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1、.概率论与数理统计复习题一答案概率论与数理统计复习题一答案一、是非题一、是非题1、对事件A与B,一定成立等式(AB)B A.(错)2、对事件A和B,若P(A)P(B)1,则这两个事件一定不是互不相容的.(对)3、设X1,1n,Xn是来自总体X N(,)的简单样本,则统计量X Xi和ni12(Xi1ni X)2不独立.(错)4、若事件A的概率P(A)0,则该事件一定不发生.(错)1n5、设总体X的期望 E(X)存在,但未知,那么Xi为参数的相合估计量.ni1(对)二、填空题二、填空题6、已知随机事件A和B的概率分别为P(A)0.7和P(B)0.5,且P(B A)0.15,那么,P(B|A)P(A
2、B)P(B)P(B A)0.50.15 0.5P(A)P(A)0.7.27、设随机变量X服从区间1,1上的均匀分布,随机变量Y X,则它们的协方差系数cov(X,Y)E(X)E(Y)E(XY)01;事件Y 1的概率21PY 2121dx 1222.8、甲乙两人独立抛掷一枚均匀硬币各两次,则甲抛出的正面次数不少于乙的概率为1116.9、如果X1,Xn是来自总体X b(1,p)(服从01分布)的简单样本,而x1,pi1n,xn是xin其样本观测值.那么最大似然函数为(1 p)xii1n.三、选择题三、选择题10、随机变量X以概率1取值为零,Y服从b(1,p)(01分布),则正确的是1/5.A .(
3、A)X与Y一定独立 (B)X与Y一定不独立(C)X与Y不相关但不独立 (D)不能确定X与Y的独立性ey,0 x y,11、设随机变量X和Y的联合密度函数f(x,y)则一定有 D .其它.0,ey,y 0,(A)X和Y独立 (B)fY(y)0,y 0.(C)fX(x)1 (D)X和Y不独立12、设总体X N(,2),X1,Xn是简单样本,1n1n1n1n22222X Xi,S1(Xi X),S2(Xi X),S3(Xi)2,ni1ni1n1i1ni11nS(Xi)2.那么服从t(n1)分布的是 B .n1i124(A)XXXX(B)(C)(D)S1nS2nS3nS4n13、设某人罚篮命中率为70
4、%,独立罚篮 100 次,那么罚篮命中总次数用中心极限定理估计的近似分布为 C .(这里,(x)是标准正态分布的分布函数)(A)(x)(B)(x70)(C)x70 x70 (D)2121 14、设连续型随机变量X的密度函数满足f(x)f(x),则对x 0,分布函数F(x)一定有 B .(A)F(x)1x0 x1f(u)du (B)F(x)0f(u)du2(C)F(x)F(x)(D)F(x)2F(x)1四、计算题四、计算题15、已知某地区某种疾病男性的发病率是5%,而女性的发病率是 0.25%.如果该地区男女的人数相同.计算:(1)该地区这种疾病的发病率;(2)如果某人未患这种疾病,那么患者是男
5、性的概率是多大?解(1)以A记事件“抽到的人是男性”;则A为事件“抽到的人是女性”.以B记事件“此人患病”.那么已知条件为:P(A)P(A)0.5,2/5.P(B|A)5%,P(B|A)0.25%.P(B)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)2.63%.(2)P(A|B)P(B|A)P(A)48.8%.1P(B)注:此题题(2)由于会产生二意性,因此按照以下方法计算,得分:P(A|B)P(B|A)P(A)1.P(B)616、设随机变量X与Y的联合概率密度为Ax(1 y),0 x 1,x y 1,f(x,y)其他.0,(1)求系数A的值;(2)求(X,Y)落在区域D(x,y)11 x 1,y
6、 1的概率;22(3)计算边缘概率密度函数fX(x)和fY(y),并判断这两个随机变量是否独立.解 (1)1 f(x,y)dxdy dxAx(1 y)dy 0 x1111A,因此A 24;24(2)P(X,Y)D 242dxx(1 y)dy12x(1 x)dx 112x125;16(3)当x 0或x 1时,fX(x)当0 x 1时,fX(x)f(x,y)dy 0;1f(x,y)dy 24x(1 y)dy 12x(1 x)2,x12x(1 x)2,所以fX(x)0,0 x 1,其他.当y 0或y 1时,fY(y)当0 y 1时,fY(y)24yf(x,y)dx 0;0 x(1 y)dx 12(1
7、 y)y2,12(1 y)y2,所以fY(y)0,0 y 1,其他.因为f(x,y)fX(x)fY(y),所以不独立.17、机器包装食盐,包装的重量服从正态分布X N(,2).要求每袋的标准重量为3/5.1kg,且方差2 0.022.每天设备正式运行时,要做抽样检验,抽取9个样本,得到的数据如下:样本均值x 0.998kg,样本标准差s 0.032.问:(1)在显著性水平 0.05下,就平均重量而言,机器设备是否处于正常工作状态?(2)在显著性水平 0.05下,就方差而言,机器设备是否处于正常工作状态?(3)你认为设备是否处于正常工作状态.(附注:t0.025(8)2.306,t0.025(9
8、)2.262,u0.0251.960,u0.051.645,22220.025(8)17.535,0.025(9)19.023,0.975(8)2.180,0.975(9)2.700,2222(8)2.733,0.95(9)3.325)0.05(8)15.057,0.05(9)16.919,0.95解 (1)原假设H0:1,备选假设H1:1.利用T检验,拒绝域t x 1 t0.025(8)2.306.s9而观测值t 0.9981 0.1875,不在拒绝域.就净重而言,机器工作正常.0.032/3(2)原假设H0:2 0.022,备选假设H1:2 0.022.利用检验,拒绝域22(n1)s220
9、20.05(8)15.057.80.0322而观测值 20.48,在拒绝域.就方差而言,机器工作不正常.0.0222(3)只要有一个检验没有通过,就不能认为机器正常工作.所以机器处于不正常工作状态.18、设总体X的分布律为pk()数.xx!e,x 0,1,2,0,其中为未知参;(1)求参数的矩估计1.(2)求参数的最大似然估计2解 (1)E(X)xx1xx!ex1x(x1)!X.e,所以1(2)对数最大似然函数4/5.nL(;x1,xn)i1nxixi!e ennxii1,ix!i1lnL(;x1,xn)nlnxiln(xi!),i1ni1nnlnL(;x1,xn)nxi 0,即2 x.1i1五、证明题五、证明题19、设口袋中有一个球,可能是白球,也可能是黑球,没有任何信息.现在放入一个白球,然后等可能地任取一个球.证明:如果拿出的是白球时,原来的球也是白球的概率是2.3证明以A记事件“原来的球是白球”,以B记事件“第二次拿出的球是白球”.则要证明的结果是P(A|B)由题意P(A)P(A)因此P(A|B)2.311,P(B|A)1,P(B|A),22P(B|A)P(A)12.P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)11325/5