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1、1高等数学宝典（上篇）公式大全（含微分方程、复变函数）高等数学宝典（上篇）公式大全（含微分方程、复变函数）一.初等数学 一.初等数学 1.三角函数(1)相互联系,1cossin22=+xx,sec1tan22xx=+.csc1cot22xx=+,1cscsin=xx,1seccos=xx.1cottan=xx,tancossinxxx=.cotsincosxxx=奇变偶不变,符号看象限:=+?,3,1,0 )(,4,2,0 )()2(ncofnfnf其中“”号由角)2(+n所处的象限确定.(2)和角公式 ,sincoscossin)sin(=,sinsincoscos)cos(=.tantan
2、1tantan)tan(=(3)积化和差 ),sin()sin(21cossin+=),cos()cos(21coscos+=).cos()cos(21sinsin+=(4)和差化积 ,2cos2sin2sinsin+=+,2sin2cos2sinsin+=,2cos2cos2coscos+=+.2sin2sin2coscos+=(5)降幂公式 ,22cos1sin2=.22cos1cos2+=(6)半角公式 1 cossin22=,1coscos22+=,1 cos1 cossintan21cossin1 cos=+,1 cos1cossincot21 cossin1 cos+=.2.复数(
3、1)代数表示 z=a+bi (2)三角表示 z=r(cos+i sin),其中 r=|a+bi|=22ab+,a=rcos,b=rsin.(3)指数表示 a+bi=rei (欧拉公式:ei=cos+i sin).3.一些常见的曲线(1)圆222ayx=+的参数方程为=,sin,cosayax 极坐标方程为=a(0,2);1 2(2)圆222)(aayx=+的参数方程为+=,sin,costaaytax(t0,2)极坐标方程为=2asin(0,);(3)圆222)(ayax=+的参数方程为=+=,sin,costaytaax(t0,2)极坐标方程为=2acos)2,2(;(4)圆222)(aya
4、x=+的参数方程为=+=,sin,costaytaax(t0,2)极坐标方程为=-2acos)23,2(;(5)圆222)(aayx=+的参数方程为+=,sin,costaaytax(t0,2)极坐标方程为=-2asin (,2);(6)椭圆12222=+byax的参数方程为=,sin,costbytax(t0,2);(7)空间螺线=,sin,cosbtztaytax(tR);(8)笛卡儿叶线 x3+y3=3axy 的参数方程为+=+=3231313tatytatx;(9)星形线 x2/3+y2/3=a2/3的参数方程为=33sincosayax;(10)摆线(圆滚线)22)1arcsin(y
5、ayayax=的参数方程为=)cos1()sin(tayttax;2 3(11)心形线)(2222xyxayx+=+的极坐标方程为=a(1-cos);(12)心形线)(2222xyxayx+=+的极坐标方程为=a(1+cos);(13)双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)的极坐标方程为2=a2cos2;(14)双纽线(x2+y2)2=2a2xy 的极坐标方程为2=a2sin2;(15)阿基米德螺线xyayxarctan22=+的极坐标方程为=a(16)不经过原点的直线 ax+by+c=0(a2+b2 0)acos+bsin+c=0 .sincosbac+=例如:x=a(a 0);2,2(
6、cos=ax=a(a 0);,0(sin=a y=a(a 0).43,4(sincos+=a二.极限 二.极限 1.|q|1,nnqlim=0.2.nnnlim=1.3.设数列an与bn都收敛,aann=lim,bbnn=lim,则 nnnnnnnbaba=limlim)(lim=ab;)lim)(lim()(limnnnnnnnbaba=ab;nnnnnnnbaba=limlimlim=ba(b0).4.设 xn=mmllnbnbbnanaa+?1010,其中 al0,bm0,lm,则nlimxn=1.6.()nnn11lim+=e.7.设)(lim0 xfxx=A,)(lim0 xgxx=
7、B.则)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx=AB;3 4)(lim)(lim)()(lim0 xgxfxgxfnnxx=AB;)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx=BA(B0).8.设 y=f(u)与 u=g(x)的复合函数 fg(x)在 x0的某去心邻域)(0 xN?内有定义.若)(lim0 xgxx=u0,)(lim0ufuu=A,且x)(0 xN?,有 g(x)u0,其中 x0,u0为有限值.则复合函数 fg(x)当 xx0时也有极限,且)(lim0 xgfxx=)(lim0ufuu=A.9.xxxsinlim0=1.x
8、xx+11lim=e.10.常用的等价无穷小:sin xtan xarcsin xarctan x x(x0);(1-cos x)221x(x0)ln(1+x)x(x0)(ex-1)x(x0)(nx+1-1)nx(x0);)1(x+-1x(x0).三.导数与微分 三.导数与微分 1.导数定义:0000000)()(lim)()(limlim)(0 xxxfxfxxfxxfxyxfxxxx=+=.2.函数四则运算的求导法则 ).()()()(xvxuxvxu=).()()()()()(xvxuxvxuxvxu+=.)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu=/3.反函数的求导法则
9、 设定义在区间 I 上的严格单调连续函数 x=f(y)在点 y 处可导,且0)(yf,则其反函数 y=f-1(x)在对应的点 x 处可导,且,)(1)()(1yfxf=即yxxydd1dd=.4.复合函数的求导法则设函数)(xu=在点 x 处可导,函数 y=f(u)在对应的点)(xu=处可导,则复合函数)(xfy=在点 x 处可导,且),()(ddxufxy=即xuuyxydddddd=.5.设函数 y=f(x)由参数方程=)()(tytx确定.),(tx=)(ty=在区间,上可导,函数)(tx=具有连续的严格单调的反函数),(1xt=且,0)(t则).()(1xty=函数 y=f(x)的导函
10、数由参数方程=)()()(txtyytx确定.6.基本求导公式 (1)(x)=x1.(2)(ax)=axlna.(3)(ex)=ex.(4)(logax)=1lnxa.(5)(lnx)=1x.(6)(sinx)=cosx.(7)(cosx)=sinx.(8)(tanx)=sec2x.(9)(cotx)=csc2x.(10)(secx)=secxtanx.(11)(cscx)=cscxcotx.(12)(arcsinx)=211x.(13)(arccosx)=211x.45(14)(arctanx)=211x+.(15)(arccotx)=211x+.7.一些简单函数的高阶导数(n,k 为正整数
11、)(1)=0)内满足下列条件:(1),0)(lim)(lim00=+xgxfxxxx(2)f,g 在(x0,x0+)内可导,且,0)(xg(3)Axgxfxx=+)()(lim0(A 为有限数或).则.)()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxx=+设函数 f(x)在区间(x0,x0+)(0)内满足下列条件:(1),)(lim)(lim00=+xgxfxxxx (2)f,g 在(x0,x0+)内可导,且,0)(xg(3)Axgxfxx=+)()(lim0(A 为有限数或).则.)()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxx=+不可用洛必达法则的情形.(1)21lim1
12、+xxx,(2)xxxxsinlim+,(3)xxxxxeeee+lim.事实上,21lim1+xxx=32,xxxxsinlim+=)sin1(limxxx+=1,xxxxxeeee+lim=xxxee2211lim+=1.14.带皮亚诺余项的泰勒公式 设函数 f(x)在 x0处 n 阶可导,则 f(x)=knkkxxkxf)(!)(000)(=+o(x-x0)n).15.几个初等函数的麦克劳林公式(1)ex=1+x+21x2+61x3+!1nxn+o(xn).(2)sinx=x-!31x3+!51x5-+(-1)n)!12(1+nx2n+1+o(x2n+1).(3)cosx=1-!21x2
13、+!41x4-+(-1)n)!2(1nx2n+o(x2n).(4)ln(1+x)=x-21x2+31x3-+(-1)n-1n1xn+o(xn).(5)1(x+=nxnnxx!)1()1(!2)1(12+?+o(xn).(6)sin2x=22cos1x=()+nnnxnxxx2242)2(o)!2()2()1(!4)2(!2)2(12121?6 7 =)(o!)!12(!2)1(3221142nnnnxxnnxx+?.(7)cos2x=1-sin2x=1-)(o!)!12(!2)1(322142nnnnxxnnxx+?.16.带拉格朗日余项的泰勒公式设函数)(,)(nbaCxf,且)1(),()
14、(+nbaCxf,则,0baxx,有 f(x)=knkkxxkxf)(!)(000)(=+10)1()()!1()(+nnxxnf,其中介于 x 与 x0之间.17.几个初等函数的带拉格朗日余项的麦克劳林公式(1)ex=1+x+21x2+61x3+!1nxn+1)!1(+nxxne(xR,01).(2)sinx=x-!31x3+!51x5-+(-1)n-1)!12(1nx2n-1+12)!12(cos)1(+nnxnx(xR,01).(3)cosx=1-!21x2+!41x4-+(-1)n)!2(1nx2n+221)!22(cos)1(+nnxnx(xR,01).(4)ln(1+x)=x-21
15、x2+31x3-+(-1)n-1n1xn+)1(1)1)(1()1(+nnnxnx(xR,01).(5)1(x+=nxnnxx!)1()1(!2)1(12+?+11)1()!1()()1(+nnxxnn?(xR,0 0,t 0,/2.令 x=asect,则22xa=atanx,dx=asecttantdt,其中 a 0,t (0,/2).令 x=atant,则22xa+=asecx,dx=a sec2xdt,其中 a 0,t (0,/2).7.分部积分法(1)不定积分的分部积分法 u(x)dv(x)=u(x)v(x)-v(x)du(x)(2)分部积分法中 u(x),v(x)的常见选取方法 P(
16、x)sinxdx=-P(x)d(cosx),P(x)cosxdx=P(x)d(sinx).P(x)exdx=P(x)d(ex).P(x)lnxdx=lnxd(P(x)dx).eaxcos(bx)dx=a1cos(bx)d(eax)=b1eax d(sin(bx),eaxsin(bx)dx=a1sin(bx)d(eax)=b1eax d(cos(bx).(3)定积分的分部积分法 baxxvxud)()(=baxvxu)(d)(.)(d)()()(=babaxuxvxvxu 8.平面曲线的弧长(1)在直角坐标系中:y=f(x),xa,b,其中,C)()1(,baxf取 ds=,)d()d(22yx
17、+则s-ds=o(x)(x0),于是.d)(12+=baxys(2)参数方程=)()(tytx t,其中,C)(),()1(,tt 9 1 0 ds=22)d()d(yx+22()()d,ttt=+于是.d)()(22+=ttts(3)极坐标系中:=(),则=sin)(cos)(yx,.d)()(22+=s 9.空间曲线的弧长 设空间曲线 L 的参数方程为()()()xx tyy tzz t=t,其中(1),(),(),()C,x ty tz t 则 ds=222(d)(d)(d)xyz+222()()()d,x ty ty tt=+于是 L 的长度为222()()()d.sx ty ty t
18、t=+10.平面图形的面积(1)直角坐标系中 y=f(x)与 y=g(x)以及 x=a,x=b 所围成的图形的面积(其中 f(x)g(x).d)()(=baxxgxfA x=(y)与 x=(y)以及 y=c,y=d 所围成的图形的面积(其中(y)(y).d)()(=dcyyyA(2)极坐标系中 =a,d)(21d2=A.d)(212=A11.空间立体的体积(1)平行截面面积 A(x)已知的立体(a x b):dV=A(x)dx,.d)(=baxxAV (2)旋转体的体积 y=f(x)(xa,b)绕 x 轴旋转一周(其中 f(x)0),A(x)=f 2(x),故.d)(2=baxxfV x=g(
19、y)(yc,d)绕 y 轴旋转一周(其中 g(y)0),A(y)=g2(y),故.d)(2=dcyygV 五.微分方程 五.微分方程 1.一阶可分离变量的微分方程:),()(ddygxfxy=其中 f(x),g(y)连续.)()(ddygxfxy=xxfygyd)()(d=xxfygyd)()(d.)()(CxFyG+=(其中 g(y)0,)(1)(ygyG=F(x)=f(x),C 为任意常数)2.一阶线性微分方程:),()(ddxqyxpxy=+其中 p(x),q(x)连续.(1)对于,0)(dd=+yxpxy 分离变量得:,d)(dxxpyy=xxpCeyd)(C 为任意常数).(2)对于
20、),()(ddxqyxpxy=+=xxpexCyd)()(得.d)(d)(d)(Cxexqeyxxpxxp+=3.可经变量代换化为已知类型的几类一阶微分方程(1)齐次方程:),(ddyxfxy=其中 f(tx,ty)=f(x,y),.0t 1011将原方程化为),(ddxyxy=令xyu=得,uxy=从而,ddddxuxuxy+=代入原方程并整理得,)(dduuxux=分离变量,得,d)(dxxuuu=两边积分,以xy代替 u.(2)伯努里方程:,)()(ddyxqyxpxy=+其中.1,0两边同除以y得),()(dd1xqyxpxyy=+令,1=yz 则,dd)1(ddxyyxz=原方程化为
21、),()1()()1(ddxqzxpxz=+解上述关于 z 的一阶线性非齐次微分方程,以1y代替 z.4.可降阶的高阶微分方程 (1)()(xfyn=型(2)不显含未知函数 y 的方程:).,(yxfy=令,zy=则).,(ddzxfxz=若解之得),(1Cxz=则.d),(21+=CxCxy(3)不显含自变量 x 的方程:).,(yyfy=改取 y 为自变量,令),(yzyz=则.ddddddddyzzxyyzxzy=于是原方程化为).,(ddzyfyzz=这是关于 z(y)的一阶微分方程,若解之得:),(1Cyz=即),(dd1Cyxy=则.),(d21=+CCyyx 5.设 a1(x),
22、a2(x)f(x)CI,则xI 及任给的初始条件 y(x0)=y0,y(x0)=y1,初值问题=+,)(,)(),()()(100021yxyyxyxfyxayxay存在定义于区间 I 上的唯一解 y=y(x).6.设 y1(x),y2(x)是线性齐次方程 y +a1(x)y +a2(x)y=0 的两个解,1212()()()()()y xyxW xy xyx=,则 (1)y1(x),y2(x)在区间 I 上线性相关 x0I 使它们的 Wronski 行列式 W(x0)=0.(2)y1(x),y2(x)在区间 I 上线性无关xI,它们的 Wronski 行列式 W(x)0.7.线性齐次方程 y
23、 +a1(x)y +a2(x)y=0 必存在两个线性无关的解.8.设 y1(x),y2(x)是线性齐次方程 y +a1(x)y +a2(x)y=0 的两个线性无关的解,则该线性齐次方程的解集 S 是 y1(x),y2(x)生成的一个二维线性空间 112212|,.yc yc yc c=+为任意常数 9.设 y*(x)是二阶线性非齐次方程 y +a1(x)y +a2(x)y=f(x)该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/ 2 的一个特解,y1(x),y2(x)是对应的齐次方程 y +a1(x)y +a2(x)y=0 的两个线性无关的解,则 y=c1y1(x)+
24、c2y2(x)+y*(x)为非齐次方程的通解.10.设)(*xyi是方程 y +a1(x)y +a2(x)y=fi(x)(i=1,2,n)的特解,则)()(*1xyxyn+?是方程 y +a1(x)y +a2(x)y=f1(x)+fn(x)的特解.11.二阶线性常系数齐次方程的解法(1)特征方程 ar2+br+c=0 有两个相异实根 r1,r2,则通解.2121xrxrececy+=(2)特征方程有两个相等实根 r1=r2=r,则通解.)(21rxexccy+=(3)特征方程有一对共轭复根 r=i,则通解).sincos(21xcxceyx+=12.二阶线性常系数非齐次方程的解法(1)待定系数
25、法求 ay+by+cy=f(x)(a0,b,c 为常数)的特解.f(x)=Pn(x)ex.若不是 ar2+br+c=0 的根,则令 y*=(b0 xn+b1xn-1+bn-1x+bn)e x.若是 ar2+br+c=0 的单根,则令 y*=x(b0 xn+b1xn-1+bn-1x+bn)e x.若是 ar2+br+c=0 的重根,则令 y*=x2(b0 xn+b1xn-1+bn-1x+bn)e x.再代入原方程,通过比较系数确定 b0,b1,bn.f(x)=Pn(x)e xcosx 或 f(x)=Pn(x)e xsinx.先求 ay+by+cy=Pn(x)e xcosx+isinx=Pn(x)
26、e(+i)x的特解 Y*.则原方程的特解互取为=xexPxfYxexPxfYyxnxnsin)()(*,Imcos)()(*,Re*(2)常数变易法 13.n 阶 Euler 方程:a0 xny(n)+a1x n-1y(n-1)+an-1xy+any=f(x)(其中 a0,a1,an为常数).14.二阶 Euler 方程的解法.令 x=et,则 ax2y+bxy+cy=f(x)化为).(dd)(dd22tefcytyabtya=+这是一个线性常系数微分方程,求出其通解后将 t 换为 lnx 即得原方程的解.六.多元函数微分学 六.多元函数微分学 1.偏导数定义 00(,)xyzx=zx(x0,
27、y0)=fx(x0,y0)=xyxfyxxfx+),(),(lim00000.00(,)xyzy=zy(x0,y0)=fy(x0,y0)=yyxfyyxfy+),(),(lim00000.),()(2222yxfxfxzxzxxx=),()(22yxfyxfyxzxzyxy=),()(22yxfxyfxyzyzxyx=),()(2222yxfyfyzyzyyy=2.可微的必要条件:若函数 f(x,y)在点 M0(x0,y0)处可微,则 f(x,y)在点 M0(x0,y0)处连续;f(x,y)在点 M0(x0,y0)处存在偏导数,且.d),(d),(d0000),(00yyxfxyxfzyxyx
28、+=该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/ M0(x0,y0)处沿着向量 l 的方向导数 00(,)xyzltyxftytxft),()cos,cos(lim00000+,其中向量 l 的方向余弦为 cos,cos.(2)若函数 f(x,y)在点 M0(x0,y0)处可微,则 f(x,y)在点 M0(x0,y0)处沿任一方向 l 的方向导数都存在,且有.cos),(cos),(0000),(00yxfyxfzyxyx+=l5.梯度 grad f(x0,y0)j.),(i),(0000yxfyxfyx+=6.复合函数微分法(1)设函数 u=(x),v=(x)在
29、点 x 处可导,而 z=f(u,v)在对应的点(u,v)处可微,则复合函数 z=f(x),(x)在点处可导,且xvvzxuuzxzdddddd+=ddgrad,.dduvzxx=(2)设函数 u=(x,y),v=(x,y)在点(x,y)处可偏导,而 z=f(u,v)在对应的点(u,v)处可微,则复合函数 z=f(x,y),(x,y)在点(x,y)处存在偏导数,且 xvvzxuuzxz+=,gradxvxuz=yvvzyuuzyz+=,gradyvyuz=7.隐函数微分法(1)设二元函数 F(x,y)满足下列条件:Fx(x,y),Fy(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续.F(x0,y0)=
30、0,Fy(x0,y0)0.则存在点 x0的一个邻域 N(x0,)以及在 N(x0,)内定义的唯一的函数 y=y(x)满足:(i)y0=y(x0),F(x,y(x)0,xN(x0,).(ii)在 N(x0,)中,函数 y=y(x)有连续的导数,且.yxFFy=(2)设 n+1 元函数 F(x1,x2,xn,y)满足下列条件:),(21yxxxFnxi?(i=1,2,n),Fy(x1,x2,xn,y)在点 M0的某邻域内连续.F(M0,y0)=0,Fy(M0,y0)0.则存在点 M0的一个邻域 N(M0,)以及在 N(M0,)内定义的唯一的一个 n 元函数y=y(x1,x2,xn)满足:(i)y0
31、=y(M0),且 F(x1,x2,xn,y(x1,x2,xn)0,(x1,x2,xn)N(M0,).(ii)y=y(x1,x2,xn)在 N(M0,)中有一阶连续偏导数,且yxiFFxyi=(i=1,2,n).(3)设三元函数 F(x,y,z),G(x,y,z)满足下列条件:Fx,Fy,Fz,Gx,Gy,Gz在点 M0(x0,y0,z0)的某邻域内连续.13131 4 F(x0,y0,z0)=0,G(x0,y0,z0)=0,.00MzyzyGGFF则存在点 x0的一个邻域 N(x0,)以及在 N(x0,)内定义的唯一的一组函数=)()(xzzxyy满足:(i)y0=y(x0),z0=z(x0)
32、,且0)(),(,(0)(),(,(xzxyxFxzxyxFxN(x0,).(ii)y=y(x),z=z(x)在 N(x0,)中均有连续的导数,且,),(),(),(),(ddzyGFxzGFxy=,),(),(),(),(ddzyGFyxGFxz=其中,),(),(xzxzGGFFxzGF=,),(),(zyzyGGFFzyGF=.),(),(yxyxGGFFyxGF=8.切线方程与法平面方程 (1)设曲线的参数方程为(),(),(),xx tyy tzz t=M0,M 的坐标分别为(x(t0),y(t0),z(t0),则切线方程为)()()(000000tzzztyyytxxx=故切向量为
33、 a=x(t0),y(t0),z(t0),法平面的方程为 x(t0)(x-x0)+y(t0)(y-y0)+z(t0)(z-z0)=0.(2)设曲线的方程为=),(),(xzzxyy 则点)(),(,(0000 xzxyxM处的切线方程为 )()()()(100000 xzxzzxyxyyxx=法平面方程为:(x-x0)+y(x0)(y-y(x0)+z(t0)(z-z(x0)=0.(3)设曲线的方程为=,0),(,0),(zyxGzyxF它确定=),(),(xzzxyy 则点 M0处的切线方程为:000),(),(),(),(),(),(000MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx=法平面方
34、程为:.0)(),(),()(),(),()(),(),(000000=+zzyxGFyyxzGFxxzyGFMMM9.切平面方程与法线方程 (1):F(x,y,z)=0 在点 M0(x0,y0,z0)处的切平面方程为 ,0)()()(000000=+zzMFyyMFxxMFzyx法线方程为.)()()(000000MFzzMFyyMFxxzyx=(2):z=f(x,y)在点 M0(x0,y0,z0)处的切平面方程为,0)()(,()(,(0000000=+zzyyyxfxxyxfyx14.1),(),(0000000=zzyxfyyyxfxxyx10.多元函数的 Taylor 公式 设二元函
35、数 f(x,y)在点 M0(x0,y0)的某邻域 N(M0)内有 n+1 阶连续偏导数.则 M(x0+x,y0+y)N(M0),有),(00yyxxf+),()(),(0000yxfyyxxyxf+=?+),()(!21002yxfyyxx ),()(!100yxfyyxxnn+),()()!1(1001yyxxfyyxxnn+其中 0 1.上式称为二元函数 f(x,y)在点 M0处带有 Lagrange 型余项的 n 阶 Taylor 公式.特殊情形(1)中值公式 ),(00yyxxf+yyyxxfxyyxxfyxfyx+=),(),(),(000000其中 0 1.(2)一阶 Taylor
36、 公式 ),(00yyxxf+),()(),(0000yxfyyxxyxf+=),()(21002yyxxfyyxx+0,),(00Myxffyxyxf+=+yxMHyxf)(,21*其中 M*(x0+x,y0+y),0 1,Hf(M)为 f 在点 M(x,y)处的 Hessian 矩阵.yyxyxyxxffff(3)Maclaurin 公式 f(x,y)=f(0,0)=+nkkfyyxxk1)0,0()(!1),()()!1(11yxfyyxxnn+,其中 0 1)时,i2lnnmkznmez+=取 k=0,1,2,.,n1 时的 n 个值.特别地当n1=时,z即为 z 的 n 次方根.对应
37、于 Lnz 的各个单值分支,z的各个分支在除原点及负实轴外的其他点处解析,且其导数为z1.(4)三角函数:),(i 21siniizzeez=)(21cosiizzeez=是以 2为周期的解析函数,(sinz)=cosz,(cosz)=sinz.(5)其他的初等函数.,cossintanzzz=,sincoscotzzz=,cos1seczz=,sin1csczz=,2chzzeez+=2shzzeez=.6.复变函数积分的定义=nkkkdLzfzzf10)(limd)(=+=nkkkkkdyxvu10)i)(i(lim)(i)(lim110=+=nkkkkknkkkkkdyuxvyvxu.d
38、didd+=LLyuxvyvxu7.复变函数积分的计算(1)设 L 的参数方程为 x=x(t),y=y(t),t|起点=,t|终点=,则 Lzzfd)(=ttyvtxud)()(+ttyutxvd)()(i.(2)设 L 的参数方程为 z=z(t),t|起点=,t|终点=,则 Lzzfd)(.d)()(=ttztzf (3)设 f(z)在区域 D 内解析且(z)为 f(z)的一个原函数,则,)()()(d)(1010001zzzzzzzf=(其中 z0,z1D).8.Cauchy 积分定理:设 f(z)在单连通域 D 内解析,L 为 D 内任一条分段光滑的闭曲线则,0d)(=Lzzf从而积分L
39、zzfd)(与路径无关,只与起点和终点有关.9.复合闭路定理 设 L,Lk(k=1,2,n)为 n+1 条取逆时针方向的简单闭曲线,Lk(k=1,2,n)完全在 L 内且互不相交,也互不包含,D 为由 L,Lk(k=1,2,n)围成的复连通域.如果 f(z)在DDD=上解析,则.d)(d)(1=nkLLkzzfzzf 10.闭路变形原理 当n=1时,上述复合闭路定理即,d)(d)(1=LLzzfzzf它表明:区域D内的一个解析函数沿闭曲线积分,不因闭曲线在区域内连续变形而改变它的值积分,只要在变形过程中曲线不经过被积函数的奇点.11.Cauchy 积分公式 设 f(z)在区域 D(单连通或复连
40、通)及 D 的边界 L 上解析,则对任意 zD,有,d)(21)(=Lzfizf其中 L 取正向.212212.设函数f(z)在区域D(单连通或复连通)及D的边界L上解析,则f(z)在区域D内存在任意阶导数,且对任意 zD,n=1,2,有,d)()(2!)(1)(+=Lnnzfinzf其中 L 取正向.13.孤立奇点及其分类 若 f(z)在 z0不解析,但在 z0的某一去心邻域 0|zz0|内解析,则称 z0为 f(z)的孤立奇点.设 z0为 f(z)的孤立奇点,f(z)在 z0的去心邻域 0|zz0|内的 Laurent 展式为.)(0=nnnzzc 若=nnnzzc)(0中无负幂项,则称
41、z0为 f(z)的可去奇点,若=nnnzzc)(0中负幂项只有有限项,则称 z0为 f(z)的极点,若 cm 0,而 ck=0(k=m+1,m+2,),则称 z0为 f(z)的 m 级极点,若=nnnzzc)(0中负幂项有无穷多项,则称 z0为 f(z)的本性奇点.14.孤立奇点类型的判定 设 z0为 f(z)的奇点,f(z)在0(,)N z?内解析,则 (1)z0为 f(z)的可去奇点 000(),(),f zzzF zczz=在 N(z0,)内解析,其中 c0为有限复常数 0lim()zzf z=c0,其中 c0为有限复常数 f(z)在0(,)N z?内有界.(2)z0为 f(z)的 m
42、级极点 f(z)=(z z0)m(z),其中(z0)0,且(z)在 N(z0,)内解析.z0为 f(z)的极点 0lim()zzf z=.(3)z0为 f(z)的本性奇点 0lim()zzf z不存在且0lim()zzf z.15.零点 若解析函数 f(z)能表示成 f(z)=(zz0)m(z),其中(z0)0,且(z)在 z0处解析,m 为某一正整数,则称 z0为 f(z)的 m 级零点.若 f(z)在 z0处解析,则 z0为 f(z)的 m 级零点 z0为1()f z的 m 级极点 f(n)(z0)=0(n=0,m1),f(m)(z0)0.16.若 f(z)在 z=的去心邻域z C|R|z
43、|+内解析,则称为 f(z)的孤立奇点.令 t=1/z,则 t=0 是 f(1/t)的孤立奇点.若 t=0 是 f(1/t)的可去奇点(m 级极点,本性奇点),则称 z=是 f(z)的可去奇点(m 级极点,本性奇点).设 f(z)在z C|R|z|+内解析,则在此圆环内有,)(01=+=nnnnnnzczczf ()因此 z=是 f(z)的 (1)可去奇点 ()中无正幂项;(2)m 级极点 cm 0,而ck=0(k=m+1,m+2,);2223(3)本性奇点 ()中有无穷多个正幂项.17.设 f(z)以 z0为有限孤立奇点,即 f(z)在 z0的某个去心邻域 0|zz0|R 内解析,L 为该邻
44、域内包含 z0的任意一条逆时针方向的简单闭曲线,则 f(z)在 z0点处的留数 Resf(z),z0=Lzzfd)(i21.(1)设,)(01=+=nnnnnnzczczf则 Resf(z),z0=c1.(2)如果 z0为 f(z)的一级极点,则 Resf(z),z0=).()(lim00zfzzzz 记(z)=(zz0)f(z),则 Resf(z),z0=(z0).(3)如果 z0为 f(z)的 m 级极点,则 Resf(z),z0=).()(ddlim)!1(10110zfzzzmmmmzz 若 z0为 f(z)的 m 级极点,则大于或等于 m 的正整数 k,有 Resf(z),z0=).
45、()(ddlim)!1(10110zfzzzkkkkzz (4)若,)()()(zQzPzf=P(z)及 Q(z)在 z0处解析,且 P(z0)0,Q(z0)=0,Q(z0)0,则 Resf(z),z0=.)()(00zQzP 18.设为 f(z)的一个孤立奇点,即 f(z)在的某去心邻域 R|z|+内解析.设 L 为圆环域 R|z|+内绕原点的任何一条逆时针方向简单闭曲线,则 f(z)在的留数 Resf(z),=Lzzfd)(i21.19.Resf(z),=c1,其中 c1为 f(z)在 R|z|+内的 Laurent 展式中z1的系数.20.Resf(z),=.0,1)1(Res2zzf
46、21.设函数 f(z)在区域 D 内除去有限个孤立奇点 z1,z2,zn外处处解析,L 是 D 内包围诸奇点的任意一条逆时针简单闭曲线,则.),(Resi2d)(1=nkkLzzfzzf22.如果函数 f(z)在扩充复平面内除去有限个孤立奇点外处处解析,那么 f(z)在所有奇点(包括点)的留数的总和等于零,即 Resf(z),=+nkkzzf1),(Res=0.23.形如20d),sin(cosxxxR的积分,其中 R(cosx,sinx)为 cosx,sinx 的有理函数.令 z=eix,x:02(对应于|z|=1 逆时针方向一周),则 dz=ieix dx,iddzzx=,21)(21)(
47、21cos21iizzzzeexxx+=+=+=.i 21)(i 21sin2iizzeexxx=所以20d),sin(cosxxxR.id)i 21,21(1|22=+=zzzzzzzR 令),i 21,21(i1)(22zzzzRzzf+=则20d),sin(cosxxxR|11()d2 iRes(),nkzkf zzf zz=?,其中 zk(k=1,2,n)为 f(z)在|z|0)的积分,其中 R(x)是 x 的有理函数,而分母的次数至少比分子的次数高一次,并且在实轴上无孤立奇点.则该积分收敛,且,)(Resi2d)(1ii=+=nkkzaxazezRxexR其中 zk为 R(z)在上半
48、平面内的所有有限远孤立奇点.十.十.级数 级数 1.设,1Scnn=,1Tcnn=,为任意常数,则.)(1TSccnnn+=+=2.幂级数0nnnc z=的收敛半径 设=+nnncc1lim或,lim=nnc 则0nnnc z=的收敛半径1/,0;,0;0,.R+=+=+3.设=0)(nnnzczS(|z|R1),T(z)=0nnnzc(|z|R2).cn,nc(n=1,2,)为复常数,R=min(R1,R2),则当|z|R 时有:(1)S(z)T(z)=0nnnzc=0nnnzc=0)(nnnnzcc.(2)S(z)T(z)=0nnnzc=0nnnzc=.)(00110=+nnnnnzccc
49、ccc?4.设复幂级数=0nnnzc的收敛半径为 R0,和函数为 S(z),则(1)S(z)在收敛圆内(即|z|R)内解析;(2)幂级数=0nnnzc在收敛圆内可以逐项求导,即当|z|R 时,有.)()(110=nnnnnnznczczS (3)幂级数=0nnnzc在收敛圆内可以逐项积分,即当|z|R 时,有 =LnLnnzzczzSdd)(0 (L 为圆域|z|R 内的简单曲线).并且逐项求导或逐项积分后所得的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,但在收敛圆周上的敛散性有可能改变.5.设实幂级数=0nnnxa的收敛半径 R0,其和函数为 S(x),则(1)S(x)在收敛域D上连续.2425(2)
50、幂级数=0nnnxa在(R,R)内可以逐项求导,即x(R,R),有.)()(110=nnnnnnxnaxaxS(3)幂级数=0nnnxa在(R,R)内可以逐项积分,即x(R,R),有.1dd)(10000+=+=nnnnxnnxxnaxxaxxS并且逐项求导和逐项积分后所得的幂级数收敛半径仍为 R,但在收敛区间端点的敛散性可能改变.6.设复函数 f(z)在区域 D 内解析,z0D,R 为 z0到 D 的边界上各点的最短距离,则当|z z0|R 时,f(z)能展开成幂级数,即=000)()(!)()(nnnzznzfzf f(z)在点z0处的Talor展式.其中系数)(!10)(zfncnn=(