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1、1 第第 11 章章 随机事件随机事件及其及其概率概率 （1）排列组合公式)!(!nmmPnm= 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 )!( !nmnmCnm= 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 （2）加法和 乘 法 原理加法原理（两种方法均能完成此事） ：加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+nm+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m mn n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m
2、 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试 验 和 随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空 间 和 事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个
3、事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。为必然事件， 为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件的 关 系 与运算关系：如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分， （A发生必有事件B发生） ：BA 如果同时有BA ，AB ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成
4、的事件，称为A 与 B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 整 理12 -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。 运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率：=11iiiiAA BABA=，BABA= （7）概率的 公 理
5、 化定义 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件： 1 0P(A)1， 2 P() =1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有 =11)(iiiiAPAP 常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件A的概率。 （8）古典概型 1 n21,=， 2 nPPPn1)()()(21=。 设任一事件A，它是由m21,组成的，则有 P(A)=)()()(21m =)()()(21mPPP+ nm=基本事件总数所包含的基本事件数A= （9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界
6、区域来描述， 则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A， )()()(=LALAP。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。 （10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) （11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=时，P(B)=1- P(B) （12）条件概率 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称)()(APABP为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为=)/(ABP)()(APABP。 条件概率是概率的一种，所有概率的性
7、质都适合于条件概率。 23 例如 P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A) （13）乘法公式 乘法公式：)/()()(ABPAPABP= 更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有 21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP=21|(AAAPn)1nA。 （14）独立性 两个事件的独立性两个事件的独立性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP=， 则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有 )()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP= 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也
8、都相互独立。 必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。 多个事件的独立性多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 （15）全概公式 设事件nBBB,21满足 1nBBB,21两两互不相容，), 2 , 1(0)(niBPi=， 2niiBA1=， 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP+=。 （16）贝
9、叶斯公式 设事件1B，2B，nB及A满足 1 1B，2B，nB两两互不相容，)(BiP0，=i1，2，n， 2 niiBA1=，0)(AP， 则 =njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，n。 此公式即为贝叶斯公式。 )(iBP， （1=i，2，n） ，通常叫先验概率。)/(ABPi， （1=i，2，n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 （17）伯努利概型 我们作了n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； 34 每次试验是独立的
10、，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp =1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率， knkknnqpkPC=)(，nk, 2 , 1 , 0=。 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 （1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,， 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： ,|)(2121kkk
11、pppxxxxXPX=。 显然分布律应满足下列条件： （1）0kp，, 2 , 1=k， （2）=11kkp。 （2）连续型随机变量的分布密度 设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有 =xdxxfxF)()(， 则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1 0)(xf。 2 +=1)(dxxf。 （3）离散与连续型随机变量的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()(+= 积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP=)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 45
12、（4）分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数 )()(xXPxF= 称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。 )()()(aFbFbXaP= 可以得到 X 落入区间,(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。 分布函数具有如下性质： 1 , 1)(0 xF +x； 2 )(xF是单调不减的函数，即21xx 时，有 )(1xF)(2xF； 3 0)(lim)(=xFFx， 1)(lim)(=+xFFx； 4 )()0(xFxF=+，即)(xF是右连续的； 5 )0()()(=xFxFxXP。 对于离散型随机变量，=xxkkpxF)(； 对于连续型随机
13、变量，=xdxxfxF)()( 。 （5）八大分布 0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n, 2 , 1 , 0。 knkknnqpCkPkXP=)()(， 其中nkppq, 2 , 1 , 0, 10 ,1=，2 , 1 , 0=k， 则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或者 P()。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n ） 。 超几何分布 ),min(,2 , 1 , 0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM= 随机变量 X 服从参数为 n,N,M
14、的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 几何分布 , 3 , 2 , 1,)(1=kpqkXPk，其中 p0，q=1-p。 随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。 均匀分布 设随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数)(xf在a，b上为常数ab 1，即 =, 0,1)(abxf 其他， 则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。 分布函数为 =xdxxfxF)()( 当 ax1x2b 时，X 落在区间（21,xx）内的概率为 abxxxXxP=1221)(。 0， xb。 axb 67 指数分布 其中0，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。 X 的分布
15、函数为 记住积分公式： !0ndxexxn=+ 正态分布 设随机变量X的密度函数为 222)(21)(=xexf， +为常数， 则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为),(2NX。 )(xf具有如下性质： 1 )(xf的图形是关于=x对称的； 2 当=x时，21)(=f为最大值； 若),(2NX，则X的分布函数为 dtexFxt=222)(21)(。 。 参数0=、1=时的正态分布称为标准正态分布，记为) 1 , 0( NX，其密度函数记为 2221)(xex=，+x， 分布函数为 =xtdtex2221)(。 )(x是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
16、(-x)1-(x)且 (0)21。 如果X),(2N，则X) 1 , 0(N。 =1221)(xxxXxP。 =)(xf,xe 0 x, 0, 0 x, =)(xF,1xe 0 x, , 0 xXP。 （7）函数分布 离散型 已知X的分布列为 ,)(2121nnipppxxxxXPX=， )(XgY =的分布列（)(iixgy =互不相等）如下： ,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY=， 若有某些)(ixg相等，则应将对应的ip相加作为)(ixg的概率。 连续型 先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分
17、的求导公式求出 fY(y)。 第三章 二维随机变量及其分布 （1）联合分布 离散型 如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y） ， 则 称为离散型随机量。 设=（X，Y）的所有可能取值为), 2 , 1,)(,(=jiyxji，且事件=),(jiyx的概率为pij,称 ), 2 , 1,(),(),(=jipyxYXPijji 为=（X，Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X y1 y2 yj x1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j xi pi1 ijp 这里pij具有下面两个性质： （1）p
18、ij0（i,j=1,2, ）； （2）. 1=ijijp 89 连续型 对 于 二 维 随 机 向 量),(YX=， 如 果 存 在 非 负 函 数),)(,(+yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D=(X,Y)|axb,cyd有 =DdxdyyxfDYXP,),(),( 则称为连续型随机向量；并称 f(x,y)为=（X，Y）的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。 分布密度 f(x,y)具有下面两个性质： （1） f(x,y)0; （2） += . 1),(dxdyyxf （2）二维随 机 变 量的本质 )(),(yYxXyYxX= （3）联合分布函数 设
19、（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数 ,),(yYxXPyxF= 称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。 分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件)(,)(| ),(2121yYxXx1时，有 F（x2,y）F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y2) F(x,y1); （3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即 );0,(),(), 0(),(+=+=yxFyxFyxFyxF （4）. 1),(, 0),(),(),(=+=FxFyFF （5）对于，2121yyxx 0)()
20、()()(11211222+yxFyxFyxFyxF，. （4）离散型 与 连 续型的关系 dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，+= 910 （5）边缘分布 离散型 X 的边缘分布为 ), 2 , 1,()(=jipxXPPijjii； Y 的边缘分布为 ), 2 , 1,()(=jipyYPPijijj。 连续型 X 的边缘分布密度为 +=；dyyxfxfX),()( Y 的边缘分布密度为 .),()(+=dxyxfyfY （6）条件分布 离散型 在已知X=xi的条件下，Y 取值的条件分布为 ；=iijijppxXyYP)|( 在已知Y=yj的条件下，X 取值的条件分
21、布为 ,)|(jijjippyYxXP= 连续型 在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为 )(),()|(yfyxfyxfY=； 在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为 )(),()|(xfyxfxyfX= （7）独立性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y) 离散型 jiijppp= 有零不独立 连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形 二维正态分布 ,121),(2222121211221)(2)1(212+=yyxxeyxf 0 随机变量的函数 若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立， h,g 为连续函数
22、，则： h（X1，X2,Xm）和 g（Xm+1,Xn）相互独立。 特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。 例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。 1011 （8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 =其他, 0),(1),(DyxSyxfD 其中 SD为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）U（D） 。 例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。 y 1 D1 O 1 x 图 3.1 y 1 O 2 x 图 3.2 y d c O a b x 图 3.3 D2 1 D3 1112 （9）二维正态分布 设
23、随机向量（X，Y）的分布密度函数为 ,121),(2222121211221)(2)1(212+=yyxxeyxf 其中1| , 0, 0,21, 21是 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布， 记为（X，Y）N（).,2221, 21 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 即 XN（).(),22, 2211NY 但是若 XN（)(),22, 2211NY，(X，Y)未必是二维正态分布。 （10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ+= 对于连续型，fZ(z)dxxzxf+ ),( 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（2
24、22121,+） 。 n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 =iiiC， =iiiC222 Z=max,min(X1,X2,Xn) 若nXXX21,相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为)()()(21xFxFxFnxxx，则 Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为： )()()()(21maxxFxFxFxFnxxx= )(1 )(1 )(1 1)(21minxFxFxFxFnxxx= 1213 2分布 设 n 个随机变量nXXX,21相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 =niiXW12 的分布密度为 =. 0, 0, 0221)(21
25、22uueunufunn 我们称随机变量W服从自由度为n的2分布， 记为W)(2n，其中 .2012dxexnxn+= 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 2分布满足可加性：设 ),(2iinY 则 ).(2112kkiinnnYZ+= t 分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且 ),(),1 , 0(2nYNX 可以证明函数 nYXT/= 的概率密度为 2121221)(+=nntnnntf ).(+t 我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 Tt(n)。 )()(1ntnt= 1314 F 分布 设)(),(2212nYnX，
26、且 X 与 Y 独立，可以证明21/nYnXF =的概率密度函数为 2) （5）二 维随 机变 量的 数字 特征 期望 =niiipxXE1)( =njjjpyYE1)( +=dxxxfXEX)()( +=dyyyfYEY)()( 函数的期望 ),(YXGE ijijjipyxG),( ),(YXGE +dxdyyxfyxG),(),( 方差 =iiipXExXD2)()( =jjjpYExYD2)()( +=dxxfXExXDX)()()(2 +=dyyfYEyYDY)()()(2 1617 协方差 对于随机变量 X 与 Y， 称它们的二阶混合中心矩11为 X 与 Y 的协方差或相关矩，记为
27、),cov(YXXY或，即 ).()(11YEYXEXEXY= 与记号XY相对应， X 与 Y 的方差 D （X） 与 D （Y） 也可分别记为XX与YY。 相关系数 对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）0, D(Y)0，则称 )()(YDXDXY 为 X 与 Y 的相关系数，记作XY（有时可简记为） 。 |1， 当|=1 时 ，称 X 与 Y 完全相关：1)(=+=baYXP 完全相关=，时负相关，当，时正相关，当)0(1)0(1aa 而当0=时，称 X 与 Y 不相关。 以下五个命题是等价的： 0=XY； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+
28、D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 YYYXXYXX 混合矩 对于随机变量 X 与 Y，如果有)(lkYXE存在，则称之为 X 与 Y 的k+l阶混合原点矩，记为kl；k+l阶混合中心矩记为： .)()(lkklYEYXEXEu= （6）协 方差 的性质 (i) cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 1718 （7）独 立和 不相关 （i） 若随机变量 X 与 Y
29、相互独立，则0=XY；反之不真。 （ii） 若（X，Y）N（,222121） ， 则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。 第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 （1）大数定律 X 切比雪夫大数定律 设随机变量 X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 C 所界：D（Xi）C(i=1,2,),则对于任意的正数，有 . 1)(11lim11=niiniinXEnXnP 特殊情形：若 X1，X2，具有相同的数学期望 E（XI）=，则上式成为 . 11lim1=niinXnP 伯努利大数定律 设是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A
30、 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有 . 1lim=pnPn 伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即 . 0lim=pnPn 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大数定律 设 X1，X2，Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且 E（Xn）=，则对于任意的正数有 . 11lim1=niinXnP 1819 （2）中心极限定理 ),(2nNX 列维林德伯格定理 设随机变量 X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：), 2 , 1(0)(,)(2=kXDXEkk，则随机变量 nnXYnkkn=1
31、的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有 =xtnkknnndtexnnXPxF.21lim)(lim212 此定理也称为独立同分布独立同分布的中心极限定理。 棣莫弗拉普拉斯定理 设随机变量nX为具有参数 n, p(0pnpn时，则 ekppCkknkkn!)1 ( ).(n 其中 k=0，1，2，n，。 二项分布的极限分布为泊松分布。 第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布 （1）数理统 计 的 基本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体 （或母体） 。 我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量） 。 个体 总体中的每一个单元称为样品（或个
32、体） 。 1920 样本 我们把从总体中抽取的部分样品nxxx,21称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量， 一般用 n 表示。 在一般情况下，总是把样本看成是 n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，nxxx,21表示 n 个随机变量（样本） ；在具体的一次抽取之后，nxxx,21表示 n 个具体的数值（样本值） 。我们称之为样本的两重性。 样本函数和统计量 设nxxx,21为总体的一个样本，称 = （nxxx,21） 为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（nxxx,21）为一个统计量。 常见统计量及其性
33、质 样本均值 .11=niixnx 样本方差 =niixxnS122.)(11 样本标准差 .)(1112=niixxnS 样本 k 阶原点矩 =nikikkxnM1., 2 , 1,1 样本 k 阶中心矩 =nikikkxxnM1., 3 , 2,)(1 =)(XE，nXD2)(=， 22)(=SE，221)*(nnSE=, 其中=niiXXnS122)(1*，为二阶中心矩。 2021 （2）正态总 体 下 的四大分布 正态分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数 ).1 , 0(/Nnxudef t 分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样
34、本函数 ),1(/ntnsxtdef 其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。 分布2 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数 ),1() 1(222nSnwdef 其中) 1(2n表示自由度为 n-1 的2分布。 F 分布 设nxxx,21为来自正态总体),(21N的一个样本，而nyyy,21为来自正态总体),(22N的一个样本，则样本函数 ),1, 1(/2122222121nnFSSFdef 其中 ,)(11211211=niixxnS ;)(11212222=niiyynS ) 1, 1(21nnF表示第一自由度为11n，第二自由度为12n的 F
35、分布。 （3）正态总 体 下 分布的性质 X与2S独立。 第七章第七章 参数估计参数估计 2122 （1） 点估计 矩估计 设总体 X 的分布中包含有未知数m,21， 则其分布函数可以表成).,;(21mxF它的 k 阶原点矩), 2 , 1)(mkXEvkk=中也包含了未知参数m,21，即),(21mkkvv=。又设nxxx,21为总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为 =nikixn11 )., 2 , 1(mk= 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 =nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1)
36、,(,1),(,1),( 由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数),(21m即为参数（m,21）的矩估计量。 若为的矩估计，)(xg为连续函数，则)(g为)(g的矩估计。 2223 极 大 似然估计 当 总 体X为 连 续 型 随 机 变 量 时 ， 设 其 分 布 密 度 为),;(21mxf， 其 中m,21为 未 知 参 数 。 又 设nxxx,21为总体的一个样本，称 ),;(),(11122=nimimxfL 为样本的似然函数，简记为Ln. 当 总 体X为 离 型 随 机 变 量 时 ， 设 其 分 布 律 为),;(21mxpxXP=，则称 ),;(),;,(1111222
37、=nimimnxpxxxL 为样本的似然函数。 若似然函数),;,(2211mnxxxL在m,21处取到最大值，则称m,21分别为m,21的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。 miLiiin, 2 , 1, 0ln= 若为的极大似然估计，)(xg为单调函数，则)(g为)(g的极大似然估计。 （2） 估计量的评选标准 无偏性 设),(21nxxx=为未知参数的估计量。若 E （）=，则称 为的无偏估计量。 E（X）=E（X） ， E（S2）=D（X） 有效性 设),(2111nxxx=和),(2122nxxx=是未知参数的两个无偏估计量。若)()(21nnP 则称n为的一致估计量（
38、或相合估计量） 。 若为的无偏估计，且),(0)(nD则为的一致估计。 只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。 （3） 区间估计 置 信 区间 和 置信度 设总体X含有一个待估的未知参数。 如果我们从样本nxxx,21出发，找出两个统计量),(2111nxxx=与),(2122nxxx=)(21， 使 得 区 间,21以) 10(1KK或时否定H0，否则认为H0相容。 2526 两类错误 第一类错误 当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设）
39、，称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即 P否定H0|H0为真=； 此处的恰好为检验水平。 第二类错误 当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设） ，称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即 P接受H0|H1为真=。 两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。 但是， 当容量 n 一定时，变小，则变大；相反地，变小，则变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。 在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率， 即给定显著性水平。 大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真” 、而不愿“以真当假”时，则应把取得很小，如 0.01，甚至 0.001。反之，则应把取得大些。 单正态总体均值和方差的假设检验 条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 否定域 已知2 00:=H nxU/00= N（0，1） 21| uu 00:H 1uu 00:H ntt 00:H ) 1(1ntt 00:H ) 1(1nw 2020:H ) 1(2nw 27