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1、怀柔区20122013学年度第二学期期末考试2013.7高二数学高二数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分.共 4 页，满分 150 分.考试时间 120 分钟.注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用 2B 铅笔将答题卡试卷类型（B）涂黑。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.第一部分第一部分 选择题选择题（共 50 分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，
2、共 5050 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的1若a 1,1,1，则a等于A.2B.2 C.3 D.32复数1i1iB1 CiD1Ai3 函数y x21的极值点为A2 B0 C1 D24若a a(1,2,3)，b b(2,a1,a21)，则“a1”是“a ab b”的3B必要不充分条件D既不充分也不必要条件A充分不必要条件C充要条件25曲线f(x)x 3x在点P（1,4）处的切线方程为A5x y1 0 B5x y1 0 C5x y1 0 D5x y1 06从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一
3、排，则不同的排法共有A.2400 种7若函数f(x)B.24400 种C.1400 种D.14400 种13x kx2(2k 1)x 5在区间（2，3）上是减函数，则k的取值范围是3A1,)B0,1 C(,0 D2,)8如图，用长为 90，宽为 48 的长方形铁皮做一个无盖的长方体容器，先在四角分别截去都是相同的一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成，当长方体容器的容积为最大时，其高为A10 B30C36D10 或 36第二部分第二部分 非选择题非选择题（共 100 分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分分.139
4、C1510函数 y=1的导数是x11 从已有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是12若随机变量X的分布列为：则EX，DX 13若二项式(x 2n)的展开式中所有二项式系数的和等于256，则展开式中含x3的项为x14在北京举办的第七届中国花博会期间，某展区用同样的花盆摆成了若干如下图所示的图案，其中第个图案只一个花盆；第个，第个，的图案分别按图所示的方式固定摆放从第个图案的第一个花盆开始，以后每一个图案的花盆都自然摆放在它们的周围，若以an表示第 n 个图案的花盆总数，则a3；an（答案用 n 表示）三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6
5、 6 小题，共小题，共 8080 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本小题满分 13 分）如图，在空间直角坐标系 xoy 中，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，E1在 A1B1上，F1在 C1D1上，且 B1E1=D1F1=3A1B14（）求向量BE1，DF1的坐标；（）求 BE1与 DF1所成的角的余弦值16（本题满分 13 分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与122，投中得 1 分，投不中得 0 分.5（）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人都没有投中的概率；（）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和X的
6、数学期望17(本小题满分 13 分)已知函数f(x)x ax bxc，当x 1时，f(x)的极大值为 7；当x 3时，f(x)有极小值（）求a,b,c的值；（）求函数f(x)的极小值18(本小题满分 13 分)小明家住 H 小区，他在 C 区的光华中学上学，从家骑车到学校上学有L1，L2两条路线（如图），L路线上有 A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为遇到红灯的概率依次为321；L2路线上有 B1，B2两个路口，各路口233，45（）若走 L1路线，求最多遇到 1 次红灯的概率；（）若走 L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；（）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助小明从
7、上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由19（本小题满分 14 分）如图，已知四棱锥P ABCD的底面是矩形，PA 平面ABCD，AD=2，AB 1,E,F分别是线段AB.BC的中点.（）证明：PF FD；（）若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角A PD F的余弦值；（）在棱PA上是否存在点G，使得EG/平面PFD？若存在，请找出点G的位置并加以说明；若不存在，请说明理由.20（本小题满分 14 分）已知函数f(x)ax12eb(a1)ln x,(a,bR)，g(x)xxe2（）若函数f(x)在x 2处取得极小值 0，求a,b的值；2e,e（）在（）的条件下，求证：对任意x1,
8、x2，总有f(x1)g(x2)；（）求函数f(x)的单调递增区间参考答案及评分标准参考答案及评分标准2013.7一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.题号答案1C2C3B4A5B6D7D8A二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分.9.10510.12.9111.210 x51132；13.16x14.19；3n 3n1416三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分.15（本小题满分 13 分）如图，在空间
9、直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，且 B1E1=D1F1=3A1B14（）求向量BE1，DF1的坐标；（）求 BE1与 DF1所成的角的余弦值解：（）B（1，1，0），E1（1，BE1(1,13，1），D（0，0，0），F1（0，,1)4413,1)(1,1,0)(0,1)4433DF1(0,1)(0,0,0)(0,1)-5分44（）|BE1|55337,|DF1|,BE1DF1 00 ()114444167BE1DF17-13分cos BE1,DF116|BE1|DF1|55254416（本题满分 13 分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与122，投中得 1
10、 分，投不中得 0 分.5（）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人都没有投中的概率；（）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和X的数学期望133解：（）依题意，甲、乙两人在罚球线各投球一次，两人都没有投中的概率为P 2510-5分（）X的可能取值为0,1,2133P(X 0)；251013121P(X 1)；25252121P(X 2)255所以EX 0311912-13分10251017(本小题满分 13 分)已知函数f(x)x3ax2bxc，当x 1时，f(x)的极大值为 7；当x 3时，f(x)有极小值（）求a,b,c的值；（）求函数f(x)的极小值解：（）由已知得f/(x)3x2
11、2axb f/(1)032ab 0a 3/f(3)0 276ab 0b 9-5分f(1)71abc 7c 2（）由（），f/(x)3(x1)(x3)，当1 x 3时，f/(x)0；当x 3时，f/(x)0故x 3时，f(x)取得极小值，极小值为f(3)25。-13分18(本小题满分 13 分)小明家住 H 小区，他在光华中学上学，从骑车到学校上学有 L1，L2两条路线（如图），L1路线上有 A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为红灯的概率依次为1；L2路线上有 B1，B2两个路口，各路口遇到2A1HB1A2L1L2B2A3C33，45（）若走 L1路线，求最多遇到 1 次红灯的概率
12、；（）若走 L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；（）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由解：（）设走 L1路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件，则P(A)=C3()C3所以走 L1路线，最多遇到 1 次红灯的概率为（）依题意，X的可能取值为 0，1，2012311121()2221-5分233933133339P(X=0)=(1)(1)，P(X=1)=(1)(1)，P(X=2)=45204510454520故随机变量X的分布列为：XP01211092092019927012-10分102020201（）设选择 L1路线遇到红灯次数
13、为Y，随机变量Y服从二项分布，YB(3,)，213所以EY 322EX 因为EX EY，所以选择 L2路线上班最好-13分19（本小题满分 14 分）如图，已知四棱锥P ABCD的底面是矩形，PA 平面ABCD，AD=2，AB 1,E,F分别是线段AB.BC的中点.（）证明：PF FD；（）若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角A PD F的余弦值；（）在棱PA上是否存在点G，使得EG/平面PFD？若存在，请找出点G的位置并加以说明；若不存在，请说明理由.解：（）证明：连接AF，则AF DF 222又AD 2，DF AF AD，2,DF AF又PA 平面ABCD，DF PA,又PAAF
14、A，DF 平面PAF DF PF.-5分PF 平面PAF（）因为四边形ABCD是矩形，PA 平面ABCD，则AB AD,PA AB,PA AD.如图建立空间直角坐标系.因为PA 平面ABCD，所以PBA是PB与平面ABCD所成的角，即PBA 45，所以PA AB 1，以A0,0,0,B1,0,0,F(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1)所以PF (1,1,1),DF (1,1,0)设平面PFD的法向量为n x,y,z，nPF 0，x y z 0由得，x y 0nDF 0令x 1，解得：y 1,z 2，所以n 1,1,2又因为AB 平面PAD，所以AB是平面PAD的法向量，易得AB
15、1,0,0，所以cos AB,n ABnAB n166114由图知，所求二面角A PD F的余弦值为6-10分6（）解法 1：在棱PA上存在点G，使得EG/平面PFD.设点P(0,0,a),G(0,0,b),则PF (1,1,a)，DF (1,1,0)因为E(,0,0)，则EG,0,b.22设平面PFD的法向量为m x,y,z，11mPF 0，x y az 0由得，x y 0mDF 0令x 1，解得：y 1,z 22，所以m 1,1,aa令mEG 0所以G(0,0,得12b1 0，即b a，2a41a).4从而满足AG 14AP的点G为所求-14分解法 2：过点E作EH/FD交AD于点H，则E
16、H/平面PFD且AH 14AD再过点H作HG/DP交PA于点G,则HG/平面PFD且AG 14AP，平面EHG/平面PFD,EG/PFD.从而满足AG 14AP的点G为所求 -14分20（本小题满分 14 分）已知函数f(x)ax1xb(a1)ln x,(a,bR)，g(x)2exe2.（）若函数f(x)在x 2处取得极小值 0，求a,b的值；（）在（）的条件下，求证：对任意x,x212e,e，总有f(x1)g(x2)；（）求函数f(x)的单调递增区间.解：（）函数f(x)的定义域为(0,)，f(x)a1a1x2x由题意得1af(2)a142 0f(2)2a1，2b(a1)ln 2 0a 13
17、12,b 2ln22.经检验符合题意.-5分（）f(x)113x23x2(x22)(x1)x2x2x22x2，当xe,e22时，f(x)0，所以f(x)在e,e2上单调递增，所以f(x)min f(e)e21e32ln22g(x)2e，当xe,e2时，g(x)0，g(x)在e,e2上 单 调 递 减，g(x)emax g(e)22.-因为f(x)31min g(x)max2ln2e 0，所以对任意x21,x2e,e，总有f(x1)g(x2)-10分所 以ax2(a1)x1(ax1)(x1).（）f(x)x2x2（1）当a 0时，由f(x)0得，0 x 1；（2）当a 0时，由f(x)0得，0 x 1；（3）当a 0时，（）若0 a 1，由f(x)0得，0 x 1或x 1；a（）若a 1，则f(x)0恒成立，（在0,1和1,上f(x)0，f(1)0），得x 0；（）若a 1，由f(x)0得，0 x 1或x 1.-13分a综上所述，当a 0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)；当0 a 1时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(,)；当a 1时，函数f(x)的单调递增区间为(0,)；当a 1时，函数f(x)的单调递增区间为(0,)和(1,).-14分1a1a