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1、12021 年中考数学真题分项汇编【全国通用】(第 01 期)专题专题 3131 规律探究题规律探究题一、单选题一、单选题1 1(2021(2021湖北鄂州市湖北鄂州市中考真题中考真题)已知已知1a为实数为实数规定运算规定运算:2111aa,3211aa,4311aa,5411aa,111nnaa 按上述方法计算按上述方法计算:当当13a 时时,2021a的值等于的值等于()A A23B B13C C12D D23【答案答案】D【分析】当13a 时,计算出23421,3,32aaa,会发现呈周期性出现,即可得到2021a的值【详解】解:当13a 时,计算出23421,3,32aaa,会发现是以
2、:213,32,循环出现的规律,20213 6732,2021223aa,故选:D【点睛】本题考查了实数运算规律的问题,解题的关键是:通过条件,先计算出部分数的值,从中找到相应的规律,利用其规律来解答2 2(2021(2021湖北中考真题湖北中考真题)将从将从 1 1 开始的连续奇数按如图所示的规律排列开始的连续奇数按如图所示的规律排列,例如例如,位于第位于第 4 4 行第行第 3 3 列的数为列的数为27,27,则位于第则位于第 3232 行第行第 1313 列的数是列的数是()2A A20252025B B20232023C C20212021D D20192019【答案答案】B【分析】根
3、据数字的变化关系发现规律第n行,第n列的数据为:2n(n-1)+1,即可得第 32 行,第 32 列的数据为:232(32-1)+1=1985,再依次加 2,到第 32 行,第 13 列的数据,即可【详解】解:观察数字的变化,发现规律:第n行,第n列的数据为:2n(n-1)+1,第 32 行,第 32 列的数据为:232(32-1)+1=1985,根据数据的排列规律,第偶数行从右往左的数据一次增加 2,第 32 行,第 13 列的数据为:1985+2(32-13)=2023,故选:B【点睛】本题考查了数字的变化类,解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律,利用规律解决问题3 3(2021(2
4、021山东济宁市山东济宁市中考真题中考真题)按规律排列的一组数据按规律排列的一组数据:12,35,717,926,1137,其中其中内应填的内应填的数是数是()A A23B B511C C59D D12【答案答案】D【分析】分子为连续奇数,分母为序号的平方1,根据规律即可得到答案【详解】观察这排数据发现,分子为连续奇数,分母为序号的平方1,第n个数据为:2211nn3当3n 时W的分子为5,分母为23110 这个数为51102故选:D【点睛】本题考查了数字的探索规律,分子和分母分别寻找规律是解题关键4 4(2021(2021湖北中考真题湖北中考真题)根据图中数字的规律根据图中数字的规律,若第若
5、第n个图中的个图中的143q,则则p的值为的值为()A A100100B B121121C C144144D D169169【答案答案】B【分析】分别分析n的规律、p的规律、q的规律,再找n、p、q之间的联系即可【详解】解:根据图中数据可知:1,2,3,4n，22221,2,3,4,p 222221,31,41,51,q 则2pn,2(1)1qn,第n个图中的143q,2(1)1=143qn,解得:11n 或13n (不符合题意,舍去)2=121pn,故选:B【点睛】4本题主要考查数字之间规律问题,将题中数据分组讨论是解决本题的关键5 5(2021(2021山东临沂市山东临沂市中考真题中考真题
6、)实验证实实验证实,放射性物质在放出射线后放射性物质在放出射线后,质量将减少质量将减少,减少的速度开始较快减少的速度开始较快,后后来较慢来较慢,实际上实际上,物质所剩的质量与时间成某种函数关系下图为表示镭的放射规律的函数图象物质所剩的质量与时间成某种函数关系下图为表示镭的放射规律的函数图象,据此可计据此可计算算 32mg32mg 镭缩减为镭缩减为 1mg1mg 所用的时间大约是所用的时间大约是()A A48604860 年年B B64806480 年年C C81008100 年年D D97209720 年年【答案答案】C【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律,可得答案【详解】解:由图可知:16
7、20 年时,镭质量缩减为原来的12,再经过 1620 年,即当 3240 年时,镭质量缩减为原来的21142,再经过 16202=3240 年,即当 4860 年时,镭质量缩减为原来的31182,.,再经过 16204=6480 年,即当 8100 年时,镭质量缩减为原来的511232,此时132132mg,故选 C【点睛】本题考查了函数图象,规律型问题,利用函数图象的意义是解题关键56 6(2021(2021四川达州市四川达州市中考真题中考真题)在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,等边等边AOB如图放置如图放置,点点A的坐标为的坐标为1,0,每一每一次将次将AOB绕着点绕着点逆时针方向旋转
8、逆时针方向旋转60,同时每边扩大为原来的同时每边扩大为原来的 2 2 倍倍,第一次旋转后得到第一次旋转后得到11AOB,第二次第二次旋转后得到旋转后得到22A OB,依次类推依次类推,则点则点2021A的坐标为的坐标为()A A202020202,32B B202120212,32C C202020202,32D D201120212,32【答案答案】C【分析】由题意,点 A 每 6 次绕原点循环一周,利用每边扩大为原来的 2 倍即可解决问题【详解】解:由题意,点 A 每 6 次绕原点循环一周,20216371.5,2021A点在第四象限,202120212OA,202160 xOA,点202
9、0A的横坐标为20212020122=2,纵坐标为20212020=32322,2020202020212,32A,故选:C【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转,规律型问题,解题的关键是理解题意,学会探究规律的方法,属于中考常考题型67 7(2021(2021广西玉林市广西玉林市中考真题中考真题)观察下列树枝分杈的规律图观察下列树枝分杈的规律图,若第若第n个图树枝数用个图树枝数用nY表示表示,则则94YY()A A415 2B B431 2C C433 2D D463 2【答案答案】B【分析】根据题目中的图形,可以写出前几幅图中树枝分杈的数量,从而可以发现树枝分杈的变化规律,进而得到规律21nn
10、Y,代入规律求解即可【详解】解:由图可得到:11223344211213217211521nnYYYYY 则:9921Y,94494212131 2YY ,故答案选:B【点睛】本题考查图形规律,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答二、填空题二、填空题8 8(2021(2021贵州铜仁市贵州铜仁市中考真题中考真题)观察下列各项观察下列各项:112,124,138,1416,则第则第n项是项是_7【答案答案】12nn【分析】根据已知可得出规律:第一项:1111122,第二项:2112242,第三项:3113382即可得出结果【详解】解:根据题意可知:第一项:1111122,第二项:21
11、12242,第三项:3113382,第四项:41144162,则第n项是12nn;故答案为:12nn【点睛】此题属于数字类规律问题,根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键9 9(2021(2021陕西陕西)幻方幻方,最早源于我国最早源于我国,古人称之为纵横图如图所示的幻方中古人称之为纵横图如图所示的幻方中,各行、各列及各条对角线上各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等的三个数字之和均相等,则图中则图中a a的值为的值为_-1-1-6-61 10 0a a-4-4-5-52 2-3-38【答案答案】-2【分析】先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条对角线上的三个数字之和,再利
12、用第二列三个数之和得到a的值【详解】解:由表第一行可知,各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为1 6 16 ,626a ,2a ,故答案为:2【点睛】本题考查了数字之间的关系,解决本题的关键是读懂题意,正确提取表中数据,找到它们之间的关系等,该题对学生的观察分析能力有一定的要求,同时也考查了学生对有理数的和差计算的基本功1010(2021(2021湖南怀化市湖南怀化市中考真题中考真题)观察等式观察等式:232222,23422222,2345222222,已知按一定规律排列的一组数已知按一定规律排列的一组数:1002,1012,1022,1992,若若1002 m,用用含含m的代数式表示这
13、组数的和是的代数式表示这组数的和是_【答案答案】2mm【分析】根据规律将1002,1012,1022,1992用含m的代数式表示,再计算0199222的和,即可计算1001011011992222的和【详解】由题意规律可得:23991002222221002 m23991000222222=2 mm,22991001012222222,1012399100222222212=2mmmm102239910010122222222+224=2mmmmm910323991001011022222222223248=2mmmmmm1999922 m故10010110110199992222222mmm
14、令012992222S12310022222S-,得10021S 10010110110199992222222mmm=100221 mmm故答案为:2mm【点睛】本题考查规律问题,用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键1111(2021(2021江苏扬州市江苏扬州市中考真题中考真题)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列将黑色圆点按如图所示的规律进行排列,图中黑色圆点的个数依次为图中黑色圆点的个数依次为:1,3,6,10,1,3,6,10,将其中所有能被将其中所有能被 3 3 整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据,则新数据中的第则
15、新数据中的第 3333个数为个数为_【答案答案】1275【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数,得到第n个图形中的黑色圆点的个数为12n n,再判断其中能被 3 整除的数,得到每 3 个数中,都有 2 个能被 3 整除,再计算出第 33 个能被 3 整除的数所在组,为原数列中第 50 个数,代入计算即可【详解】解:第个图形中的黑色圆点的个数为:1,第个图形中的黑色圆点的个数为:1222=3,10第个图形中的黑色圆点的个数为:1332=6,第个图形中的黑色圆点的个数为:1442=10,.第n个图形中的黑色圆点的个数为12n n,则这列数为 1,3,6,10,15,21,28,36
16、,45,55,66,78,91,.,其中每 3 个数中,都有 2 个能被 3 整除,332=16.1,163+2=50,则第 33 个被 3 整除的数为原数列中第 50 个数,即50512=1275,故答案为:1275【点睛】此题考查了规律型:图形的变化类,关键是通过归纳与总结,得到其中的规律1212(2021(2021甘肃武威市甘肃武威市中考真题中考真题)一组按规律排列的代数式一组按规律排列的代数式:2335472,2,2,2ab ab ab ab,则则第第n个式子是个式子是_【答案答案】12112nnnab【分析】根据已知的式子可以看出:每个式子的第一项中a的次数是式子的序号;第二项中b的
17、次数是序号的 2 倍减1,而第二项的符号是第奇数项时是正号,第偶数项时是负号【详解】解:当n为奇数时,111n;当n为偶数时,111n,第n个式子是:12112nnnab 故答案为:12112nnnab 11【点睛】本题考查了多项式的知识点,认真观察式子的规律是解题的关键1313(2021(2021江西中考真题江西中考真题)下表在我国宋朝数学家杨辉下表在我国宋朝数学家杨辉 12611261 年的著作年的著作详解九章算法详解九章算法中提到过中提到过,因而人因而人们把这个表叫做杨辉三角们把这个表叫做杨辉三角,请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的
18、数字是_【答案答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和【详解】解:通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律,例如:第 3 行中的 2,等于它上方两个相邻的数 1,1 相加,即:21 1;第 4 行中的 3,等于它上方两个相邻的数 2,1 相加,即:32 1;由此规律:故空缺数等于它上方两个相邻的数 1,2 相加,即空缺数为:3,故答案是:3【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律,解题的关键是:通过观察找到数与数之间的关系,从来解决问题1414(2021(2021浙江嘉兴市浙江嘉兴市中考真题中考真题)观察下列等式观察下列等式:22110,22321,22532,按此
19、规律按此规律,则第则第n个等式为个等式为21n _【答案答案】221nn12【分析】第一个底数是从 1 开始连续的自然数的平方,减去从 0 开始连续的自然数的平方,与从 1 开始连续的奇数相同,由此规律得出答案即可【详解】解:22110,22321,22532,第n个等式为:22211nnn 故答案是:221nn【点睛】本题考查了数字的变化类,通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题的关键1515(2021(2021黑龙江中考真题黑龙江中考真题)如图如图,3,3 条直线两两相交最多有条直线两两相交最多有 3 3 个交点个交点,4,4 条直线两两相交最多有条直线两两相交最多
20、有 6 6 个交点个交点,按照这样的规律按照这样的规律,则则 2020 条直线两两相交最多有条直线两两相交最多有_个交点个交点【答案答案】190【分析】根据题目中的交点个数,找出n条直线相交最多有的交点个数公式:1(1)2n n【详解】解:2 条直线相交有 1 个交点;3 条直线相交最多有1123322 个交点;4 条直线相交最多有11236432 个交点;135 条直线相交最多有1123410542 个交点;20 条直线相交最多有120 191902故答案为:190【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题,解答此题的关键是找出规律,即n条直线相交最多有1(1)2n n1616(2021(2
21、021四川中考真题四川中考真题)如图如图,用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形,拼第一个图形共需要拼第一个图形共需要 3 3 根火柴棍根火柴棍,拼拼第二个图形共需要第二个图形共需要 5 5 根火柴棍根火柴棍;拼第三个图形共需要拼第三个图形共需要 7 7 根火柴棍根火柴棍;照这样拼图照这样拼图,则第则第n n个图形需要个图形需要_根火柴棍根火柴棍【答案答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍,找到规律,再总结即可【详解】解:由图可知:拼成第一个图形共需要 3 根火柴棍,拼成第二个图形共需要 3+2=5 根火柴棍,拼成第三个图形共需要 3
22、+22=7 根火柴棍,.拼成第n个图形共需要 3+2(n-1)=2n+1 根火柴棍,故答案为:2n+1【点睛】此题考查图形的变化规律,找出图形之间的联系,得出运算规律解决问题1717(2021(2021四川中考真题四川中考真题)如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的,依照此规律排列下去依照此规律排列下去,第第_个个图形共有图形共有 210210 个小球个小球14【答案答案】20【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为 1+2+3+n=12n n,列一元二次方程求解可得【详解】解:第 1 个图形中黑色三角形的个数 1,第 2 个图形中黑色三
23、角形的个数 3=1+2,第 3 个图形中黑色三角形的个数 6=1+2+3,第 4 个图形中黑色三角形的个数 10=1+2+3+4,第n个图形中黑色三角形的个数为 1+2+3+4+5+n=12n n,当共有 210 个小球时,12102n n,解得:20n 或21(不合题意,舍去),第20个图形共有 210 个小球故答案为:20【点睛】本题考查了图形的变化规律,解一元二次方程,解题的关键是得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+n1818(2021(2021湖南常德市湖南常德市中考真题中考真题)如图中的三个图形都是边长为如图中的三个图形都是边长为 1 1 的小正方形组成的网格的小正方形组成
24、的网格,其中第一个其中第一个图形有图形有1 1个正方形个正方形,所有线段的和为所有线段的和为 4,4,第二个图形有第二个图形有22个小正方形个小正方形,所有线段的和为所有线段的和为 12,12,第三个图形有第三个图形有3 3个小正方形个小正方形,所有线段的和为所有线段的和为 24,24,按此规律按此规律,则第则第n n个网格所有线段的和为个网格所有线段的和为_(用含用含n n的的代数式表示代数式表示)15【答案答案】2n2+2n【分析】本题要通过第 1、2、3 和 4 个图案找出普遍规律,进而得出第n个图案的规律为Sn=4n+2n(n-1),得出结论即可【详解】解:观察图形可知:第 1 个图案
25、由 1 个小正方形组成,共用的木条根数14 12 2 1,S 第 2 个图案由 4 个小正方形组成,共用的木条根数26 22 3 2,S 第 3 个图案由 9 个小正方形组成,共用的木条根数38 32 4 3,S 第 4 个图案由 16 个小正方形组成,共用的木条根数410 42 5 4,S 由此发现规律是:第n个图案由n2个小正方形组成,共用的木条根数22122,nSnnnnA 故答案为:2n2+2n【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类,熟练找出前四个图形的规律是解题的关键1919(2021(2021贵州毕节市贵州毕节市中考真题中考真题)如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,点点
26、 11,1N在直线在直线:l yx上上,过点过点1N作作11N Ml,交交x轴于点轴于点1M;过点过点1M作作12M Nx轴轴,交直线交直线l于点于点2N;过点过点2N作作22N Ml,交交x轴于点轴于点2M;过点过点2M作作23M Nx轴轴,交直线交直线l于点于点3N;按此作法进行下去按此作法进行下去,则点则点2021M的坐标为的坐标为_16【答案答案】(20212,0).【分析】根据题目所给的解析式,求出对应的1M坐标,然后根据规律求出nM的坐标,最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解:如图,过点N作NMx轴于M将1x 代入直线解析式yx中得1y 1OMMN,MON451ONM 90
27、1ONNM1ONNM11OMMM1M的坐标为(2,0)同理可以求出2M的坐标为(4,0)同理可以求出3M的坐标为(8,0)同理可以求出nM的坐标为(2n,0)2021M的坐标为(20212,0)17故答案为:(20212,0).【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系,解题的关键在于能够发现规律.2020(内蒙古呼伦贝尔内蒙古呼伦贝尔 20212021 年中考数学试卷年中考数学试卷)如图如图,点点1B在直线在直线1:2l yx上上,点点1B的横坐标为的横坐标为 2,2,过点过点1B作作11B Ax轴轴,垂足为垂足为1A,以以11AB为边向右作正方形为边向右作正方形1112ABC A,延长延
28、长21A C交直线交直线l l于点于点2B;以以22A B为为边向右作正方形边向右作正方形2223A B C A,延长延长32AC交直线交直线l l于点于点3B;按照这个规律进行下去按照这个规律进行下去,点点2021B的坐标为的坐标为_【答案答案】202020202019202033(,)22【分析】由题意分别求出A1、A2、A3、A4An、B1、B2、B3、B4Bn、的坐标,根据规律进而可求解【详解】解:点1B在直线1:2l yx上,点1B的横坐标为 2,过点1B作11B Ax轴,垂足为1A,181(2,0)A,1(2,1)B,A1B1=1,根据题意,OA2=2+1=3,2(3,0)A,23
29、(3,)2B,同理,39(,0)2A,39 9(,)2 4B,427(,0)4A,427 27(,)48B由此规律,可得:123(,0)2nnnA,112133(,)22nnnnnB,2021 12021 120212021 22021 133(,)22B即2020202020212019202033(,)22B,故答案为:202020202019202033(,)22【点睛】本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律,理解题意,结合图象和正方形的性质,探索点的坐标规律是解答的关键2121(2021(2021湖北中考真题湖北中考真题)如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,动点
30、动点P P从原点从原点O O出发出发,水平向左平移水平向左平移 1 1 个单位长度个单位长度,再竖直向下平移再竖直向下平移 1 1 个单位长度得到点个单位长度得到点11,1P ;接着水平向右平移接着水平向右平移 2 2 个单位长度个单位长度,再竖直向上平移再竖直向上平移 2 2 个单个单位长度得到点位长度得到点2P;接着水平向左平移接着水平向左平移 3 3 个单位长度个单位长度,再竖直向下平移再竖直向下平移 3 3 个单位长度得到点个单位长度得到点3P;接着水平向右接着水平向右平移平移 4 4 个单位长度个单位长度,再竖直向上平移再竖直向上平移 4 4 个单位长度得到点个单位长度得到点4P,按
31、此作法进行下去按此作法进行下去,则点则点2021P的坐标为的坐标为_19【答案答案】(1011,1011)【分析】先根据点坐标的平移变换规律求出点2345,P P P P的坐标,再归纳类推出一般规律即可得【详解】解:由题意得:2(12,12)P ,即2(1,1)P,3(1 3,1 3)P,即3(2,2)P,4(24,24)P ,即4(2,2)P,5(25,25)P,即5(3,3)P,观察可知,点1P的坐标为(1,1),其中12 1 1,点3P的坐标为(2,2),其中32 2 1,点5P的坐标为(3,3),其中52 3 1,归纳类推得:点21nP的坐标为(,)nn,其中n为正整数,20212 1
32、011 1,点2021P的坐标为(1011,1011),故答案为:(1011,1011)【点睛】本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索,正确归纳类推出一般规律是解题关键2222(2021(2021内蒙古通辽市内蒙古通辽市中考真题中考真题)如图如图,11OABA,122A A BA,233A A B,1nnnAA BA都是斜边在都是斜边在x x轴轴20上的等腰直角三角形上的等腰直角三角形,点点1A,2A,3A,nA都在都在x x轴上轴上,点点1B,2B,3B,nB都在反比例函数都在反比例函数10yxx的图象上的图象上,则点则点nB的坐标为的坐标为_(用含有正整数用含有正整数n n的式子
33、表示的式子表示)【答案答案】1,1nnnn【分析】根据等腰直角三角形的性质,得到1B的横,纵坐标相等,在结合反比例函数解析式求得该点的坐标,再根据等腰三角形的性质和反比例函数的解析式首先求得各个点的坐标,发现其中的规律,从而得到答案【详解】11OB A为等腰三角形直线1OB的解析式为yx由题意得:1yxyx解得1x 111B，12OB1122OAOB12,0A122A A B为等腰三角形设直线12AB的解析式为yxb02b,解得2b 21直线12AB的解析式为2yx21yxyx解得21x 221,21B21222 22BA Ay点2A2 2,0233A A B为等腰三角形设直线23A B的解析
34、式为1yxb102 2b解得12 2b 直线23A B的解析式为2 2yx2 21yxyx解得32x 332,32B综上可得:点 111B，,点221,21B,点332,32B总结规律可得nB坐标为:1,1nnnn故答案为:1,1nnnn【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标,解答本题的关键是找出其中的规律求出坐标222323(2021(2021山东菏泽市山东菏泽市中考真题中考真题)如图如图,一次函数一次函数yx与反比例函数与反比例函数1yx(0 x)的图象交于点的图象交于点A,过过点点A作作ABOA,交交x轴于点轴于点B;作作1/BA OA,交反比例
35、函数图象于点交反比例函数图象于点1A;过点过点1A作作111ABAB交交x轴于轴于点点B;再作再作121/B ABA,交反比例函数图象于点交反比例函数图象于点2A,依次进行下去依次进行下去,则点则点2021A的横坐标为的横坐标为_【答案答案】20222021【分析】由点A是直线yx与双曲线1yx的交点,即可求出点A的坐标,且可知45AOB,又ABAO可知AOB是等腰直角三角形,再结合1BAOA/可知11BAB是等腰直角三角形,同理可知图中所有三角形都是等腰直角三角形,由求2021A的坐标,即nA的坐标(n=1,2,3),故想到过点2021A作20212021ACx轴,即过nA作nnA Cx轴设
36、1A的纵坐标为10m m,则1A的横坐标为2m,再利用点1A在双曲线上即可求解1A坐标,同理可得2021A的坐标【详解】解:过nA作nnA Cx轴于点nC点A是直线yx与双曲线1yx的交点1yxyx解得11xy 1,1A1,45OCACAOC23ABAOAOB是等腰直角三角形22OBAC1BAOA/11BAB是等腰直角三角形111ACBC设1A的纵坐标为10m m,则1A的横坐标为12m点1A在双曲线上1121mm解得121m 设2A的纵坐标为20mm,则2A的横坐标为122222 2mmm222 21mm解得232m 同理可得343m 由以上规律知:1nmnn 202120222021m即2
37、021A的纵坐标为202220212021A的横坐标为12022202120222021故答案是:2022202124【点睛】本题考察一次函数、反比例函数、交点坐标的求法、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用和规律探究,属于综合几何题型,难度偏大解题的关键是结合等腰直角三角形的性质做出辅助线,并在计算过程中找到规律2424(2021(2021山东中考真题山东中考真题)如图如图,点点1B在直线在直线1:2l yx上上,点点1B的横坐标为的横坐标为 2,2,过点过点1B作作1Bl,交交x x轴轴于点于点1A,以以11AB为边为边,向右作正方形向右作正方形1121AB B C,延长延长21B C
38、交交x x轴于点轴于点2A;以以22A B为边为边,向右作正方形向右作正方形2232A B B C,延长延长32B C交交x x轴于点轴于点3A;以以33A B为边为边,向右作正方形向右作正方形3343A B B C,延长的延长的43B C交交x x轴于点轴于点4A;按照这个规律进行下去按照这个规律进行下去,则第则第n n个正方形个正方形1nnnnA B BC的边长为的边长为_(_(结果用含正整数结果用含正整数n n的代数式表的代数式表示示)【答案答案】15322n【分析】根据题中条件,证明所有的直角三角形都相似且确定相似比,再具体算出前几个正方形的边长,然后再找规律得出第n个正方形的边长25
39、【详解】解:点1B在直线1:2l yx上,点1B的横坐标为 2,点1B纵坐标为 1221215,OB分别过1B,14,CC作x轴的垂线,分别交于14,D DD,下图只显示一条;111111190,B DAC DBBODAB D ,111Rt B DORt ADBAA类似证明可得,图上所有直角三角形都相似,有11111211112nnnnC AB DB AC AODOBC AC A,不妨设第 1 个至第n个正方形的边长分别用:12,nl ll来表示,通过计算得:11522OBl,12112353222lllC A,223223353222lllC A 1111353222nnnnnnlllCA
40、26按照这个规律进行下去,则第n个正方形1nnnnA B BC的边长为15322n,故答案是:15322n【点睛】本题考查了三角形相似,解题的关键是:利用条件及三角形相似,先研究好前面几个正方形的边长,再从中去找计算第n个正方形边长的方法与技巧2525(2021(2021湖北中考真题湖北中考真题)如图如图,过反比例函数过反比例函数0,0kykxx图象上的四点图象上的四点1P,2P,3P,4P分别作分别作x轴的垂线轴的垂线,垂足分别为垂足分别为1A,2A,3A,4A,再过再过1P,2P,3P,4P分别作分别作y轴轴,11PA,22P A,33P A的垂线的垂线,构造了构造了四个相邻的矩形若这四个
41、矩形的面积从左到右依次为四个相邻的矩形若这四个矩形的面积从左到右依次为1S,2S,3S,4S,1122334OAA AA AA A,则则1S与与4S的数量关系为的数量关系为_【答案答案】414SS【分析】设1122334OAA AA AA A=m,则O2A=2m,O3A=3m,O4A=4m,由点1P,2P,3P,4P都在反比例函数0,0kykxx图象上,可求得1 1kAPm,222kA Pm,333kA Pm,444kA Pm,根据矩形的面积公式可得1111kOA APkSmm,1222222kkA AA PmmS,2333333kkA AA PmmS,3444444kkA AA PmmS,由
42、此即可得414SS【详解】27设1122334OAA AA AA A=m,则O2A=2m,O3A=3m,O4A=4m,点1P,2P,3P,4P都在反比例函数0,0kykxx图象上,1 1kAPm,222kA Pm,333kA Pm,444kA Pm,1111kOA APkSmm,1222222kkA AA PmmS,2333333kkA AA PmmS,3444444kkA AA PmmS,414SS故答案为:414SS【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征,根据反比例函数图象上点的特征求得1 1kAPm、222kA Pm、333kA Pm、444kA Pm是解决问题的关键2626(202
43、1(2021四川四川)如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,ABy轴轴,垂足为垂足为B,将将ABOA绕点绕点A逆时针旋转到逆时针旋转到11ABOV的位置的位置,使点使点B的对应点的对应点1B落在直线落在直线34yx 上上,再将再将11ABOV绕点绕点1B逆时针旋转到逆时针旋转到112ABOA的的位置位置,使点使点1O的对应点的对应点2O也落在直线也落在直线34yx 上上,以此进行下去以此进行下去若点若点B的坐标为的坐标为0,3,则点则点21B的纵的纵坐标为坐标为_28【答案答案】3875【分析】计算出AOB的各边,根据旋转的性质,求出OB1,B1B3,.,得出规律,求出OB21,再根
44、据一次函数图像上的点求出点B21的纵坐标即可【详解】解:ABy轴,点B(0,3),OB=3,则点A的纵坐标为 3,代入34yx,得:334x,得:x=-4,即A(-4,3),OB=3,AB=4,OA=2234=5,由旋转可知:OB=O1B1=O2B1=O2B2=3,OA=O1A=O2A1=5,AB=AB1=A1B1=A2B2=4,OB1=OA+AB1=4+5=9,B1B3=3+4+5=12,OB21=OB1+B1B21=9+(21-1)212=129,设B21(a,34a),则OB21=2231294aa,解得:5165a 或5165(舍),则335163874455a ,即点B21的纵坐标为
45、3875,故答案为:387529【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,旋转以及直角三角形的性质,求出OAB的各边,计算出OB21的长度是解题的关键2727(2021(2021山东东营市山东东营市中考真题中考真题)如图如图,正方形正方形1ABCB中中,3AB,ABAB与直线与直线l l所夹锐角为所夹锐角为60,延长延长1CB交直线交直线l l于点于点1A,作正方形作正方形1112ABC B,延长延长12C B交直线交直线l l于点于点2A,作正方形作正方形2223A B C B,延长延长23C B交直交直线线l l于点于点3A,作正方形作正方形3334A B C B,依此规律依此规律,则
46、线段则线段20202021AA_【答案答案】202032()3【分析】利用 tan30计算出 30角所对直角边,乘以 2 得到斜边,计算 3 次,找出其中的规律即可.【详解】AB 与直线 l 所夹锐角为60,正方形1ABCB中,3AB,11B AA=30,11B A=1B Atan30=333=1,1 113=2=2()3AA;11B A=1,122B A A=30,3022B A=11B Atan30=33133,2 1123=2()3A A;线段20202021AA2021 12020332()2()33,故答案为:202032()3.【点睛】本题考查了正方形的性质,特殊角三角函数值,含
47、30角的直角三角形的性质,规律思考,熟练进行计算,抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.2828(2021(2021黑龙江中考真题黑龙江中考真题)如图如图,菱形菱形ABCD中中,120ABC,1AB,延长延长CD至至1A,使使1DACD,以以1AC为一边为一边,在在BC的延长线上作菱形的延长线上作菱形111ACC D,连接连接1AA,得到得到1ADA;再延长再延长11C D至至2A,使使1211D AC D,以以21A C为一边为一边,在在1CC的延长线上作菱形的延长线上作菱形2122A C C D,连接连接12A A,得到得到112AD A按此规律按此规律,得到得到20202020202
48、1ADA,记记1ADA的面积为的面积为1S,112AD A的面积为的面积为2S202020202021ADA的面积为的面积为2021S,则则2021S_【答案答案】40382331【分析】由题意易得60,1BCDABADCD,则有1ADA为等边三角形,同理可得112AD A.202020202021ADA都为等边三角形,进而根据等边三角形的面积公式可得134S,23S,由此规律可得243 2nnS,然后问题可求解【详解】解:四边形ABCD是菱形,1ABADCD,/,/AD BC AB CD,120ABC,60BCD,160ADABCD,1DACD,1DAAD,1ADA为等边三角形,同理可得11
49、2AD A.202020202021ADA都为等边三角形,过点B作BECD于点E,如图所示:323sin2BEBCBCD,1121133244AD BEASD,同理可得:22221332344SA D,223323344 344SA D,;由此规律可得:243 2nnS,2 2021 4403820213223S;故答案为403823【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数,熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键2929(2021(2021吉林长春市吉林长春市中考真题中考真题)如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,等腰直角三角形等腰直
50、角三角形AOBAOB的斜边的斜边OAOA在在y y轴上轴上,2OA,点点B B在第一象限标记点在第一象限标记点B B的位置后的位置后,将将AOBA沿沿x x轴正方向平移至轴正方向平移至111AO BA的位置的位置,使使11AO经经过点过点B B,再标记点再标记点1B的位置的位置,继续平移至继续平移至222A O B的位置的位置,使使22A O经过点经过点1B,此时点此时点2B的坐标为的坐标为_33【答案答案】3,1【分析】根据已知条件结合等腰直角三角形的性质先求出点 B 1,1,点1B2,1,即可得出点B向右每次平移1个单位长度,而2B为点 B 向右平移 2 个单位后的点,根据点平移规律即可得