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1、第1讲行列式第1页，共52页，编辑于2022年，星期一2.会利用行列式的性质和行列式按行会利用行列式的性质和行列式按行(列列)展开定理计算行列式展开定理计算行列式.1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质了解行列式的概念，掌握行列式的性质.一、要求一、要求二、主要内容二、主要内容1.排列的逆序数、奇偶排列、对换的定义及逆序数的计算法排列的逆序数、奇偶排列、对换的定义及逆序数的计算法.2.n 阶行列式的定义阶行列式的定义第2页，共52页，编辑于2022年，星期一称为称为 n 阶行列式阶行列式.即即表示所有取自不同行不同列的表示所有取自不同行不同列的n个元素乘积个元素乘积的代数和，的代数和，各项的符
2、号由排列各项的符号由排列的奇偶性决定，的奇偶性决定，奇负偶正，奇负偶正，第3页，共52页，编辑于2022年，星期一1)1)行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.2)2)互换行列式的两行（互换行列式的两行（列列）,行列式变号行列式变号.则此行列式为零则此行列式为零.若行列式有两行若行列式有两行（列列）完全相同，）完全相同，3)3)行列式的某一行（行列式的某一行（列列）中所有的元素都乘以同一）中所有的元素都乘以同一数数 k,等于用数等于用数 k 乘此行列式乘此行列式.3.行列式的性质行列式的性质(即某一行即某一行(列列)可提取公因数可提取公因数)若行列式有两行（若行列式有两行（列列
3、）元素对应成比例，）元素对应成比例，则此行列式为零则此行列式为零.第第i 行行 与与 j 行行 互换，互换，(列列)()(列列)第4页，共52页，编辑于2022年，星期一式式可拆成可拆成两个行列式之和两个行列式之和，4)4)若行列式的某一行若行列式的某一行(列列)的元素都是两数之和，的元素都是两数之和，5)5)把行列式的某一行（把行列式的某一行（列列）的各元素乘以同一数加到另一）的各元素乘以同一数加到另一(列列)对应的元素上去，对应的元素上去，行列式不变行列式不变这两个行列式的这一行这两个行列式的这一行(列列)的的 元素分别为对应的两个加数之一，元素分别为对应的两个加数之一，则则该行列该行列其
4、余各行其余各行(列列)的元素的元素与原行列式相同与原行列式相同.第5页，共52页，编辑于2022年，星期一4.4.行列式按行行列式按行(列列)展开定理展开定理余子式与代数余子式的定义：余子式与代数余子式的定义：行列式按行（列）展开定理：行列式按行（列）展开定理：的各元素与其对应的代数余子式乘积之和的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.行列式行列式等于等于它的它的任任一行（一行（列列）即即第6页，共52页，编辑于2022年，星期一第7页，共52页，编辑于2022年，星期一且且元素的余子式或代数余子式元素的余子式或代数余子式只与只与元素的位置元素的位置有关，有关，与与该元素的值该元素的值无关无关.
5、行列式的每个元素分别对应着行列式的每个元素分别对应着一个余子式一个余子式和和一个代数余子式一个代数余子式.行列式行列式任一行任一行（列）（列）的元素的元素与与另一行另一行（列）（列）的的对应元素的代数余子式对应元素的代数余子式乘积之和等于零，乘积之和等于零，即即或或说明：说明：第8页，共52页，编辑于2022年，星期一5.5.主要公式及结论主要公式及结论1)1)第9页，共52页，编辑于2022年，星期一2)第10页，共52页，编辑于2022年，星期一3)4)范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式第11页，共52页，编辑于2022年，星期一5)5)方阵的行列式方阵的行列式设设 A 与
6、与 B 是是 n 阶方阵，阶方阵，第12页，共52页，编辑于2022年，星期一三、典型例题分析三、典型例题分析计算行列式，计算行列式，或利用性质化为上或利用性质化为上(下下)三角形行列式等三角形行列式等已知结果的行列式求，已知结果的行列式求，或用行或用行(列列)展开定理求展开定理求.特别二阶或三阶行列式可对角线法求特别二阶或三阶行列式可对角线法求.或利用定义求，或利用定义求，第13页，共52页，编辑于2022年，星期一利用行列式的性质进行计算利用行列式的性质进行计算，常用：，常用：(1)其余其余各行各行(列列)加到加到同一行同一行(列列)上去，上去，(2)(2)其余其余各行各行(列列)加或减加
7、或减同一行同一行(列列)的倍数，将行列式的倍数，将行列式化简化简(3)(3)逐行逐行(列列)相加减或相加减或逐行逐行(列列)的倍数相加减的倍数相加减，化简化简行列式；行列式；(4)(4)把行列式把行列式拆成拆成几个行列式的和（差）几个行列式的和（差）.适用于适用于各列各列(行行)诸元素之和相等诸元素之和相等的情形；的情形；或或化为上（下）三角形行列式化为上（下）三角形行列式；适用于适用于相邻相邻行行(列列)诸元素大小比较接近诸元素大小比较接近的情形；的情形；(此种情况要注意先后顺序此种情况要注意先后顺序)第14页，共52页，编辑于2022年，星期一解法解法1：例例1.计算行列式计算行列式.1.
8、1.数字型行列式数字型行列式第15页，共52页，编辑于2022年，星期一解法解法2：直接按某一行直接按某一行(列列)展开，再计算展开，再计算4 4个三阶行列式个三阶行列式.解法解法3：第16页，共52页，编辑于2022年，星期一例例2 2 计算计算 n 阶行列式阶行列式解解:此行列式的特点是：此行列式的特点是：各行各行(列列)元素之和相等元素之和相等.第17页，共52页，编辑于2022年，星期一第18页，共52页，编辑于2022年，星期一特点：特点：解：例例3.3.计算计算其余行与第一行比其余行与第一行比仅主对角线元素不同仅主对角线元素不同或或其余列减第一列的倍数，得下三角形行列式其余列减第一
9、列的倍数，得下三角形行列式.第19页，共52页，编辑于2022年，星期一例例4.4.解法解法1：箭形行列式箭形行列式此行列式的特点是：此行列式的特点是：其余行与第一行比仅其余行与第一行比仅第一第一及及主对角线上主对角线上的元素不同的元素不同.第20页，共52页，编辑于2022年，星期一第21页，共52页，编辑于2022年，星期一解法解法2：加边法第22页，共52页，编辑于2022年，星期一第23页，共52页，编辑于2022年，星期一例例5.5.计算计算特点：特点：相邻的行相邻的行(列列)元素较接近元素较接近第24页，共52页，编辑于2022年，星期一第25页，共52页，编辑于2022年，星期一
10、解法解法2：第26页，共52页，编辑于2022年，星期一第27页，共52页，编辑于2022年，星期一例例6.6.计算计算特点：特点：除最后一行外，相邻的行除最后一行外，相邻的行(列列)的元素较接近的元素较接近第28页，共52页，编辑于2022年，星期一 第29页，共52页，编辑于2022年，星期一 法二：法二：第30页，共52页，编辑于2022年，星期一 法三：法三：按第一行展开，用递推法按第一行展开，用递推法法法4：用数学归纳法用数学归纳法.第31页，共52页，编辑于2022年，星期一若按最后一行展开，若按最后一行展开，如：如：第32页，共52页，编辑于2022年，星期一第33页，共52页，
11、编辑于2022年，星期一例例7.7.证明：证明：证法一：证法一：(08,1,计算计算题中一问题中一问)(用归纳法用归纳法)（三对角行列式）（三对角行列式）第35页，共52页，编辑于2022年，星期一第36页，共52页，编辑于2022年，星期一证法二：证法二：(用递推法用递推法)第37页，共52页，编辑于2022年，星期一证法三：证法三：(化为上三角形化为上三角形)第38页，共52页，编辑于2022年，星期一第39页，共52页，编辑于2022年，星期一例例7.7.求求解：解：已知已知第40页，共52页，编辑于2022年，星期一例例8.8.解：解：2.2.抽象行列式抽象行列式第41页，共52页，编
12、辑于2022年，星期一已知已知 A 为为3 3阶矩阵，且阶矩阵，且则则分析：分析：第42页，共52页，编辑于2022年，星期一(05,1,4,04)分析：分析：法法1：第43页，共52页，编辑于2022年，星期一法法2：第44页，共52页，编辑于2022年，星期一(04,1,2,04)分析：分析：第45页，共52页，编辑于2022年，星期一(10,2,04)分析：分析：第46页，共52页，编辑于2022年，星期一的第n列元素的代数余子式之和 计算n阶行列式 例例9.9.解：解：3.3.关于代数余子式关于代数余子式第47页，共52页，编辑于2022年，星期一第48页，共52页，编辑于2022年，星期一已知则第49页，共52页，编辑于2022年，星期一已知已知则则分析：分析：第50页，共52页，编辑于2022年，星期一例例10.10.计算计算的所有元素的代数的所有元素的代数余子式之和余子式之和.分析：分析：直接计算较繁，直接计算较繁，行列式的所有元素的代数余子式，行列式的所有元素的代数余子式，即方阵即方阵A 的伴随阵的伴随阵的所有元素的所有元素.第51页，共52页，编辑于2022年，星期一的所有元素的代数余子式之和为：的所有元素的代数余子式之和为：第52页，共52页，编辑于2022年，星期一