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1、全国卷新课标数学理科（适用地区：吉林 黑龙江 山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古）本试卷包括必考题和选考题两部分，第 1-21 题为必考题，每个考生都必须作答.第 22题第 24 题，考生根据要求作答.一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A1,2,3,4,5，B(x,y)|x A,y A,x y A，则B中所含元素的个数为A.3【解析】选 D.B.6C.8D.10法一：按x y的值为 1，2，3，4 计数，共432110个；2法二：其实就是要在 1，2，3，4，5 中选出两个，大的是x，小的是y，共C510种选法.2.将 2
2、 名教师，4 名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有A.12 种B.10 种C.9 种D.8 种【解析】选 A.只需选定安排到甲地的 1 名教师 2 名学生即可，共C2C4种安排方案.3.下面是关于复数z 122的四个命题：1iP1:|z|2P2:z2 2iP4:z的虚部为1P3:z的共轭复数为1i其中的真命题为A.P2，P3B.P1，P2C.P2，P4D.P3，P4【解析】选 C.1i,z 2i.经计算，z 1i22x2y23a4.设F1,F2是椭圆E:221(a b 0)的左右焦点，P为直线x 上的一点，ab2F2
3、PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为A.12B.23C.34D.45【解析】选 C.画图易得,F2PF1是底角为30的等腰三角形可得PF2 F1F2，即2所以e 3ac 2c,2c3.a45.已知an为等比数列，a4 a7 2，a5a6 8，则a1 a10A.7【解析】选 D.,B.5C.5D.7a4 a7 2 a5a6 a4a7 8 a4 4,a7 2或a4 2,a7 4a1,a4,a7,a10成等,比数列，a1 a10 7.6.如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N 2)和A.A B为a1,a2,aN的和B.实数a1,a2,aN，输出A，B，则A B为a1,a2,aN的算术平均
4、数2C.A和B分别是a1,a2,aN中最大的数和最小的数D.A和B分别是a1,a2,aN中最小的数和最大的数【解析】选 C.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A.6B.9C.12D.18【解析】选 B.由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3 的三棱锥，11V 3 23 23 9.3228.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y 16x的准线交于A，B，两点，|AB|4 3，则的实轴长为A.2B.2 2C.4D.8【解析】选 C.2易知点4,2 3在x y a上，得a 4，2a 4.2229.已知 0，函数f(x)si
5、n(x)在(,)单调递减，则的取值范围是42C.(0,A.,1 52 4B.,1 32 412D.(0,2【解析】选 A.由22k12254443152k,kZ Z得，4k 2k,kZ Z，224 0.10.已知函数f(x)【解析】选 B.易知y ln(x1)x 0对x1,恒成立，当且仅当x 0时，取等号.11.已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为 1 的正三角形，1，则y f(x)的图像大致为ln(x1)xSC为球O的直径，且SC 2，则此棱锥的体积为A.26B.36C.23D.22【解析】选 A.易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍.显然O A
6、BC是棱长为1 的正四面体，其高为613622，故VOABC，VSABC 2VOABC334312612.设点P在曲线y 1xe上，点Q在曲线y ln(2x)上，则|PQ|的最小值为2B.A.1ln22(1ln2)C.1ln2D.2(1 ln2)【解析】选 B.11y ex与y ln(2x)互为反函数，曲线y ex与曲线y ln(2x)关于直线y x对称，22只需求曲线y 1x1e上的点P到直线y x距离的最小值的 2 倍即可.设点Px,ex，点221xex2.P到直线y x距离d 2令fxex x12，则f x1xe 1.由f x0得x ln2；由f x0得211xxexe x22，x ln
7、2，故当x ln2时，fx取最小值1ln2.所以d 22dmin1ln2.2所以|PQ|min 2dmin21ln2.二、填空题.本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.已知向量a a，b b夹角为45，且|a a|1，|2a a b b|10，则|b b|.【解析】3 2.由已知得，|2a a b b|2a a b b 4a a 4a a b+b+b b 4 a a 4 a a b b cos45+b b222222 42 2 b b+b b10，解得b b 3 2.2x y 1x y 314.设x,y满足约束条件则Z x2y的取值范围为.x 0y 0【解析】3,3.画出可行域，易知当直线
8、Z x2y经过点1,2时，Z取最小值3；当直线Z x2y经过点3,0时，Z取最大值 3.故Z x2y的取值范围为3,3.15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的元件 1使用寿命（单位：小时）服从正态分布N(1000,502)，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为.【解析】元件 2元件 33.81，所以该部件的使用2由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000 小时的概率均为1213寿命超过 1000 小时的概率为11.228n16.数列an满足an1(1)an 2
9、n 1，则an的前 60 项和为.【解析】1830.n由an1(1)an 2n1得，a2ka2k1 4k 3a2k1a2k 4k 1,再由得,a2k1 a2k1 2由得,S偶S奇a2a1a4a3a6a5a60a5915911711173017702由得,S奇a3a1a7a5a11a9a59a59 21530所以,S60 S偶S奇 S偶S奇2S奇1770230 1830.三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）已 知a，b，c分 别 为ABC三 个 内 角A，B，C的 对 边，acosC 3asinC b c 0.()求A；()若a 2，ABC的面积为
10、3，求b，c.解：()法一:由acosC 3asinC bc 0及正弦定理可得sin AcosC 3sin AsinC sin B sinC 0,sin AcosC 3sin AsinC sinACsinC 0,3sin AsinC cos AsinC sinC 0,sinC 0,3sin Acos A1 0,12sinA1 0,sinA,6620 A，A6 A656，66A 3a2b2c2法二:由正弦定理可得asinC csin A，由余弦定理可得cosC.2aba2b2c23csin Abc 0，再由acosC 3asinC bc 0可得，a2ab2222即a b c 2 3bcsin A
11、2b 2bc 0，a2b2c2 2 3bcsin A2b22bc 0b2c2a23sin A 1，即3sin Acos A 1，2sinA1，62bc1sinA，62A0 A，6 A656，66A 3()13bc 3，bc 4，SABC3，bcsin A 243解得b c 2.a 2,A，a b c 2bccos A b c bc 4，b c 8.222222218.（本小题满分 12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.()若花店某天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（
12、单位：枝，nN）的函数解析式；()花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量 n频数1410152016161716181519132010以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由.解：()y 10n80,n 15（nN）；80,n 16()（）若花店一天购进16 枝玫瑰花，X的分布列为607080X0.10.20.7PX的数学期望EX=600.1+70
13、0.2+800.7=76，X的方差DX=(60-76)20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44.（）若花店计划一天购进17 枝玫瑰花，X的分布列为XP550.1650.2750.16850.54X的数学期望EX=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4，因为 76.476，所以应购进 17 枝玫瑰花.19.（本小题满分 12 分）AC BC 如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，()证明：DC1 BC()求二面角A1 BD C1的大小.1AADC1 BDD是棱AA1的中点，1，2()证 明：设AC BC 1AA1 a，2直 三 棱 柱ABC A1B1C
14、1，DC1 DC 2a，CC1 2a，DC12 DC2 CC12，DC1 DC.又DC1 BD，DC1DC D，DC1平面BDC.BC 平面BDC,DC1 BC.()由()知，DC12a，BC15a，又已知DC1 BD，BD 在RtABD中，BD 2223a.3a,AD a,DAB 90，AB 2a.AC BC AB，AC BC.法一：取A1B1的中点E，则易证C1E 平面BDA1，连结DE，则C1E BD，已知DC1 BD，BD 平面DC1E，BD DE，C1DE是二面角A1 BD C1平面角.在RtC1DE中，sinC1DE C1EC1D2a21，C DE 30.12a2即二面角A1 BD
15、 C1的大小为30.法二：以点C为坐标原点，为x轴，CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系C xyz.则A1a,0,2a,B0,a,0,Da,0,a,C10,0,2a.DB a,a,a,DC1a,0,a，设平面DBC1的法向量为n1x1,y1,z1，n DB ax1ay1az1 0则,不妨令x11,得y1 2,z11,故可取n11,2,1.n DC1 ax1az1 0同理,可求得平面DBA1的一个法向量n21,1,0.设n1与n2的夹角为,则cosn1n2n1n233,30.262由图可知,二面角的大小为锐角,故二面角A1 BD C1的大小为30.20.（本小题满分 12 分）设抛物线C
16、:x 2py(p 0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆2心，FA为半径的圆F交l于B、D两点()若BFD 90，ABD面积为4 2，求p的值及圆F的方程；()若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n的距离的比值.解:()由对称性可知,BFD为等腰直角三角形,斜边上的高为p,斜边长BD 2p.点A到准线l的距离d FB FD 2p.由SABD 4 2得,11 BD d 2p2p 4 2,22 p 2.圆F的方程为x y18.22()由对称性,不妨设点AxA,yA在第一象限,由已知得线段AB是圆F的在直径,ADB 90o,BD 2p
17、,yA直线m的斜率为kAF3p,代入抛物线C:x2 2py得xA3p.23pp3 0.直线m的方程为x3y 233px2x由x 2py得y,y.2pp2由y 3p p3x3np.故直线与抛物线C的切点坐标为得,x 3,6,3p33p 0.6直线n的方程为x3y 3p所以坐标原点到m，n的距离的比值为4 3.3p1221.（本小题满分 12 分）已知函数f(x)f(1)ex11 f(0)xx2.2()求f(x)的解析式及单调区间；()若f(x)12x axb，求(a 1)b的最大值2x1解:()f(x)f(1)e再由f(x)f(1)ex1 f(0)x,令x 1得,f(0)1,1 f(0)xx2,
18、令x 0得f 1 e.212x所以f(x)的解析式为f(x)e xx.2f(x)ex1 x,易知f(x)ex1 x是R R上的增函数,且f(0)0.所以f(x)0 x 0,f(x)0 x 0,所以函数f(x)的增区间为0,减区间为,0.12x axb恒成立,212x即hx f(x)x axb e a1xb 0恒成立，2()若f(x)hxexa1,(1)当a1 0时,hx0恒成立,hx为R R上的增函数,且当x 时,hx,不合题意;(2)当a1 0时,hx 0恒成立,则b 0,(a1)b 0;(3)当a1 0时,hx e a1为增函数,由hx0得x lna1,x故f(x)0 x lna1,f(x
19、)0 x lna1,当x lna1时,hx取最小值h lna1 a1a1lna1b.依题意有h lna1 a1a1lna1b 0,即b a1a1lna1,a1 0,a1b a1a1lna1,令ux x2x2lnxx 0,则ux 2x2xlnxx x12ln x,22u(x)0 0 x e,u(x)0 x e,所以当x e时,ux取最大值ue.e2故当a1综上,若f(x)e,b ee时,a1b取最大值.2212ex axb，则(a1)b的最大值为.22请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明
20、选讲如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点.若CF/AB，证明：()CD BC；()BCDGBD.证明：()D，E分别为ABC边AB，AC的中点，DE/BC.CF/AB,DF/BC,CF又D为AB的中点，CFBD且CF=BD，AD且CF=AD，CD AF.CF/AB，BC AF.CD BC.()由()知，BCGF，GB CF BD，BGD BDG DBC BDCBCDGBD.23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是x 2cos（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半y 3sin轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极
21、坐标方程是 2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,()点A，B，C，D的直角坐标；3).()设P为C1上任意一点，求|PA|PB|PC|PD|的取值范围.2222解：()依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为(2,3)、(2,5411)、(2,)、(2,).636所以点A，B，C，D的直角坐标分别为(1,3)、(3,1)、(1,3)、(3,1)；()设P2cos,3sin，则|PA|PB|PC|PD|222212cos223 3sin 2 3 2cos213sin212cos 3 3sin 23 2cos213sin216cos236sin2
22、163220sin232,52.所以|PA|PB|PC|PD|的取值范围为32,52.222224.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数f(x)|x a|x2|.()当a 3时，求不等式f(x)3的解集；()f(x)|x 4|的解集包含1,2，求a的取值范围.解：()当a 3时，不等式f(x)3|x3|x2|3x 22 x 3x 3或或 x3 x2 3 x3 x2 3x3 x2 3 或x 4.所以当a 3时，不等式f(x)3的解集为x x 1或x 4.()f(x)|x4|的解集包含1,2，即|xa|x2|x4|对x1,2恒成立，即|xa|2对x1,2恒成立，即2a x 2a对x1,2恒成立，2a 1所以，即3 a 0.2a 2所以a的取值范围为3,0.