页，编辑于2022年，星期日第57 共92页线性方程组线性方程组系数矩阵为系数矩阵为线性方程组可记为：线性方程组可记为：相容线性方程组。相容线性方程组。（不）（不）一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件第57页，共90页，编辑于2022年，星期日第58 共92页1)m=n 时
13、时,A是是n阶方阵阶方阵,若若|A|则可用克莱则可用克莱默法则求解默法则求解,或用或用A的逆矩阵表示解的逆矩阵表示解.0,2)对一般的情况如何判定有没有解对一般的情况如何判定有没有解?有解时如何求有解时如何求解解?问题：问题：第58页，共90页，编辑于2022年，星期日第59 共92页1、非齐次线性方程组、非齐次线性方程组推：若方程组的个数小于变元的个数，则不可推：若方程组的个数小于变元的个数，则不可能有唯一解。能有唯一解。则方程组：1）无 解2）唯一解3）无穷解第59页，共90页，编辑于2022年，星期日第60 共92页证：（充分性）证：（充分性）第60页，共90页，编辑于2022年，星期日
14、第61 共92页第61页，共90页，编辑于2022年，星期日第62 共92页Onn个m-n个第62页，共90页，编辑于2022年，星期日第63 共92页第63页，共90页，编辑于2022年，星期日第64 共92页第64页，共90页，编辑于2022年，星期日第65 共92页方程组的通解，自由度为方程组的通解，自由度为n-r，r越小，解的自由度越越小，解的自由度越大大第65页，共90页，编辑于2022年，星期日第66 共92页2、齐次方程方程组、齐次方程方程组第66页，共90页，编辑于2022年，星期日第67 共92页齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，系数矩阵化成行最简形矩阵
15、，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；3、求解线性方程组步骤、求解线性方程组步骤:第67页，共90页，编辑于2022年，星期日第68 共92页例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法第68页，共90页，编辑于2022年，星期日第69 共92页第69页，共90页，编辑于2022年，星期日第70 共92页例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方
16、程组解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，故方程组无解故方程组无解第70页，共90页，编辑于2022年，星期日第71 共92页例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换第71页，共90页，编辑于2022年，星期日第72 共92页故方程组有解，且有无穷解故方程组有解，且有无穷解第72页，共90页，编辑于2022年，星期日第73 共92页例例 第73页，共90页，编辑于2022年，星期日第74 共92页例例 设有线性方程组设有线性方程组解解第74页，共90页，编辑于2022年，星期日第75 共92页第75页，共90页，编辑
17、于2022年，星期日第76 共92页其通解为其通解为第76页，共90页，编辑于2022年，星期日第77 共92页这时又分两种情形：这时又分两种情形：第77页，共90页，编辑于2022年，星期日第78 共92页第78页，共90页，编辑于2022年，星期日第79 共92页解二解二:由于由于方程个数等于未知数个数方程个数等于未知数个数可考虑用下面的方法可考虑用下面的方法:第79页，共90页，编辑于2022年，星期日第80 共92页第80页，共90页，编辑于2022年，星期日第81 共92页第81页，共90页，编辑于2022年，星期日第82 共92页第82页，共90页，编辑于2022年，星期日第83
18、共92页三、推广到矩阵方程三、推广到矩阵方程Th7 AX=B 有解有解 R(A)=R(A,B).证：将证：将X X，B B 按列分块，得按列分块，得第83页，共90页，编辑于2022年，星期日第84 共92页（充分性）（充分性）R(A)=R(A,B)R(A)=R(A,B)第84页，共90页，编辑于2022年，星期日第85 共92页（必要性）（必要性）AX AXB B 有解有解第85页，共90页，编辑于2022年，星期日第86 共92页Th9第86页，共90页，编辑于2022年，星期日第87 共92页非齐次线性方程组非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=三、小结三、小结第87页，共90页，编辑于2022年，星期日第88 共92页思考题思考题第88页，共90页，编辑于2022年，星期日第89 共92页答答答答相等相等.即即由此可知由此可知思考题解答思考题解答第89页，共90页，编辑于2022年，星期日第90 共92页6、第90页，共90页，编辑于2022年，星期日