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1、20092009 年高考理科数学试题及答案年高考理科数学试题及答案-海南卷（同宁夏卷）海南卷（同宁夏卷）20092009 年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（理工农医类）数学（理工农医类）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）（1）已知集合 M=x|3x5,N=x|5x0,V=ST(B)A0,V=S+T（D）A0,V=S+T【解析】月总收入为 S,因此 A0 时归入 S,判断框内填 A0支出 T 为负数,因此月盈利 VST【答案】C（11）正六棱锥 PABCDEF 中，G 为 PB 的中点，则三棱锥 DGAC与三棱锥 PGAC 体积之比为（
2、A）1：1(B)1：2(C)2：1(D)3：2【解析】由于 G 是 PB 的中点,故 PGAC 的体积等于 BGAC 的体积在底面正六边形ABCDER 中BHABtan30而 BD3AB故 DH2BH于是 VDGAC2VBGAC2VPGAC【答案】C（12）若x1满足 2x+2=5,x2满足 2x+2log2(x1)=5,x1+x2xEFHADCB3AB3（A）57(B)3(C)(D)422【解析】由题意2x1 2x 512x2 2log2(x21)5所以2x1 52x1,x1 log2(52x1)即 2x1 2log2(52x1)令 2x172t,代入上式得 72t2log2(2t2)22l
3、og2(t1)52t2log2(t1)与式比较得 tx2于是 2x172x2【答案】C（13）某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 980h，1020h，1032h，则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为h.【解析】x 9801+10202+1032110134【答案】1013（14）等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S35,则a41【解析】Snna1n(n1)d2S5
4、5a110d,S33a13d6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4【答案】13（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。则该几何体的体积为m【解析】这是一个三棱锥,高为 2,底面三角形一边为4,这边上的高为 3,1体积等于243463【答案】4x2y21的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则（16）以知 F 是双曲线412PF PA的最小值为。【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F(4,0),于是由双曲线性质|PF|PF|2a4而|PA|PF|AF|5两式相加得|PF|PA|9,当且仅当 A、P、F三点
5、共线时等号成立.【答案】9（17）（本小题满分 12 分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为75，30，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为60，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到 0.01km，00021.414，62.449）(17)解:在ABC 中，DAC=30,ADC=60DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=B
6、A，5 分ABAC在ABC 中，sinBCAsinABC,ACsin603 2 6,即 AB=sin1520因此，BD=3 2 6 0.33km。20故 B，D 的距离约为 0.33km。12 分（18）（本小题满分 12 分）如图，已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M，N 分别为 AB，DF 的中点。（I）若平面 ABCD 平面 DCEF，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。（18）（I）解法一：取 CD 的中点 G，连接 MG，NG。设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2，则 MGCD，MG=2
7、，NG=2.因为平面 ABCD平面 DCED，所以 MG平面 DCEF，可得MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角。因为MN=6，所以sinMNG=63为 MN 与平面DCEF 所成角的正弦值6 分解法二：设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2，以D 为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA 为 x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则 M（1,0,2）,N(0,1,0),可得MN=(1,1,2).又DA=（0，0，2）为平面 DCEF 的法向量，MN DA6 可得cos(MN,DA)3|MN|DA|所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为MN,DA 63cos6 分()假设
8、直线 ME 与 BN 共面，8 分则 AB平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN由已知，两正方形不共面，故AB平面 DCEF。又 AB/CD，所以 AB/平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线，所以 AB/EN。又 AB/CD/EF，所以 EN/EF，这与 ENEF=E 矛盾，故假设不成立。所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线.12 分（19）（本小题满分 12 分）1某人向一目射击 4 次，每次击中目标的概率为。该目标分为 3 个不同的部分，第一、二、3三部分面积之比为 1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。
9、（）设 X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；（）若目标被击中2 次，A 表示事件“第一部分至少被击中1 次或第二部分被击中2 次”，求 P（A）（19）解：（）依题意 X 的分列为01234P1681328124818811816 分（）设 A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，i=1，2.B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”，i=1，2.依题意知 P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，A A1B1 A1B1 A1B1 A2B2,所求的概率为P(A)P(A1B1)P(A1B1)P（A1B1）P(A2B2)P(A（A1)P(B1)P(A2)
10、P(B2)1B1)P(A1)P(B1)P0.10.9 0.90.10.10.10.30.3 0.2812 分（20）（本小题满分 12 分）已知，椭圆 C 过点 A(1,)，两个焦点为（1，0），（1，0）。（1）求椭圆 C 的方程；（2）E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。（20）解：（）由题意，c=1,可设椭圆方程为32193221b b 3，解得，（舍去）2241b4bx2y21。4 分所以椭圆方程为433x2y21得（）设直线 AE 方程为：y k(x 1)，代入2433(3 4k2)x2 4k
11、(3 2k)x 4(k)212 023设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A(1,)在椭圆上，所以234(k)212xF223 4k3yE kxE k8 分2又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以K 代 K，可得34(k)212xF223 4k3yE kxE k2所以直线 EF 的斜率KEFyF yEk(xF xE)2k1xF xExF xE21。12 分2即直线 EF 的斜率为定值，其值为（21）（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)=12x ax+(a1)ln x，a 1。2（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）证明：若a 5，则对任意 x1，x2(0,)，
12、x1x2，有(21)解：(1)f(x)的定义域为(0,)。f(x1)f(x2)1。x1 x2a1x2axa1(x1)(x1a)f(x)xa2 分xxx（i）若a 11即a 2,则(x1)2f(x)x故f(x)在(0,)单调增加。(ii)若a 11,而a 1,故1 a 2,则当x(a1,1)时，f(x)0;当x(0,a1)及x(1,)时，f(x)0故f(x)在(a1,1)单调减少，在(0,a1),(1,)单调增加。(iii)若a 11,即a 2,同理可得f(x)在(1,a1)单调减少，在(0,1),(a1,)单调增加.(II)考虑函数g(x)f(x)x12x ax(a1)ln x x2则g(x)
13、x(a1)a1a1 2 x(a1)1(a11)2xx由 于 1a5,故g(x)0，即 g(x)在(4,+)单 调 增 加，从 而 当x1 x2 0时 有g(x1)g(x2)0，即f(x1)f(x2)x1 x2 0，故f(x1)f(x2)1，当0 x1 x2x1 x2时，有f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)12 分 1x1 x2x2 x1请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22）（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明讲已知ABC中，AB=AC,D 是ABC 外接圆劣弧AC上的点
14、（不与点 A,C 重合），延长 BD 至 E。（1）求证：AD 的延长线平分CDE；（2）若BAC=30，ABC 中 BC 边上的高为 2+3，求ABC 外接圆的面积。（22）解：（）如图，设 F 为 AD 延长线上一点A，B，C，D 四点共圆，CDF=ABC又 AB=ACABC=ACB,且ADB=ACB,ADB=CDF,对顶角EDF=ADB,故EDF=CDF,即 AD 的延长线平分CDE.（）设 O 为外接圆圆心，连接 AO 交 BC 于 H,则 AHBC.连接 OC,A 由题意OAC=OCA=15,ACB=75,000OCH=60.设圆半径为 r,则 r+（23）（本小题满分 10 分）选
15、修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为cos（为 C 与 x 轴，y 轴的交点。（1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M,N 的极坐标；（2）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程。（23）解：3r=2+3,a 得 r=2,外接圆的面积为4。23）=1，M,N 分别（）由cos()1得313(cossin)122从而 C 的直角坐标方程为13x y 122即x 3y 22 32 3，所以N(,)332 0时，2，所以M(2,0)2时，（）M 点的直角坐标为（2，0）N 点的直角坐标为(0,2 3)3(1.
16、32 3),则P点的极坐标为(,),336所以 P 点的直角坐标为所以直线 OP 的极坐标方程为,(,)（24）（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数f(x)|x1|xa|。（1）若a 1,解不等式f(x)3；（2）如果x R,f(x)2,求a的取值范围。（24）解：（）当 a=1 时，f(x)=x1+x+1.由 f(x)3 得x1+x+1|3x1 时，不等式化为1x1x3 即2x3不等式组x 13的解集为，+),2f(x)33232综上得，f(x)3的解集为(,)5 分（）若a 1,f(x)2|x1|，不满足题设条件2xa1,x a若a 1,f(x)1a,a x 1,，f(x)的最小值为1a2x(a1),x 12xa1,x 1若a 1,f(x)11,1 x a,，f(x)的最小值为a 12x(a1),x a所 以xR,f(x)2的 充 要 条 件 是|a-1|2，从 而a的 取 值 范 围 为(,1 3,)