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1、第3讲 因动点产生的直角三角形问题例1上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在RtABC中，ACB90，AB13，CD/AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，BAE的平分线交BC于点G （1）当CE3时，求SCEFSCAF的值；（2）设CEx，AEy，当CG2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC5时，联结EG，若AEG为直角三角形，求BG的长 图1思路点拨1第（1）题中的CEF和CAF是同高三角形，面积比等于底边的比2第（2）题中的ABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形3第（3）题中的直角三角形AEG分两种情况讨论满分解答（1）如图2，由CE/AB，得
2、由于CEF与CAF是同高三角形，所以SCEFSCAF313（2）如图3，延长AG交射线CD于M 图2由CM/AB，得所以CM2AB26由CM/AB，得EMABAM 又因为AM平分BAE，所以BAMEAM所以EMAEAM所以yEAEM26x图3 图4（3）在RtABC中， AB13，AC5，所以BC12如图 4，当AGE90时，延长EG交AB于N，那么AGEAGN所以G是EN的中点 所以G是BC的中点，BG6如图5，当AEG90时，由CAFEGF，得由CE/AB，得所以又因为AFGBFA，所以AFGBFA所以FAGB所以GABB所以GAGB作GHAH，那么BHAH在RtGBH中，由cosB，得B
3、G图5 图6考点伸展第（3）题的第种情况，当AEG90时的核心问题是说理GAGB如果用四点共圆，那么很容易如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到24上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7，当AEG90时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是RtACG和RtAEG斜边上的中线，所以PCPEPAPG所以122，325如图8，在等腰PCE中，CPE1802(45)，又因为CPE180(13)，所以132(45)所以124所以24B所以GABB所以GAGB图7 图8例2 苏州市中考第29题如图1，二次函数ya(x22mx3m2)（其中a、m是常数，且a0，m0）的图像与x轴分别
4、交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,3)，点D在二次函数的图像上，CD/AB，联结AD过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分DAE（1）用含m的式子表示a； （2）求证：为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由 图1思路点拨1不算不知道，一算真奇妙通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后，点D的坐标也可以写出来点E的纵坐标为定值是算出来的2在计算的过程中，
5、第（1）题的结论及其变形反复用到3注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G满分解答（1）将C(0,3)代入ya(x22mx3m2)，得33am2因此（2）由ya(x22mx3m2)a(xm)(x3m)a(xm)24axm2a(xm)24，得A(m, 0)，B(3m, 0)，F(m, 4)，对称轴为直线xm所以点D的坐标为(2m,3)设点E的坐标为(x, a(xm)(x3m)如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E由于EAEDAD，所以因此所以am(x3m)1结合，于是得到x4m当x4m时，ya(xm)(
6、x3m)5am25所以点E的坐标为(4m, 5)所以图2 图3（3）如图3，由E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4)，可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G证明如下：作FFx轴于F，那么因此所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形此时GF4m所以GO3m，点G的坐标为(3m, 0)考点伸展第（3）题中的点G的另一种情况，就是GF为直角三角形的斜边此时因此所以此时 例3 山西省中考第26题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，
7、点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 图1 思路点拨1第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQDC列方程2第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论3第（3）题BDQ为直角三角形
8、要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形满分解答（1）由，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)（2）直线DB的解析式为由点P的坐标为(m, 0)，可得，所以MQ当MQDC8时，四边形CQMD是平行四边形解方程，得m4，或m0（舍去）此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,2)，Q(4,6)所以MNNQ4所以BC与MQ互相平分所以四边形CQBM是平行四边形图2 图3（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(2,0)，(6,4)考点伸展第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为如图3，当DBQ90时， 所以解得x6此时Q(6,4)如图4，当BDQ90时， 所以解得x2此时
9、Q(2,0)图3 图4例4广州市中考第24题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式 图1 思路点拨1根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个2当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合AMB90的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合AMB90的点M只有1个3灵活应用相似比解题比较简便满分解答
10、（1）由，得抛物线与x轴的交点坐标为A(4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线x1（2）ACD与ACB有公共的底边AC，当ACD的面积等于ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H由BD/AC，得DBGCAO所以所以，点D的坐标为因为AC/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG所以D的坐标为图2 图3（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M以AB为直径的G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M
11、了联结GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtEM1A中，AE8，所以M1A6所以点M1的坐标为(4, 6)，过M1、E的直线l为根据对称性，直线l还可以是考点伸展第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtECO中，CO3，EO4，所以CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直线CM过点C例5 杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数yk(x2x1)的图象交于点A(1,k)和点B(1,k)（1）当k2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增
12、大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值思路点拨1由点A(1,k)或点B(1,k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是题目中的k都是一致的2由点A(1,k)或点B(1,k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O3根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在O上是，ABQ是以AB为直径的直角三角形满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是当k2时，反比例函数的解析式是（2）在反比例函数中，如果y随x增大而增大，那么k0当k0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y
13、随x增大而增大抛物线yk(x2x1)的对称轴是直线 所以当k0且时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大（3）抛物线的顶点Q的坐标是，A、B关于原点O中心对称，当OQOAOB时，ABQ是以AB为直径的直角三角形由OQ2OA2，得解得（如图2），（如图3）图2 图3考点伸展如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线（k0）交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A、C关于直线yx对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以O
14、A与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形图4 图5例6浙江省中考第23题设直线l1：yk1xb1与l2：yk2xb2，若l1l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线（1）已知直线；和点C(0，2)，则直线_和_是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式 图1答案（1）直线和是点C的直角线（2）当APB90时，BCPPOA那么，即解得OP6或OP1如图2，当OP6时，l1
15、：， l2：y2x6如图3，当OP1时，l1：y3x1， l2：图2 图3例7 北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得EDPE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q
16、到达点O时停止运动，点P也停止运动）过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FMQF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值图1思路点拨1这个题目最大的障碍，莫过于无图了2把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长3点C的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长4当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t的方程就可以求解了满分解答(1) 因为抛物线经过原点，所以 解
17、得，（舍去）因此所以点B的坐标为（2，4）(2) 如图4，设OP的长为t，那么PE2t，EC2t，点C的坐标为(3t, 2t)当点C落在抛物线上时，解得如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合此时3t10解得如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，PQN是等腰直角三角形，PQPE此时解得如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，PQC是等腰直角三角形，PQPD此时解得 图1 图2 图3考点伸展在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值如图5，当P、Q重合时，两圆内切，如图6，当两圆外切时， 图4 图5 图6例8 嘉兴市中考第24题如图1，
18、已知A、B是线段MN上的两点，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC，设（1）求x的取值范围；（2）若ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面积？ 图1思路点拨1根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x的不等式组，可以求得x的取值范围2分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性3把ABC的面积S的问题，转化为S2的问题AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况满分解答（1）在ABC中，所以 解得（2）若AC为斜边，则，即，此方程无实根若AB为斜
19、边，则，解得，满足若BC为斜边，则，解得，满足因此当或时，ABC是直角三角形（3）在ABC中，作于D，设，ABC的面积为S，则如图2，若点D在线段AB上，则移项，得两边平方，得整理，得两边平方，得整理，得所以（）当时（满足），取最大值，从而S取最大值 图2 图3如图3，若点D在线段MA上，则同理可得，（）易知此时综合得，ABC的最大面积为考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设，例如在图2中，由列方程整理，得所以因此【强化训练】1.（宜宾24）如图，抛物线与轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与轴交于点C，顶点为P.（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O
20、同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H.当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；是否存在这样的点F，使PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由。2.（连云港27）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线交于A、B两点，其中点A的横坐标是2。（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标；（2）在轴上是否存在点C，使得ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由；（3）过线段AB上一点P，作PM/轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3NP的长度最大？最大值是多少？18