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1、绝密绝密启用前启用前20192019 年普通高等学校招生全国统一考试真题年普通高等学校招生全国统一考试真题理科数学理科数学本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
2、位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=x|x1000的最小偶数n，那么在填入AA1 000 和 n=n+1BA1 000 和 n=n+2CA1 000 和 n=n+1DA1 000 和 n=n+29已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin(2x+2)，则下面结论正确的是3个单位长度，6A 把 C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标
3、不变，再把得到的曲线向右平移得到曲线 C2B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长12度，得到曲线 C2C 把 C1上各点的横坐标缩短到原来的得到曲线 C2D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的度，得到曲线 C210已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16B14C12D101倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，261倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长21211设 xy
4、z 为正数，且2x 3y 5z，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x100且该数列的前N 项和为2 的整数幂.那么该款软件的激活码是A440B330C220D110二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 a a，b b 的夹角为 60，|a a|=2，|b b|=1，则|a a+2 b b|=.x2y 114设 x，y 满足约束条件2x y 1，则z 3x2y的最小值为.x y 0 x2y215已知双曲线C：221（a0，b0）的右顶点为A，以A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双ab曲线 C 的一条渐近线交于M、N 两点。若MAN=6
5、0，则 C 的离心率为_。16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F 重合，得到三棱锥。当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_。三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）a2AB
6、C 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为3sin A（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC 的周长.18.（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且BAP CDP 90.（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD 90，求二面角 A-PB-C 的余弦值.19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,)（1）假设生产
7、状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X 1)及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.9510.2610.129.919.969.9610.019.229.929.9810.049.95210.1310.0210.0410.0511611611622xi 9.97，s 经计算得x(xi x)(xi16x2)2 0.212，其中xi为1
8、6i116i116i1抽取的第i个零件的尺寸，i 1,2,16，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需用样本平均数x作为的估计值 3,3)之外的学科网数据，对当天的生产过程进行检查？剔除(用剩下的数据估计和（精确到 0.01）2附：若随机变量Z服从正态分布N(,)，则P(3 Z 3)0.997 4，0.997 416 0.959 2，0.008 0.0920.（12 分）33x2y2已知椭圆 C：22=1（ab0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中22ab恰有三点在椭圆 C 上.（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于
9、A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点.21.（12 分）x2x已知函数（f x)ae+(a2)e x.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求 a 的取值范围.（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x 3cos,在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（为参数），直线 l 的参数方程为y sin,x a 4t,（t为参数）.y 1t,（1）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为1
10、7，求 a.23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数 f（x）=x2+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取值范围.20192019 年新课标年新课标 1 1 理数答案理数答案1.A2.B3.B4.C5.D6.C7.B8.D9.D10.A11.D12.A13.2 314.515.2 3316.4 151a21a17.解：（1）由题设得acsin B，即csin B.23sin A23sin A1sin A.sinCsin B 23sin A2故sin BsinC.3由正弦定理
11、得（2）由题设及（1）得cosBcosC sin BsinC ,，即cos(BC)所以BC 121.22，故A.331a2由题设得bcsin A，即bc 8.23sin A2由余弦定理得b2c2bc 9，即(bc)3bc 9，得bc 33.故ABC的周长为333.18.解：（1）由已知BAPCDP90，得 ABAP，CDPD.由于 ABCD，故 ABPD，从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.（2）在平面PAD内做PF AD，垂足为F，由（1）可知，AB 平面PAD，故AB PF，可得PF 平面ABCD.|AB|为单位长，以F为坐标原点，建立如图所示的空间
12、直角坐标系F xyz.FA的方向为x轴正方向，由（1）及已知可得A(2222,1,0).,0,0)，P(0,0,)，B(,1,0)，C(2222所以PC (2222,1,)，CB (2,0,0)，PA (,0,)，AB (0,1,0).2222设n n (x,y,z)是平面PCB的法向量，则22n nPC 0 x y z 0，即2，22x 0n nCB 0可取n n (0,1,2).设m m (x,y,z)是平面PAB的法向量，则22m mPA 0 xz 0，即 2，2y 0m m AB 0可取n n (1,0,1).则cosn nm m3，|n n|m m|33.3所以二面角APBC的余弦值
13、为19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为 0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)之外的概率为 0.0026，故X B(16,0.0026).因此P(X 1)1 P(X 0)10.9974 0.0408.X的数学期望为EX 160.00260.0416.（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有 0.0026，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程
14、的方法是合理的.0.212，由样本数据可以 9.97，的估计值为（ii）由x 9.97,s 0.212，得的估计值为 3,3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.看出有一个零件的尺寸在(3,3)之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为剔除(估计值为 10.02.1(169.979.22)10.02，因此的15xi1162i 3,3)之外的数据 9.22，剩下数据的样160.2122169.9721591.134，剔除(本方差为1(1591.1349.2221510.022)0.008，15因此的估计值为0.008 0.09.20.（12 分）解：（1）由于P3，P4两点关于 y 轴对称，故由
15、题设知C 经过P3，P4两点.又由1113222知，C 不经过点 P1，所以点 P2在 C 上.2aba4b 112a 4b2因此，解得2.13b 11224bax2故 C 的方程为 y21.4（2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2，4t2如果 l 与 x 轴垂直，设l：x=t，由题设知t 0，且|t|2，可得A，B 的坐标分别为（t，），（t，24t2）.24t224t2 2 1，得t 2，不符合题设.则k1 k22t2tx2从而可设 l：y kx m（m 1）.将y kx m代入 y21得4(4k21)x28kmx 4m24 0由题设可知=16(4k2m21)0.4
16、m248km设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=2，x1x2=.24k 14k 1y 1y21而k1 k21x1x2kx1 m 1kx2 m 1x1x22kx1x2(m 1)(x1 x2).x1x2由题设k1 k2 1，故(2k 1)x1x2(m 1)(x1 x2)0.4m248km即(2k 1)2(m1)2 0.4k 14k 1m1解得k .2当且仅当m 1时，0，欲使 l：y 所以 l 过定点（2，1）m 1m 1x m，即y 1(x 2)，2221.解：（1）f(x)的定义域为(,)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)，（）若a 0，则f(x)0
17、，所以f(x)在(,)单调递减.（）若a 0，则由f(x)0得x lna.当x(,lna)时，f(x)0；当x(lna,)时，f(x)0，所以f(x)在(,lna)单调递减，在(lna,)单调递增.（2）（）若a 0，由（1）知，f(x)至多有一个零点.（）若a 0，由（1）知，当x lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)1当a 1时，由于f(lna)0，故f(x)只有一个零点；当a(1,)时，由于1当a(0,1)时，1又f(2)ae41lna.a1lna 0，即f(lna)0，故f(x)没有零点；a1lna 0，即f(lna)0.a(a2)e22 2e22 0，故f(x)在(,l
18、na)有一个零点.设正整数n0满足n0 ln(1)，则f(n0)e0(ae0 a 2)n0 e0n0 20 n0 0.由于ln(1)lna，因此f(x)在(lna,)有一个零点.综上，a的取值范围为(0,1).22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）3annnn3ax2 y21.解：（1）曲线C的普通方程为9当a 1时，直线l的普通方程为x 4y 3 0.21x x4y3 0 x 3225由x解得或.2y 0y 24 y 1 925从而C与l的交点坐标为(3,0)，(21 24,).25 25（2）直线l的普通方程为x4y a4 0，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为d|3co
19、s4sina4|.17当a 4时，d的最大值为a9a917，所以a 8；.由题设得1717a1a117，所以a 16.由题设得1717当a 4时，d的最大值为综上，a 8或a 16.、23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）解：（1）当a 1时，不等式f(x)g(x)等价于x x|x1|x1|4 0.当x 1时，式化为x23x4 0，无解；当1 x1时，式化为x2 x2 0，从而1 x1；当x 1时，式化为x2 x4 0，从而1 x 21 17.2所以f(x)g(x)的解集为x|1 x（2）当x1,1时，g(x)2.1 17.2所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等价于当x1,1时f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1 a 1.所以a的取值范围为1,1.