高等数学《概率论与数理统计》-147个积分公式推导.pdf-淘文阁

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1、- 1 -（一）含有（一）含有（一）含有（一）含有bax+的积分的积分的积分的积分（19）CbaxlnabaxdxbaxtC t lnadttabaxdxdtadx,adxdtttb axabxxbax)x(fCbaxlnabaxdx.+=+=+=+=+=+=+ 1 1 11 1 )0( | 1 1 1代入上式得：将，则令的定义域为被积函数证明：CbaxadxbaxbaxtC tadttadxbaxdtadx,adxdttbaxCbaxadxbax.+=+=+=+=+=+111)() 1( 1)( ) 1( 1 1)( 1 , 1)( )() 1( 1)( 2代入上式得：将则令证明：()()(

2、)()()C bax lnbbaxadxbaxxbaxtC t lnbtaC t lnabat dttbadta dttb1adtatbtadxbaxx dtadx ,btax,t tbaxabx|xbaxx)x(fC bax lnbbaxadxbaxx.22222222+=+=+=+=+=+=+=+1 1 11111 11 )0( 1 3代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：高等数学147个积分公式推导1- 2 -CbaxlnbbaxbbaxadxbaxxCbaxlnabbaxdbaxabdxbaxbaCbaxlnabxabbaxdbaxabdxabaxdbaxbbaxabdxbaxab

3、xaCbaxadxbaxadxbaxbadxbaxabxadxbaxadxbaxbabxbaxadxbaxxCbaxlnbbaxbbaxadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+ )( 2)(211 )(11 22 )(122 )(221 )(21)(1 121)(1 )2)(1 )( 2)(211 . 4223233232222323323321232222222222232由以上各式整理得：证明：CxbaxlnbCbaxxlnbCbaxlnbxlnb)bax(dbaxbdxxbdxbaxbadxxbdx)bax(babxbaxxdxbabAbBAabxaxbaxbaxBxba

4、xxabx|xbaxx)x(fCxbaxlnbbaxxdx.+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+ 1 1 1 1 1111 1111)( B1A 10 AB)(AB)A(1 , A)(1 )(1 1)( 5于是有则设的定义域为被积函数证明：blogblogaa=1 提示：2- 3 -CxbaxlnbabxCbaxlnbabxxlnbabaxdbaxbadxxbdxxbadxbaxbadxxbdxxbabaxxdxbaCbbaBbaBAbCAabaBAbxaxCxbaxbaxxbaxCxBxbaxxabxxbaxxxfCxbaxlnbabxbaxxdx+=+=+=+=+=+=+=+

5、=+=+=+=+ 1 1 )(1111 1111)( 1BA 100 1B)( C)(A )B()( A1 , A)(1 | )(1)( 1)( . 6222222222222222222222于是有即则设的定义域为被积函数证明：CbaxbbaxlnaCbaxabbaxlnabaxdbaxabbaxdbaxadxbaxabdxbaxadxbaxxabBaBAbAaxBAbaxbaxxbaxBbaxAbaxxabx|xbaxx)x(fCbaxbbaxlnadxbaxx.+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+ 1 )( 1 )( )(1 )(11 )(1 11)( 1A 01 )(A B)A(

6、 ,)( )( )( 1)( 72222222222222于是有即则设的定义域为被积函数证明：3- 4 -()C baxb bax lnbbaxadxbaxxbaxtCtb t lnbtaC t lnabtatabdttabdtadttabdttabttbdxbaxx tabttbtatbbaxxdtadx ,btax,t tbaxabx|xbaxx)x(fC baxb bax lnbbaxadxbaxx.+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+23222333323323223222222222222222232221)( )2(1 21 12112)( 2)()( 11 )0( )( 2

8、有则设：的定义域为证明：被积函数4- 5 -（二）含有（二）含有（二）含有（二）含有bax+的积分的积分的积分的积分（1018）CbaxaCbaxabaxdbaxadxbaxCbaxadxbax+=+=+=+=+3121213)(32 )(21111)()(1 )(32 .10证明：CbaxbaxaCbaxbbaxadxbaxxbaxtCbtatCtabtadtabdtadtbttadtattabtdxbaxxtabtbaxxdtatdxabtxttbaxCbaxbaxadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+=+32322233252325224222232)()23(152 )(5)(

9、3152 )53(152 32523252 )(22 , 2 , , )0( )()23(152 .11代入上式得：将则令证明：CbaxbabxxaabaxbbabxbxabaxadxbaxxbaxtCbtbtatCtabtabtaCtabtabtadttabdttabdttadtbttbttadxbaxxabttbttabtbaxxdtatdxabtxttbaxCbaxbabxxaadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+3222322223322243353332731432132163432326332532232522222322232)()81215(1052 )(42

10、35301515 )(1052 )423515(1052 543272 411421126112 422 )2(2 2)( , 2 , , )0( )()81215(1052 .12代入上式得：将则令证明：5- 6 -CbaxbaxaCbaxabbaxbaxadxbaxxbaxtCtabtaCtabtabdtadttadtatatbtdxbaxxdtatdxabtxttbaxCbaxbaxadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+)()2(32 )(2)()(32 232 22112 22 2 , 2 , , )0( )()2(32 .132222322122222222代入上式得：将则令证

11、明：CbaxbabxxaaCbaxbaxbbabxbxabaxadxbaxxbaxtCbtbtatCtbtbtadttabdtbadttadtbtbtadtattabtdxbaxxdtatdxabtxttbaxCbaxbabxxaadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+)()843(152 )()(1015)2(3)(152 )10153(152 )3251(2 422 )2(2 21)( , 2 , , )0( )()843(152 .142223222232224332532323432243222222232代入上式得：将则令证明：6- 7 -+=+=+=+=+=+=+=+)

12、0( 2)0( 1 2 , 1 2 t 2 )(122 0 . 2 1 1 )(122 0b . 1 2 21 , 2 , , )0( )0( 2)0( 1 .15222222222bCbbaxarctanbbCbbaxbbaxlnbbaxxdxCbbaxarctanbbaxxdxbaxtCbarctanbdtbtdtbtbCbbaxbbaxlnbbaxxdxbaxtCbtbtlnbdtbtdtbtdtbtdtattabtbaxxdxdtatdxabtxttbaxbCbbaxarctanbbCbbaxbbaxlnbbaxxdx得：综合讨论代入上式得：将，时当代入上式得：将，时当则令证明：Cax

13、axlnaaxdx+= 21 21 22：公式Caxarctanaaxdx+=+1 19 22：公式7- 8 -+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+baxxdxbabxbaxdxbaxxbabxbaxdxbaxxbadxbaxaxbbxbaxdxbaxxbabaxdxbbxbaxdxbaxxbaxdbaxbdxbaxxbadxxbaxbdxbaxxbabaxxdxbbaBbBaAbaxxxbaxBbaxxbaxxbaxxdxbabxbaxbaxxdx 2 121 )(2111 111 1 11 11 1BA 10 )B( A1 , A1 2 .162122222于是有则设证明： 2 21

14、2 )(2 2122 122 1 , 122 122 2 2 2 2 , , )0( 2 .172222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+baxxdxbbaxdxbaxabbaxbbaxdxxbaxbaxtdxtabtbtdtbtbtdxxbaxdtbtRbdtbtbtdtbtbdtdtbtbbtdtbttdtatbtatdxxbaxdtatdxabtxttbaxbaxxdxbbaxdxxbax代入上式得：将不能明确积分符号可正可负取值为则令证明：8- 9 -（三）含有（三）含有（三）含有（三）含有22ax的积分的积分的积分的积分（1921） 2 2)(1 1 1 2

15、 .182122+=+=+=+=+=+baxxdxaxbaxdxabaxxxbaxbaxdxxbaxxdbaxdxxbaxbaxxdxaxbaxdxxbax证明：Caxarctanaaxdxaxarctantaxarctan ttanta xCtadtat dtsecatsecaaxdxtsecattanadxaxt dtsecatantaddxttantaxCaxarctanaaxdx2222222+=+=+=+=+=+=+abax的积分的积分的积分的积分（2228） )0( 21)0( 1 2 , 1 21 121 )(11 1)(11)(11 0 . 2 1 C1 )(11 1)(111

16、1 0b . 1 )( )0( 21)0( 1 .222222222222222222+=+=+=+=+=+bCbxabxalnabbCxbaarctanabbaxdxCbxabxalnabCabxabxlnaabdxabxabaxdxaabxaabxbaxbCxbaarctanabxbaarctanbaadxabxabaxdxaabxaabxbax0abCbxabxalnabbCxbaarctanabbaxdx得：综合讨论，时当，时当证明：Cb axlnabaxdbaxadxbaxdxbaxxaCbaxlnadxbaxx22+=+=+=+=+ 21 )(121 121 )0( 21 .232

17、22222证明：11- 12 -+=+=+=+=+=+baxdxabaxdxbaxabdxbabdxbaxbabdxbbaxaxabdxbaxxabaxdxabaxdxbaxx2222222222 11 )11( 1 )0( .24证明： C21 21 21 )(12112112121)(121)( 11 )()(1 )(1 )(121 )()( )( C21)( .25222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+baxxlnbCbax ln bxlnbbaxdbaxbdxxb dxbaxbadxxb dxbaxbabxbaxxdxbaBbA Ab0B

18、AaAbBAax BxbaxAbaxBxAbaxxdxbaxxdxbaxxxbaxxdx0abaxxlnbbaxxdx22222222222222于是有则设：证明：12- 13 -+=+=+=+=+=+=+=+=+baxdxbabx dxbaxbadxxb dxbaxbabxbaxxdxbaBbA Ab0BAaAbBAax BxbaxAbaxBxAbaxxabaxdxbabxbaxxdx2222222222221 111 )(1)( 11 )()(1 )(1 0)( 1)( .2622222于是有则设：证明：CbxxbaxlnbaCbax ln babxxlnbadxbaxbadxxbdxxb

19、abaxxdxbaCbaAbB BbBaAbCAaBbxBaAbxCAaCxbaxBbaxAxbaxCxBxAbaxxdxbaxxdxbaxxxbaxxdx0aCbxxbaxlnbabaxxdx222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+22222222222224222322244244244322223212 221 2 1212112 )( 1100 )()( )()(1 )(1 )(121 )()( )( 212)( .27于是有则设：证明：13- 14 -（五）含有（五）含有（五）含有（五）含有) 0( 2+acbxax的积分的积分的积分的积分（2930）+

20、=+=+=+=+baxdxbbaxbxdxbaxbbbaxabxbbaxdxbaxbbabxbaxaxdxbaxbbdxxabbaxaxdxbaxbabxbaxaxbBbA AbBaAa Abx)BaAa(BaxbaxAbaxBaxAbaxaxdxaxbaxbaxaxaxdbaxbaxaxbaxdaxbaxdx0abaxdxbbaxbxbaxdx.222222222222222222222222222上式于是有，则设：证明：14- 15 -（六）含有（六）含有（六）含有（六）含有)0( 22+aax的积分的积分的积分的积分（3144）+=+=+=+=+=+cbxaxdxabcbxaxlnadx

21、cbxaxabcbxaxdcbxaxadxcbxaxbadxcbxaxbaxadxcbxaxbbaxadxcbxaxxacbxaxdxabcbxaxlnadxcbxaxx222222222222 2 21 12)(121 21221 221 )0( 2 21 .30证明：C)( , 1 |AB| , |AC| BRt 1 , 01 , 22 | , ) )22( 1 )0( C)( 31222222322222222222222222222222222122+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+axxlnaxdx0 xaxC xax lnClna xax lnC axax

22、lnC tant sect lnaxdxaxtant aaxcostsectaxx,a|BC| ,tABCC tant sect lndtsectdtt seca sectaaxdx sectaaxcostsectt sectaaxtdt secatanta(ddx ,ttantaxRx|xax)x(faaxxlnCaxarshaxdx.22则中，设在则可令的定义域为被积函数证明：Cttantseclntdtsec+=| 87 ：公式15- 16 - 1)( |AB|AC|sint |AB| , |AC|, | , BRt 1cos1 11 1)( )( , 01 , 22 |)( , ) (

23、 , )22( |)(1)( )0( )( .3222223222222222322322322322222322CaxaxCsintaaxdxaxxaxxaBCtABCCsintatdtadtsectadtt secat secaaxdxt secaaxcostsecttt secaaxtdt secatantaddx ttantaxRxxaxxfaCaxaxaxdx23333332+=+=+=+=+=+=+=+=+=+则中，设在则可令的定义域为被积函数证明：CaxdxaxxaxtCtdtdtatttatdxaxxdtatttdtatdxatxttaxaCaxdxaxx+=+=+=+=+=+

24、22222222222222212222222222 2)(21 , )0( )0( .33代入上式得：将则令证明：CaxCaxaxdaxdxaxdxaxxdxaxxaCaxdxaxx+=+=+=+=+=+=+2223122222322223222322322223221 )(231121 )()(21 )(21)()( )0( 1)( .34证明：16- 17 - C)( 22 C)( )( 22 31)( C)( 1 39)( C)( 22 1 )0( C)( 22 .35222222222222222222222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+

25、=+=+axxlnaaxxaxxlnaaxxlnaaxxdxaxxaxxlnxdaxaxxlnaaxxdxaxxdaxadxaxdxaxaaxdxaxxaaxxlnaaxxdxaxx公式公式证明： C)( )( )( 1, |AB| , |AC|, | , BRt cos1 1 )( )( , 01 , 22 )( ) ( , )22( |)()( )0( C)( )( .362222322222222222223222222222322232223222322222223222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+axxlnaxxdxaxx0 xaxClnaaxx xax lnC

26、axx axax lnCsint tant sectlndxaxxaaxcost sect ,axtant axxsintaxxaBCtABCCsint tant sectlndttdtsectdtsectdtsectdtsecttsecdtsectttantdt secat secattandxaxxt secattanaxxcostsectt| t seca|ttanaaxxtdt secatantaddx ttantaxRxxaxxxfaaxxlnaxxdxaxx1111222323233222则中，设在，则可令的定义域为被积函数证明：Ctantsectlndtt+=| | sec 87

27、：公式17- 18 - 1 )( 21 )( 21 )( 21 21 1 1 2)(21 , )0( )0( 1 .3722222222222222222222222222222212222222222CxaaxlnaCxaax lnaCaaxaax lnaaxxdxaxtCatat lnaCatat lnadtatdtattattaxxdxdtatttdtatdxatxttaxaCxaaxlnaaxxdx+=+=+=+=+=+=+=+=+代入上式得：将则令证明：C 21 2122+=axaxlnaaxdx：公式bnlogblogana= 提示： 1 11 )1 (211121 )1 (11

28、21 1221 11111 1 , )0( 1 11 )0( .3822222222221122222222222222222222222222222CxaaxaxxdxxtCtaaCtaatadtaadttataadttatdtatxdaxtxtxtxdaxaxxdxaCxaaxaxxdx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+代入上式得：将则令证明：18- 19 - Caxxln2aax2xdxaxaxxlnaaxxdxaxCaxxlnadxaxadxaxxdxaxaxxdxaxxdxaxdxaxxaxxaxdxaxxdxaxa Caxxln2aax2xdxax.2222222222

30、ctdtdtantsectdtcostdttcoscostdttcostcos dttcostsintantdtsecttant tantdsect tantdsectatantsecta dtantsectatantasectdadxaxsectaaxtcostsec,2t2,sectattanaax 2t2tantax0a Caxxln2aax2xdxax.222222222222222222222222222212222323222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+)( )( 2121 1 Rt 11 87 )(1 1111 )( , 0

31、1 1 )( 2 )()( 39综合得则，中，可设在联立有）（公式又联立有又，则令：证法tsecttan221 =+提示：)0( )(131+=+a Caxxlndxax2222：公式19- 20 -+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+CaxxlnaaxaxxdxaxCxaxln83aax8xa3axaxxCaxaxlna83axaax8a3axaaxaxatantdtsecaaaxt sect ,axtant axxaBCtABCCtantsectlna83tantsecta83tanttsecatantdtsecaCtantsectlntantsect dtsectt

32、antsecttantdtseca dttsectantdsect dtsectdttsectantsectsectdttsectantsectsectdtttantantsectsectdtanttantsecttantdsecttantdsectatanttsecatantdtsecatantdsectatantdtsecatanttsecatantdsecttsecatanttsecatantdsectttanatanttsecadttsecttanatanttsecadttantsecttsectantatanttsecatsecdtantatanttsecatantdtsecatan

33、tadtsecadxaxtsecaaxcostsecttt secaax ttantaxRxxaxxfaCaxxlnaaxaxxdxax4333333223333232332323333333333)( 83)52(8 )( )(4 4 cos1 |AB| , |AC|, | , BRt 41 21 21 21 21 ) 1( ) 3 (41 3 3 ) 1(3 3 3 3 ) ( )( )( , 01 , 22 |)( , )22( |)()( )0( )( 83)52(8 )( .4022422223222222222221224224223224422221444414444444444

34、444444443223223223222242222322则中，设在联立得联立得：又移项并整理的：则可令的定义域为被积函数证明：Ctantsectlndtt+=| | sec 87 ：公式20- 21 -CaxCaxaxdaxdxaxdxaxxaCaxdxaxx+=+=+=+=+=+32221122222122221222232222)(31 )(211121 )()(21 )(21 )0( )(31 .41证明：21- 22 -+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+CaxxlnaaxaxxdxaxxaxxlnaxaxlnaxaxCxaxlnaax

35、axxCaxxxaxlnaaxxaCaaxaxaaxaxlnaaaxaxatdsectsectantaaaxt sect ,axtant axxaBCtABCCsectttanatantsectlnatantsectatdsectsectantaCtantsectlntantsect dtsecttantsectsectdtant sectdtant dtsecttantsectdtsectttan dtsecttantsectsectdtttantantsecttdtsectantsecttantdsecttantsectsectdtanttsecttanatdsectantatsectta

36、natdsectantatdsectsectantadsecttanttsecatsecttanatdsectantadtttantsecatsecttanatdsectantatdtantsecatsecttanatdsectantatdsecttanatdsectantatdsecttantantatdsectsectantatdtsecttanatantdsectttanatantadsectttanadxaxxsectttanaaxxcostsectt sectattanaaxx ttantaxRxxaxxxfaCaxxlnaaxaxxdxaxx23222333232333322322

37、222)( 8)2(8 )( 8 8 0 8)2(8 4 88 4 88 cos1 |AB| , |AC|, | , BRt 4 88 21 21 21 21 )1 ( 4 4 ) (41 3 3 )1 ( ) ( )( )( , 01 , 22 |)( , )22( |)( )0( )( 8)2(8 .42224222222222422422224222222232242241223342242244222214444144444244434444444444443222322222222222242222222，则中，设在联立得：移项并整理得：移项并整理的：则可令的定义域为被积函数证明：C

38、tantsectlndtt+=| | sec 87 ：公式22- 23 - )( )( 2 )( 2 21 1 2)(21 , )0( 0|)( )0( .4322222222222222222222222222222222222222222222122222222222222CxaaxlnaaxCxaax lnaaxCaaxaax lnaaxdxxaxaxtCatat lnatCatat lnaatdtatadtdtataatdtattdtattattdxxaxdtatttdtatdxatxatttaxxxxaxxfaCxaaxlnaaxdxxax+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=

39、+代入上式得：将则且令的定义域为被积函数证明：C)( 2 , 1 C)( , 0 2. C)( 0 1 |AB| , |AC|, | , BRt 1 1 1 )1 ( , 01 , 20 , ) ( , )20( , 0 1. 0|)( )0( C)( .4422222222222222222222222222222222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+xaxlnxaxdxxaxxaxlnxaxdxxaxxxaxlnxaxdxxaxxaxClna xax lnxaxCxax axax lndxxax

40、aaxcost sect ,axtant ,axxsintaxxaBCtABCCsint tant sectlndsinttsindtsectdttsincostdtsectdttsintcoscostdtsectdtttansectdtsectdtttanttansecttdt secattan asectdxxaxttan asectxaxcostsecttttan a secta xaxtdt secatantaddx ttantaxxxxxaxxfaaxxlnxaxdxxax1112222222222222得：综合讨论同理可证得：时当则中，设在，则可令时当的定义域为被积函数证明：Cta

41、ntsectlndtt+=| | sec 87 ：公式C 21 2122+=axaxlnaaxdx：公式23- 24 -（七）含有（七）含有（七）含有（七）含有)0( 22aax的积分的积分的积分的积分（4558） 2 1 | | |1| | 1 . 2 1 Rt 20 )20( . 1 1 1 )0( 453 C|axx|lnCa|x|arsh|x|xaxdx,CaxxlnCaaxxlnCaxxln CaxxlnCalnadaxdxx,xax,axC|axx|ln|aaxx|ln| ttantsec|lnaxdxaax|BC|AC|ttan,axtcostsecax|AC| ,x|AB|a|

42、BC| , tBABCC |tantsect|ln sectdtdttantatantsectaaxdx tantaaxt tanta1tsecaax tantdtsectadxtsectax,axaxax|xaxf(x)a C|axx|lnCa|x|arsh|x|xaxdx.22122522422242242242222222222222222222222222222122+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=，可写成综合讨论可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证法Cttantseclntdtsec+=| 87 ：公式24- 25 - 2 1

43、 | | |1)( | 1 . 2 | . 1 1 2 )0( 45 C|axx|lnCa|x|arsh|x|xaxdx,CaxxlnCaaxxlnCaxxln CaxxlnCalnadaxdxx,xax,ax CaxxlnC1axaxlnCaxarchCtdtdtshtashtaaxdxshtdtadx,shtaatchaaxaxarcht0)(tchtax,axaxax|xaxf(x)a C|axx|lnCa|x|arsh|x|xaxdx.221225224222422422422222232222122222222222122+=+=+=+=+=+=+=+=+=，可写成综合讨论可知由讨论

44、即时，令即当则，可设时当或的定义域为被积函数：证法25- 26 -Caxaxaxdx,CaxaxaxdxxCaaadadaxdxx,xax,axCaxaxaxdxxaxtsinax|AC| ,x|AB|a|BC| , tBABCCtsinasintdtsinadttsintcosadttsintcostcosa dtttansectadtttanatantsectaaxdx ttanaaxtantt ttanaax tantdtsectadxtsectax,axaxax|xaxf(x)a Caxaxaxdx.222222222222222222222222222222222222+=+=+=+

45、=23232333232222222232333333333323)( 2 1 )( )()( 1 )()( . 2 )( Rt 1 11 111 1)( )( , 0 20 )( )20( . 1 )(1 )0( )( 46得：综合讨论代入得：将可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证明 )(211121 )()(21 )(21 )0( .47211222221221CaxCaxaxdaxdxaxdxaxxaCaxdxaxx222222222222+=+=+=：证明26- 27 - 1)( 2 1 1)( 1)( 1 )()( . 2 11)( Rt 11

46、11 1 )( )( 20 )( )20( . 1 )( )0( 1)( 48333333222232332333333 Caxdxaxx, CaxdxaxxxCadadadxaxxx,xax,axCaxCaxaadxaxxaxatcotax|AC| ,x|AB|a|BC| , tBABCCtcotatdtcscadttsinadtttantsecadttantsectattanasectdxaxx ttanasectaxxt ttanasectaaxx tantdtsectadxtsectax,axaxax|xaxxf(x)a Caxdxaxx.22222222222222222222222

47、222222222222222+=+=+=+=+=+=+=得：综合讨论代入得：将可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证明CaxxlnaaxxdxaxxCaxxlnaaxdxaCaxxlnaaxxdxaxdxaxadxaxdxaxaaxdxaxaaxdxaxxa Caxxlnaaxxdxaxx.22222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+= 22 45)( 53)( 22 1 )( )0( 22 49222222222222222得：由公式公式证明：27- 28 -Caxxlnaxxdxaxx ,Caxxlnaxx

48、CxaxlnalnaxxCxaxxaxlnaxxCxaxxaxxaxlnaxxdxaxxCaxxlnaxxdxaxxxCalnadadadxaxxx,xax,axCaxxlnaxxCaaxxlnaxxdxaxxaxtsecaaxttanxaxtsinax|AC| ,x|AB|a|BC| ,tBABCCtsecttanlntsinCtcostsinlntsinCtsintsinlntsinCtsintsinlntsinCtsinlntsinlntsintsindtsintsindtsintsindtsintsindtsintsintsindtsintsindtsintsindtsintsindt

49、sintsindtsintsindtsintsintsindtsintsindttcostsintcosdttcostsindttsintcostcosdtttantsecdttantsectattanatsecdxaxx ttanatsecaxxt ttanatsecaaxx tantdtsectadxtsectax,axaxax|xaxxf(x)a Caxxlnaxxdxaxx.2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+

50、=+=+=+= )( 2 1 1 2 )( )( )( )( )( 1 )()( . 2 )( , , Rt 1 1)(1( 211 11( 211 11 211 1 21 1 211 )1(1121) 1(1121 1 )1111(21 1 11 111 1 )11 1()(1 1 11 )( )( 20 )( )20( . 1 )( )0( )( 503223232323232232212212211222222222222222323323232323322323232得：综合讨论代入得：将可知由讨论即时，令即当则，中，可设在），则，可设时当或的定义域为被积函数：证明blognbloga

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