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1、第1页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.1 5.1 弯曲的概念弯曲的概念1）弯曲：当作用在直杆上的外力或外力偶的矢量与杆轴线垂直时，直杆的轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。第2页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.1 5.1 弯曲的概念弯曲的概念MMMM横截面横截面中性层中性层中性轴中性轴zyx第3页，共42页，编辑于2022年，星期一
2、College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.1 5.1 弯曲的概念弯曲的概念起重机大梁第4页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.1 5.1 弯曲的概念弯曲的概念车削工件第5页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.1 5.1 弯曲的概念弯曲的概念2）梁：以弯曲为主
3、要变形的杆件。第6页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.2 5.2 梁的载荷与支座的简化梁的载荷与支座的简化1）外载荷的简化 分布载荷 集中载荷 集中力偶F1Mq(x)q第7页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.2 5.2 梁的载荷与支座的简化梁的载荷与支座的简化2）常见支座的简化 活动铰支座 固定铰支座 固定端第8页，共42页，编辑于202
4、2年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.2 5.2 梁的载荷与支座的简化梁的载荷与支座的简化3）静定梁的基本形式简支梁 外伸梁 悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA第9页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.3 5.3 平面弯曲的内力方程及内力图平面弯曲的内力方程及内力图1）梁的内力确定（截面法）CFC第10页，共42页，编辑于2022年，星期一Co
5、llege of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.3 5.3 平面弯曲的内力方程及内力图平面弯曲的内力方程及内力图2）内力分量符号规定剪力：剪力：平行于横截面的内力平行于横截面的内力符号规定：符号规定：MMMMFSFSFSFS 弯矩：弯矩：绕截面转动的内力绕截面转动的内力符号规定：符号规定：剪力为正剪力为正剪力为负剪力为负弯矩为正弯矩为正弯矩为负弯矩为负第11页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University例
6、1 梁的受载情况对于中央截面为反对称，设P=qa/2,QC 和 MC分别表示梁中央截面上的剪力和弯矩，则下列结论中哪个是正确的？正确答案：正确答案：DaaaaqACBPPq(A)QC0;MC 0(B)QC0;MC=0(C)QC=0;MC 0(D)QC=0;MC=05.3 5.3 平面弯曲的内力方程及内力图平面弯曲的内力方程及内力图第12页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.3 5.3 平面弯曲的内力方程及内力图平面弯曲的内力方程及内力图例例2 2 如图所示简支梁，试求
7、如图所示简支梁，试求1 11 1及及C左右截面上的内力。左右截面上的内力。解：解：1.1.求支座反力求支座反力得得2.2.求截面求截面1 11 1上的内力上的内力第13页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.3 5.3 平面弯曲的内力方程及内力图平面弯曲的内力方程及内力图同理同理,对于对于C C左左截面：截面：对于对于C C右右截面：截面：在集中力作用处，左右截面上剪力发生突变，突变值为该集中力的大小；在集中力作用处，左右截面上剪力发生突变，突变值为该集中力的大小；而弯
8、矩保持不变。而弯矩保持不变。负号表示假设方向与实际方向相反。负号表示假设方向与实际方向相反。第14页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.3 5.3 平面弯曲的内力方程及内力图平面弯曲的内力方程及内力图例例3 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1-1与与2-2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解：1、求支反力、求支反力第15页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Qua
9、lity and Technology Supervision,Hebei University5.3 5.3 平面弯曲的内力方程及内力图平面弯曲的内力方程及内力图2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力3、计算、计算2-2截面的内力截面的内力FBq=12kN/mF=8kNFA 建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设，这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩正负号也作同样判断。第16页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.
10、3 5.3 平面弯曲的内力方程及内力图平面弯曲的内力方程及内力图3）剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力、弯矩方程：剪力、弯矩方程：剪力、弯矩图：剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。第17页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.3 5.3 平面弯曲的内力方程及内力图平面弯曲的内力方程及内力图例例1 作图示悬臂梁作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。的剪力图
11、和弯矩图。xFSFFlMFlAB第18页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.3 5.3 平面弯曲的内力方程及内力图平面弯曲的内力方程及内力图例例2 试画出如图示简支梁试画出如图示简支梁AB的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。解：解：1.1.求支反力，由求支反力，由得得2.2.列剪力、弯矩方程列剪力、弯矩方程在在AC段内，段内，在在BC段内，段内，第19页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Superv
12、ision,Hebei University5.3 5.3 平面弯曲的内力方程及内力图平面弯曲的内力方程及内力图集中力作用处剪力图有突变，变化值等集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小；弯矩图上无突变，但于集中力的大小；弯矩图上无突变，但斜率发生突变，折角点。斜率发生突变，折角点。在某一段上若无载荷作用，剪力图为一在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。水平线，弯矩图为一斜直线。第20页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.3 5.3 平面
13、弯曲的内力方程及内力图平面弯曲的内力方程及内力图BAlF FAYAYq qF FBYBY解：解：1 1确定约束力确定约束力FAy FBy ql/22 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程yxCxFSxMx例例3 简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。图和弯矩图。第21页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.3 5.3 平面弯曲的内力方程及内力图平面弯曲的内力方程及内力图v集中力作用处剪力图有
14、突变，变化值等于集中力的大小集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小;弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。v在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。线。v在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩物线。且弯矩M最大值发生于最大值发生于FS=0处。处。v在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小而剪力图
15、无改变。的大小而剪力图无改变。总结第22页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.4 5.4 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系1）剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系 规定q(x)向上为正，向下为负。所有外力与坐标轴一致为正，外力偶以逆时针方向为正。第23页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.4 5.4 载荷集度、剪力
16、和弯矩间的微分关系载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系第24页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.4 5.4 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系载荷集度、剪力和弯矩关系：1.q0，Fs=常数，剪力图为直线；M(x)为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q常数，Fs(x)为 x 的一次函数，剪力图为斜直线；M(x)为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（q 0），抛物线呈凹形；分布载荷向上（q 0），抛物线呈凸形。3.剪力Fs=0处
17、，弯矩取极值。4.集中力作用处，剪力图突变；集中力偶作用处，弯矩图突变第25页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.4 5.4 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系例例1 外伸梁外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的承受荷载如图所示，作该梁的FSM图。图。解：解：1、求支反力、求支反力2、判断各段、判断各段FS、M图形状：图形状：CA和和DB段：段：q=0，FS图为水平线，图为水平线，M图为斜直线。图为斜直线。AD段：段：q0，FS 图为向下斜
18、直图为向下斜直线，线，M图为上凸抛物线。图为上凸抛物线。DABC3、先确定各分段点的、先确定各分段点的FS、M值，用相应形状的线条连接。值，用相应形状的线条连接。FS+_3(kN)4.23.8Ex=2.1mM(kNm)3.81.4132.2_+FAFB第26页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.4 5.4 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系2）各种荷载下剪力图与弯矩图的形态一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在截面的可能位
19、置q0向下的均布荷载无荷载集中力FC集中力偶mC上凸的二次抛物线在FS=0的截面一般斜直线或在C处有突变F在C处有尖角或在剪力突变的截面在C处无变化C在C处有突变m在紧靠C的某一侧截面向右下倾斜的直线水平直线第27页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.4 5.4 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系（-）（+）F FAyAy0.89 kN 0.89 kN F FByBy1.11 kN 1.11 kN FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY
20、1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11例例2 作图示梁的作图示梁的FSM图。图。（-）（-）M（kN.m）1.3300.3301.665解：解：1 1、确定约束力、确定约束力第28页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.4 5.4 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系解：解：1 1、确定约束力、确定约束力qaqBAD Da a4 4a aC例例3 作图示梁的作图示梁的FSM图。图。（+）（-）（+）OFSxOMxFByFAy第29页
21、，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.5 5.5 用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理：由几个外力共同作用时所引起的某一参数：由几个外力共同作用时所引起的某一参数：由几个外力共同作用时所引起的某一参数：由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力，应力，位移），就等于每个外力单独作用时所（内力，应力，位移），就等于每个外力单独作用时所（内力，应力，位移），就等于每个外力单独作用时所（内力，应力，位移），就等于每个外力单独作用时所引起的该参数值的
22、代数和。引起的该参数值的代数和。引起的该参数值的代数和。引起的该参数值的代数和。qxlAm例题例题例题例题1 1 试按叠加原理作图试按叠加原理作图试按叠加原理作图试按叠加原理作图 所示简支梁的弯矩图，所示简支梁的弯矩图，所示简支梁的弯矩图，所示简支梁的弯矩图，求梁的极值弯矩和最大弯矩。求梁的极值弯矩和最大弯矩。求梁的极值弯矩和最大弯矩。求梁的极值弯矩和最大弯矩。第30页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei Universitym+mqlAqxlABmlABBm+将梁上的荷载分开，作出弯矩图。叠
23、加时，将其画在将梁上的荷载分开，作出弯矩图。叠加时，将其画在x轴的同一侧，图轴的同一侧，图中阴影部分即代表叠加后的弯矩图。中阴影部分即代表叠加后的弯矩图。5.5 5.5 用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图第31页，共42页，编辑于2022年，星期一+m+(1)将其改画为以直线为基线的将其改画为以直线为基线的图，即得同常形式的弯矩图。图，即得同常形式的弯矩图。由平衡方程由平衡方程 mB=0 求得求得令令 Q(x)=0,即可求得极值弯矩即可求得极值弯矩所在截面到支座所在截面到支座 A 的距离的距离 x0极值弯矩为极值弯矩为qxlAm第32页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Q
24、uality and Technology Supervision,Hebei University全梁中的最大弯矩在全梁中的最大弯矩在A端截面端截面上，且上，且从而看到，梁的极值弯矩不一从而看到，梁的极值弯矩不一定就是全梁中的最大弯矩定就是全梁中的最大弯矩。+m+(1)qxlAm5.5 5.5 用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图第33页，共42页，编辑于2022年，星期一aBCP2P3aaaDEP1A(a)例题例题2 图a 示一外伸梁，a=425mm,P1、P2、P3分别为685KN，575KN，506KN。试按叠加原理作此梁弯矩图，求梁的最大弯矩。a2aP1ADBE(b)CP2ADBEaa(
25、C)2aaADBP3E(d)解：解：将梁上荷载分开（图b,c,d),分别作出每一个力单独作用下梁的弯矩图（图f,g,h)。第34页，共42页，编辑于2022年，星期一2aaADBP3ECP2ADBEaaa2aP1ADBE291(f)+122(g)215(h)绘出叠加后的弯矩图如图绘出叠加后的弯矩图如图 e 所示所示。第35页，共42页，编辑于2022年，星期一2aaADBP3aBCP2P3aaaDEP1A291131215(e)a2aP1ADBE291(f)CP2ADBEaa+122(g)215(h)第36页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Te
26、chnology Supervision,Hebei University5.6 5.6 平面刚架与曲杆的内力平面刚架与曲杆的内力1）平面刚架平面刚架的内力平面刚架的内力：剪力，弯矩，轴力剪力，弯矩，轴力剪力，弯矩，轴力剪力，弯矩，轴力弯矩图：弯矩图：弯矩图：弯矩图：画在各杆的受压一側，不注明正、负号。画在各杆的受压一側，不注明正、负号。剪力和轴力图：剪力和轴力图：剪力和轴力图：剪力和轴力图：可画在刚架轴线的任一側（通常正值画在可画在刚架轴线的任一側（通常正值画在 刚架的外側）。注明正、负号。刚架的外側）。注明正、负号。ABC 平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，平面刚架是由在同一平面内
27、，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连结而组成的结构。通过杆端相互刚性连结而组成的结构。第37页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.6 5.6 平面刚架与曲杆的内力平面刚架与曲杆的内力解：将刚架分为解：将刚架分为 CB，AB两段两段CB段：段：N(x)=0Q(x)=P1M(x)=-P1x (0 x a)xCQ(x)M(x)alxP1P2ABCx1例题例题1 图图 a 所示为下端固定的刚架。在其轴线平面内受集中力所示为下端固定的刚架。在其轴线平面内受集中力 P1 和和 P
28、2 作用，作此刚架的内力图作用，作此刚架的内力图。第38页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.6 5.6 平面刚架与曲杆的内力平面刚架与曲杆的内力CBaBA段段：N(x1)=-P1Q(x1)=P2M(x1)=-P1a-P2 x1 (0 x l)alxP1P2ABCx1第39页，共42页，编辑于2022年，星期一5.6 5.6 平面刚架与曲杆的内力平面刚架与曲杆的内力P1N图图+P1P2Q图图P1aP1aP2lP1a+M图图CB段：N(x)=0 ,Q(x)=P1 ,M(
29、x)=-P1x (0 x a)BA段：N(x1)=-P1 ,Q(x1)=P2,M(x1)=-P1a-P2 x1 (0 x l)P1CalxP2ABx1第40页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.6 5.6 平面刚架与曲杆的内力平面刚架与曲杆的内力2）平面曲杆平面曲杆：轴线为平面内曲线的杆件结构。内力符号和内力图画法约定：轴力：拉伸为正，可画在曲杆轴线的任一侧（通常正值画在曲杆外侧），但须注明正负号；剪力：以所考虑的一段曲杆内任一点取矩，顺时针为正，可画在曲杆轴线的任一侧（通常正值画在曲杆外侧），但须注明正负号；弯矩：使轴线曲率增加一侧的弯矩为正，画在曲杆受压一侧，不注明正、负号；第41页，共42页，编辑于2022年，星期一College of Quality and Technology Supervision,Hebei University5.6 5.6 平面刚架与曲杆的内力平面刚架与曲杆的内力解：写出曲杆的内力方程解：写出曲杆的内力方程例1 作出该曲杆的内力图。第42页，共42页，编辑于2022年，星期一