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1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）数学（文科）第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求求（1）【2015 年福建，文 1，5 分】若（，是虚数单位），则的值分别等于（1i23iiab,a bRi,a b）（A）3,-2 （B）3,2 （C）3,-3 （D）-1,4【答案】A【解析】由已知得，故，故选 A32iiab3a 2b
2、（2）【2015 年福建，文 2，5 分】若集合，则等于（）22Mxx 0,1,2N MNI（A）（B）（C）（D）010,1,2 0,1【答案】D【解析】由交集定义得，故选 D 0,1MN I（3）【2015 年福建，文 3，5 分】下列函数为奇函数的是（）（A）（B）（C）（D）yxxyecosyxxxyee【答案】D【解析】函数和是非奇非偶函数；是偶函数；是奇函数，故选yxxyecosyxxxyeeD（4）【2015 年福建，文 4，5 分】阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序若输入的值为x1，则输出的值为（）y（A）2 （B）7 （C）8 （D）128【答案】C【解析】该程序表示分段
3、函数，则，故选 C2292xxyxx 1918f（5）【2015 年福建，文 5，5 分】若直线过点，则的最小值等于（）10,0 xyabab 1,1ab（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】C【解析】由已知得，则，因此，所以，111ab112baabababab0,0ab2bab aaba b故，当，即时取等号，故选 C4abbaab2ab（6）【2015 年福建，文 6，5 分】若，且为第四象限角，则的值等于（）5sin13 tan（A）（B）（C）（D）125125512512【答案】D【解析】由，且为第四象限角，则，则，故选 D5sin13 212cos1sin13sin5ta
4、ncos12（7）【2015 年福建，文 7，5 分】设，若，则实数的值等于（）1,2a r 1,1b rcakbrrrbcrrk（A）（B）（C）（D）32535332【答案】A2【解析】由已知得，因为，则，因此，解得，1,21,11,2ckkkrbcrr0b cr r120kk 32k 故选 A（8）【2015 年福建，文 8，5 分】如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为且点ABCDAxB1,0C与点在函数的图像上若在矩形内随机取一点，则该点取自D 101102xxf xxxABCD阴影部分的概率等于（）（A）（B）（C）（D）16143812【答案】B【解析】由已知得，则矩形面积为，阴影部
5、分面积为1,0B1,2C2,2D 0,1FABCD326，133 122 故该点取自阴影部分的概率等于故选 B 31264（9）【2015 年福建，文 9，5 分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）（A）（B）（C）（D）82 2112 2142 215【答案】C【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为 2 的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为 1,2，直角腰长为 1，斜腰为底面积为，侧面积为则其表面212332积为，所以该几何体的表面积为，故选 C2242 282 2112 2（10）【2015 年福建，文 10，5 分】变量满足约束条件，若,x y02
6、200 xyxymxy的2zxy最大值为 2，则实数等于（）m（A）-2 （B）-1 （C）1 （D）2【答案】C【解析】将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时，不满足题意；当2yxzz0m 时，画出可行域，如图所示，其中显然不是最优解，故只能0m 22,21 21mBmm0,0O是最优解，代入目标函数得，解得，故选 C22,21 21mBmm4222121mmm1m（11）【2015 年福建，文 11，5 分】已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为，2222:10 xyEababFM直线交椭圆于两点若，点到直线 的距离不小于，则椭圆:340lxyE,A B4AFBFMl45的离心
7、率的取值范围是（）E（A）（B）（C）（D）30,230,43,123,14【答案】A【解析】设左焦点为，连接，则四边形是平行四边形，故，所以F1AF1BF1BF AF1AFBF，142AFAFax123412341234123BOC3所以，设，则，故，从而，所以椭圆的2a 0,Mb4455b1b 221ac203c03cE离心率的取值范围是，故选 A30,2（12）【2015 年福建，文 12，5 分】“对任意，”是“”的（）0,2xsin coskxxx1k（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当，构造函数，则故在1k s
8、in cossin22kkxxx sin22kf xxx cos210fxkx f x单调递增，故，则；当时，不等式0,2x 022f xf sin coskxxx1k 等价于，构造函数，则，故在sin coskxxx1sin22xx 1sin22g xxx cos210g xx g x递增，故，则综上所述，“对任意，0,2x 022g xg sin cosxxx0,2x”是“”的必要不充分条件，故选 Bsin coskxxx1k 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 90 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分把答案填在答题卡
9、的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置（13）【2015 年福建，文 13，5 分】某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为 【答案】25【解析】由题意得抽样比例为，故应抽取的男生人数为4519002015002520（14）【2015 年福建，文 14，5 分】若中，则等于 ABC3AB 45A75CBC【答案】2【解析】由题意得由正弦定理得，则，所以18060BAC sinsinACBCBAsinsinACABCB232232BC（15）【2015 年福建，文 15，5 分】若函数满足
10、，且在单调 2x af xaR11fxfx f x,m 递增，则实数的最小值等于 m【答案】1【解析】由得函数关于对称，故，则，由复合函数单调性得11fxfx f x1x 1a 12xf x在 f x递增，故，所以实数的最小值等于 11,1m m（16）【2015 年福建，文 16，5 分】若是函数的两个不同的零点，且,a b 20,0f xxpxq pq这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于 ,2a b pq【答案】9【解析】由韦达定理得，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比abpa bq0,0ab,2a b 2中项，故，当适当排序后成等差数列时，必不是等差中
11、项，当是等差中项时，4a bq4ba2a4，解得，；当是等差中项时，解得，综上所述，422aa1a 4b 4a82aa4a 1b，所以5abp9pq三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 题，共题，共 74 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（17）【2015 年福建，文 17，12 分】等差数列中，na24a 4715aa（1）求数列的通项公式；na（2）设，求的值22nanbn12310bbbbL解：（1）设等差数列的公差为由已知得，解得 nad 11143615adadad131ad所以112naandn（2）由（1）可得所以2nnbn
12、 2310231012310212223210222212310bbbbLLLL1011112 121 101022552532101122（18）【2015 年福建，文 18，12 分】全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示组号分组频数14,5225,6836,7747,83（1）现从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合4,57,8指数在的概率；7,8（2）根据
13、分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数解：解法一：（1）融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，；融合指数在内的“省级卫视新闻台”记7,81A2A3A4,5为 ，从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是：1B2B4,57,8，12,A A，共 1013,A A23,A A11,A B12,A B21,A B22,A B31,A B32,A B12,B B个其中，至少有 1 家融合指数在内的基本事件是：，7,812,A A13,A A23,A A11,A B，共 9 个所以所求的概率12,A B21,A B22,A B31,A B32,A B91
14、0P（2）这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于28734.55.56.57.56.0520202020解法二：（1）融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，；融合指数在内的“省级卫视新闻台”记7,81A2A3A4,5为，从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是：1B2B4,57,8，12,A A，共 1013,A A23,A A11,A B12,A B21,A B22,A B31,A B32,A B12,B B个其5中，没有 1 家融合指数在内的基本事件是：，共 1 个所以所求的概率7,812,B B1911010P （2）同解法一（19）【2015
15、年福建，文 19，12 分】已知点为抛物线的焦点，点 在抛物线上，F2:20E ypx p2,AmE且3AF（1）求抛物线的方程；E（2）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线1,0G AFEBF相GA切的圆，必与直线相切GB解：解法一：（1）由抛物线的定义得因为，即，解得，22pAF 3AF 232p2p 所以抛物线的方程为 E24yx（2）因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设2,Am2:2E ypx2 2m 2,2 2A由，可得直线的方程为由，得，2,2 2A1,0FAF2 21yx22 214yxyx22520 xx解得或，从而又，所以，2x 12x 1,22B1
16、,0G 2 202 2213GAk，202 21312GBk 所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，0GAGBkkAGFBGF FGAGB故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切FGAGB解法二：（1）同解法一（2）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为因为点在抛物线上，所以FGAr2,Am2:4E yx，由抛物线的对称性，不妨设由，可得直线的方程为2 2m 2,2 2A2,2 2A1,0FAF由，得，解得或，从而又2 21yx22 214yxyx22520 xx2x 12x 1,22B，1,0G 故直线的方程为，从而GA2 232 20 xy2 22 24 28917r又直线的方程为，所以点到
17、直线的距离GB2 232 20 xyFGB2 22 24 28917rr这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切FGAGB（20）【2015 年福建，文 20，12 分】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，ABOCO,A B垂直于圆所在的平面，且POO1POOB（1）若为线段的中点，求证平面；DACAC PDO（2）求三棱锥体积的最大值；PABC（3）若，点在线段上，求的最小值2BC EPBCEOE解：解法一：（1）在中，因为，为的中点，所以又垂直于圆所在的平面，所AOCOAOCDACACODPOO以因为，所以平面POACDOPOOIAC PDO（2）因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，
18、且最大值为 1COCOABCAB6又，所以面积的最大值为又因为三棱锥的高，2AB ABC12 112 PABC1PO 故三棱锥体积的最大值为PABC111 133 （3）在中，所以同理，POB1POOB90POB22112PB 2PC 所以在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，PBPCBCPABCBCPPBBC P 使之与平面共面，如图所示当，共线时，取得最小值ABPOECCEOE又因为，所以垂直平分，即为中点从而OPOBC PC BOCPBEPB，亦即的最小值为2626222OCOEECCEOE262解法二：（1）（2）同解法一（3）在中，所以，同理POB1POOB90POB45OPB22112P
19、B 2PC 所以，所以在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，PBPCBC60CPBPABCBCPPBBC P 使之与平面共面，如图所示当，共线时，取得最小值所以在中，ABPOECCEOEOC P 由余弦定理得：22123122 12cos 4560122 2232222OC 从而所以的最小值为26232OC CEOE262（21）【2015 年福建，文 21，12 分】已知函数 210 3sincos10cos222xxxf x（1）求函数的最小正周期；f x（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的 f x6a0a g x图象，且函数的最大值为 2 g x（i）求函
20、数的解析式；g x（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得0 x 00g x解：（1）210 3sincos10cos5 3sin5cos510sin52226xxxf xxxx所以函数的最小正周期 f x2T（2）（i）将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向下平移（）个单 f x610sin5yxa0a 位长度后得到的图象又已知函数的最大值为 2，所以，10sin5g xxa g x1052a解得所以13a 10sin8g xx（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的0 x 00g x正整数，使得，即由知，存在，使得0 x010sin8
21、0 x 04sin5x 435200304sin5由正弦函数的性质可知，当时，均有因为的周期为，00,x 4sin5x sinyx2所以当时，均有002,2xkkkZ4sin5x 因为对任意的整数，k 00022213kk所以对任意的正整数，都存在正整数，使得k002,2kxkk4sin5kx 7亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得0 x 00g x（22）【2015 年福建，文 22，14 分】已知函数 21ln2xf xx（1）求函数的单调递增区间；f x（2）证明：当时，；1x 1f xx（3）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有k01x 01,xx 1f xk x解：（1），
22、由得解得 2111xxfxxxx 0,x 0fx2010 xxx 1502x故的单调递增区间是 f x150,2（2）令，则有当时，所以在 1F xf xx0,x 21xFxx1,x 0Fx F x上单调递减，故当时，即当时，1,1x 10F xF1x 1f xx（3）由（2）知，当时，不存在满足题意1k 01x 当时，对于，有，则，从而不存在满足题意1k 1x 11f xxk x 1f xk x01x 当时，令，则有1k 1G xf xk x0,x 21111xk xGxxkxx 由得，解得，0Gx2110 xk x 2111402kkx2211412kkx当时，故在内单调递增21,xx 0Gx G x21,x从而当时，即，综上，的取值范围是21,xx 10G xG 1f xk xk,1