《2021七年级数学下册 3.1 认识三角形深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+误区警醒+知能提升训练+探究创新+迷你数学世界pdf） （新版）北师大版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021七年级数学下册 3.1 认识三角形深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+误区警醒+知能提升训练+探究创新+迷你数学世界pdf） （新版）北师大版.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、三角形情境导入神奇的三角形从古埃及的金字塔到现代的飞机,从宏观的建筑物到微小的分子结构,处处都有三角形的形象你玩过拼图游戏吗?那是用许多各种颜色的小拼板拼成一幅幅美丽的图画那些拼板有不少是形状相同、大小一样的不仅如此,只要你留心观察,就会发现我们周围有许多这类形状、大小完全相同的图形他们在几何学中具有特殊的意义,也是我们学习的重要内容这类图形有什么重要性质?如何判定两个图形是否属于这类图形?本章将以最简单的多边形 三角形为例研究这些问题我们已经证明了三角形中的一些结论,在本章中,证明将会发挥更大的作用,如判定两个三角形全等,证明两条线段相等和两个角相等等问题通过本章的学习,你的知识将进一步地丰
2、富起来,动手操作能力和逻辑推理能力将得到进一步提高相信你通过学习一定能利用全等知识拼出一幅幅美丽的图案本章将告诉你:三角形的概念和性质;三角形全等的判定;三角形全等知识的实际应用本章学习的难点是:如何判定两个三角形全等以及利用全等测距离考点聚集专题三角形的定义以及全等形的定义专题全等三角形的判定专题全等三角形的实际应用方法指路结合具体实例,进一步认识三角形的概念及其基本要素可以动手拼图来探讨构成三角形的条件,在三角形的角平线、高、中线的学习中,可以比较、观察、总结各自特点通过三角形三个内角之间的关系,将三角形按角进行分类,将此分类与按边分类进行比较通过实例理解全等的概念和特征,通过全等形的定义
3、来判断两个图形是否全等利用动手操作、拼图获取三角形全等的条件,利用模型了解三角形的稳定性(如可以做一个三角形木架,自己动手看能否使其移动),能用尺规作一个三角形,在合作交流中发现不足学会将实物转化为数学图形,利用此技能,可将三角形全等知识应用于实际距离的测量将直角三角形全等与一般三角形全等进行类比,由于“直角”是一个隐含的条件,直角三角形除具有一般三角形全等的判定,还具有一个独特的判定方法:HL,通过已知条件决定判定三角形全等使用哪一种方法 认识三角形学 习 目 标 导 航能记住三角形概念及其基本要素,掌握三条边、三个角之间的关系,会按边或角对三角形进行分类能说出三角形中线、角平分线、高的定义
4、,并且能画任意三角形的高线、中线、角平分线掌握三角形的内角和定理,并能运用定理解决实际问题教 材 知 识 详 析要点三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形三角形有三条边,三个内角,三个顶点,一般用“”表示、如“A B C”,顶点A所对的边B C用a表示,顶点B所对的边A C用b表示,顶点C所对的边A B用c表示如图 所示图 图 例如图,在图中共有个三角形精析:解法一:按三角形的构成情况分类计数()“单 个”的 三 角 形 有 三 个,分 别 是A B D,AD E,A E C;()由 两 个 三 角 形 组 成 的 三 角 形 有 两 个,分 别 是A B E
5、,AD C;()由三个三角形组成的三角形有一个,是A B C所以图中共有个三角形解法二:按顶点分类计数图中的三角形都有一个顶点A,其余个点,每两个与点A都能构成一个三角形,有以下几种情况:B与D,B与E,B与C,D与E,D与C,E与C所以图中共有个三角形解法三:按边分类计数从图中可以看出,图中所有三角形都有一个边在线段B C上,所以只要数B C边上的线段条数就可以了线段B C上共有线段条,分别是:B D、B E、B C、D E、D C、E C所以图中共有个三角形解答:我们可以看到,在计算三角形的个数时,分类的方法是多样的,关键是分类恰当、全面,数数时仔细,做到不多数也不漏数要点三角形的边角关系
6、(重点)()三角形的三边关系定理:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边()三角形的内角和定理:三角形的三个内角的和等于 ,直角三角形的两个锐角互余关键提醒:三角形的三边关系定理,三角形的内角和定理在做题时经常作为隐含条件,所以今后做此类题时要注意这两个定理的运用例已知三角形的三边长分别是,x;若x的值为偶数,则x的值有()A 个B 个C 个D 个精析:由于,x是三角形的三边长,根据三角形两边之和大于第三边有x,x,x,所以x,由于x为偶数,所以x可取,解答:D判断三条线段能否构成三角形,我们一般使用三角形两边之和大于第三边来做,我们不需要讨论三次,只需将两个较短边相加,如果大于
7、最长边,则可以构成三角形已知两边,求第三边的取值范围的时候,我们一般使用“两边之差第三边两边之和”要点三角形的分类()三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形()三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形例在A B C中,ABC,则A,B,C精析:利用三角形内角和是 即可求出 (),A ,B ,C 解答:此三角形是钝角三角形例根据条件,判断A B C的形状()AB ;()A ,B A;()ABC 精析:已知三角形中有一个内角是钝角或直角,那么这个三角形一定是钝角三角形或直角三角形,但要判断一个三角形是锐角三角形,必须是三个内角都是锐角,所以要根据三角形内角和定理确定各内角的度数
8、,方可判断三角形的形状解答:()C AB ,A B C是钝角三角形()A ,B C AB A B C是直角三角形()设Ax,Bx,CxABC ,xxx x A ,B ,C A B C是锐角三角形一个三角形最多只能有一个直角或钝角,一个三角形至少有两个锐角要点三角形的三条重要线段(重点)()在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做三角线的中线三角形的三条中线交于一点,这一点叫三角形的重心,这一点一定在三角形内()在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线三角形的三条角平分线交于一点这一点一定在三角形内()从三角形的一个顶点向它对边所在直
9、线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高三角形三条高所在直线交于一点这一点有可能在三角形内,也有可能在三角形上,还有可能在三角形外图 如图,对于AD是A B C的角平分线,有以下两种表示方法:AD平分B A C,B A CB A C例画出三个三角形,在第一个三角形中画出三条边上的高,在第二个三角形中画出三个内角的平分线,在第三个三角形中画出三条边上的中线,从图形中你发现了什么现象?精析:可以用三角板、刻度尺和量角器画垂线、找线段的中点、作角平分线,进行比较准确的作图解答:如图,()中画了三角形三条边上的高,()中画了三角形三个内角的平分线,()中画了三角形三条边上的中线图
10、中三线都交于一点图 所画出的三角形中三条边上的高相交于一点,三个内角平分线也相交于一点,三条边上的中线也相交于一点要点三角形的内角和定理的灵活运用(难点)()在三角形中已知两角求第三个角()已知各角之间的数量关系,适当设未知数,求各角()将“直角三角形的两个锐角互余”与“同角(或等角)的余角相等”相结合,来判断角相等关键提醒:很多同学能用“三角形三个内角和等于 ”计算一些简单角度,能对三角形按内角的大小进行分类,并判断三角形是什么三角形,也知道直角三角形的两锐角互余,但在灵活运用上非常欠缺,这就需要我们去掌握一些经典题型,达到熟能生巧的境界例已知三角形的一个角是第二个角的倍,第三个角比这两个角
11、的和大 ,求这个三角形的三个内角的度数精析:设出最小的角为x,另两个角为x和xx ,根据三角形的内角和为 ,列出方程,即可求出三个角解答:设三角形的最小的角为x,则另两个角为x和xx ,于是可得xxxx ,解得x ,则另两个角为 ,所以这个三角形的三个角分别是 ,对于四边形、五边形等,求角的问题,可以把他们转化为三角形的内角问题来解决拉 分 典 例 探 究综合应用例(要点)如图,是一块三角形木板的残余部分,量得A ,图 B ,这块三角形木板另外一个角是精析:可直接利用三角形内角和定理求得第三个角C的度数如图,延长三角形两边,将三角形完整“修复”,在A B C中,C AB 解答:例(要点)小亮要
12、制作一个三角形铁架,现有两根铁条长度分别为 c m,c m()小亮将如何选用第三根铁条?能确定它的长度吗?能确定它的长度范围吗?()如果要求第三根铁条的长度是整数,小亮有几种选择?精析:本题主要考查三角形的三边关系,已知两边求第三边,它的长度是不确定的,但可以求出第三边的取值范围,只有大于其他两边之差,且小于其他两边之和,三条线段才能构成三角形解答:()不能确定其长度,但可以确定它的取值范围,可设第三边长为ac m,则有 a ,即 a,所以第三根铁条的长度在 c m和 c m之间()在a中,是整数的有:,所以小亮有种选择例(要点)如图(),已知A B C()在图()中,画A B C的中线AD,
13、高AH,并判断A B D与A C D的面积是否相等,为什么?()在图()中,画A B D中边AD上的高B E和A C D中边AD上的高C F,并利用第()题的结论说明B EC F()()()图 精析:先画出中线和高,注意钝角三角形A B D的高B E的画法;在图()中,利用AH是A B D和A C D的公共高且B DC D,即可判断SA B DSA C D;在图()中,根据SA B DSA C D可得ADB EADC F,所以B EC F解答:()A B C的中线AD,高AH如图()所示A B D与A C D的面积相等理由如下:因为AD是边B C上的中线,所以B DC D又SA B DB DA
14、H,SA C DC DAH,所以SA B DSA C D()A B D的高B E和A C D的高C F如图()所示因为SA B DSA C D,所以ADB EADC F所以B EC F归纳演绎:()三角形的中线平分三角形的面积;()等底等高的三角形的面积相等探究创新例(要点)将一副直角三角板按图所示方法放置(直角顶点重合),则A O BD O C图 精析:仔细观察后,发现本题无从入手,怎么办呢?同学们我们这样来看这两个角的和A O BD O CA O CB O DD O CD O C而A O CB O D ,所以A O BD O C 解答:归纳演绎:本题采用了整体的数学思想通过角与角之间的加减
15、求出A O BD O C的 值也 可 这 么 做:A O B D O C A O D D O C C O BD O CA O CB O D 误 区 警 醒【误区】定义理解不透彻例下列关于三角形的说法正确的是()A由三条线段首尾相连所组成的图形叫三角形B由不在同一条直线上的三条线段所组成的图形叫三角形C由不在同一条直线上的线段所组成的图形叫三角形D由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫三角形错解:选A或B正解:D警醒:此题A或B选项具有一定的迷惑性,C选项易排除,三角形概念中强调:()不在同一直线上;()三条线段;()首尾依次相接显然A选项不符合第条件,B选项不符合第个条件例下列
16、关于三角形的分类说法正确的是()A三角形按边长分类可分为不等边三角形和等边三角形B三角形按边长分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形C三角形按角分类可分为锐角三角形和钝角三角形D三角形按角分类可分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形错解:选择A或B正解:D警醒:三角形按边来分类许多同学总错误认为可分为不等边三角形和等边三角形,其实等边三角形是等腰三角形的特例【误区】考虑问题不全,容易漏解例如图,点B、C、D、E在同一直线上,则图中共有几个三角形?请一一表示出这些三角形图 错解:个;A B C,A C D,AD E,A B E正解:个;A B C,A B D,A B E,A C D,A
17、C E,AD E警醒:本题图形较复杂,容易漏解,我们可以按一定顺序找出各个三角形,力求不遗漏,不重复我们可以这样表示,以A B为边的三角形有几个,以A C为边的三角形有几个,以AD为边的三角形有几个,再将其相加即为本题答案例已知一个三角形的三条高中,有两条高不在三角形内,则该三角形是错解:钝角三角形正解:钝角三角形或直角三角形警醒:错解者受不在内则“在外”的常规思维误导,其实,本题含意为:这两条高有可能在三角形外(钝角三角形),也有可能是它的两条边(直角三角形)【误区】审题不清,粗心大意例在A B C中,ABC,判断A B C是什么三角形错解:设Ax,则Bx,Cx,根据三角形内角和定理知xxx
18、 ,得x,所以Cx ,A B C为直角三角形正解:设Ax,则Bx,Cx,则xxx ,得x 因为A为钝角,所以A B C为钝角三角形警醒:判断三角形是何种三角形,只要看最大角的度数即可本题错解在于没有弄清量与量之间的关系,我们要善于分解连等式为独立的等式知 能 提 升 训 练夯基固本(要点)如果三条线段a,b,c可组成三角形,且a,b,c是偶数,那么c的值为(要点、)如果一个三角形的三个内角的度数比为,那么这个三角形是三角形(要点)如果三角形三个内角之比为,那么这个三角形是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D上述三角形都可能(要点)已知三条线段abc,它们要组成三角形需满足的条件是()Aa
19、bcBacbCabcDcab(要点)如图,在A B C中,AD是角平分线,B ,C ,求B AD和AD C的度数(第题)综合应用(要点)如图,(第题)(要点)三角形的角平分线、中线、高线是()A直线B射线C线段D以上都不对(要点)钝角三角形的高在三角形外的条数是()A B C D(第题)(要点)如图,在A B C中,角平分线B D、C E相交于点I,则B I C与A有什么关系?利用上述关系,计算:()当A 时,求B I C;()当B I C 时,求A探究创新(要点)()如图,图中共有个三角形,它们是;()以A E为边的三角形是;()B分别是A B D、A B E中边所对的角(第 题)(第 题)
20、(要点)如图,在A B C中,B D是角平分线,B E是中线,若A C c m,则A E c m;若A B C ,则A B D(要点)在A B C中,已知A B C ,A C B ,B E是A C上的高,C F是A B上 的 高,H是B E和C F的 交 点,则A B E,A C F,BHC(要点)如图,在A B C中,A ,B ,C E平分A C B,C DA B于点D,D FC E,则C D F(第 题)(要点、)已知在A B C中,ADB C于点D,A E为A的平分线,且B ,C ,则D A E的度数为 (要点)如图,画A B C一边上的高,下列画法正确的是()(第 题)(要点)如图,在
21、A B C中,C ,D、E为A C上的两点,且A ED E,B D平分E B C,则下列说法中不正确的是()AB C是A B E边A E上的高BB E是A B D的中线CB D是B E C的角平分线DA B EE B DD B C(要点)如图,在A B C中,O是高AD、B E的交点,试猜想C和D O E之间有怎样的数量关系,并证明你的猜想(第 题)(第 题)(要点)如图,在A B C中,AD、A E分别是A B C的高和角平分线,若B ,C ()求DA E的度数;()试写出D A E与CB有何关系?请说明理由 答案全析全解 或直角A DB AD ,AD C C CB I C A,()B I
22、C ,()A ()A B D、A B E、A B C、AD E、AD C、A E C()A B E、AD E、A C E()AD、A E C D CD O E ADB C,A CB E,C C AD A O EC AD CA O E又A O ED O E ,CD O E ()D A E ()CBD A E迷 你 数 学 世 界图 如图,风筝的边用竹条构成,风筝的骨(A C和B D)用木条构成,做一个风筝用竹条长还是木条长?说明理由解答:竹条长A BB CA C,B CD CB D,C DADA C,ADA BB D,(A BB CC DAD)(A CB D)A BB CC DADA CB D竹
23、条长P 随堂练习锐角三角形:直角三角形:钝角三角形:()直角三角形()锐角三角形()钝角三角形P 习题 A ,B ,C ()锐角()直角()钝角 ()有个直角三角形,分别是直角A B C:直角边A C、B C,斜边A B;直 角A C D:直 角 边A D、C D,斜 边A C;直角B C D:直角边C D、B D,斜边B C()与A互 余,与A相等A C B ,当轮船距离灯塔C最近时,A C B P 随堂练习不可以,不可以cP 习题()能()不能()能()不能 c m;理由略 c m,c m,c m,c m,c mP 随堂练习()C ADB A C()C EA B D P 习题 AD B 面积相等E D C P 随堂练习()正确()错误,图略略P 习题 A FC EC EB EC DA C略略