《2022年汇编《因动点产生的直角三角形问题》含答案 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年汇编《因动点产生的直角三角形问题》含答案 .pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、因动点产生的直角三角形问题1 例 1 如图 1，在 RtABC 中， ACB90， AB13，CD/AB，点 E 为射线 CD 上一动点（不与点 C 重合） ，联结 AE 交边 BC 于 F， BAE 的平分线交BC 于点 G（1）当 CE 3 时，求 SCEFSCAF的值；（2）设 CE x，AEy，当 CG 2GB 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）当 AC 5 时，联结EG，若 AEG 为直角三角形，求BG 的长图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题2 例 1 如图 1
2、，在 RtABC 中， ACB90， AB13，CD/AB，点 E 为射线 CD 上一动点（不与点 C 重合） ，联结 AE 交边 BC 于 F， BAE 的平分线交BC 于点 G（1）当 CE 3 时，求 SCEFSCAF的值；（2）设 CE x，AEy，当 CG 2GB 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）当 AC 5 时，联结EG，若 AEG 为直角三角形，求BG 的长图 1 动感体验请打开几何画板文件名“15 虹口 25” ，拖动直角顶点C 运动，可以体验到，CG2GB保持不变， ABC 的形状在改变， EAEM 保持不变 点击屏幕左下角的按钮“第（3）题” ，拖动 E 在射线
3、 CD 上运动，可以体验到，AEG 可以两次成为直角三角形思路点拨1第（ 1）题中的 CEF 和 CAF 是同高三角形，面积比等于底边的比2第（ 2）题中的 ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形3第（ 3）题中的直角三角形AEG 分两种情况讨论满分解答（1）如图 2，由 CE/AB，得313EFCEAFBA由于 CEF 与 CAF 是同高三角形，所以 SCEF SCAF313（2）如图 3，延长 AG 交射线 CD 于 M图 2 由 CM/AB，得2CMCGABBG所以 CM2AB26由 CM/AB，得 EMA BAM又因为 AM 平分 BAE，所以 BAM EAM所以 EMA EAM
4、所以 yEAEM26x图 3 图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题3 （3）在 RtABC 中， AB13，AC5，所以 BC12如图4，当 AGE90时，延长EG 交 AB 于 N，那么 AGE AGN所以 G 是 EN 的中点所以 G 是 BC 的中点， BG6如图 5，当 AEG90时，由 CAF EGF，得FCFAFEFG由 CE/AB，得FCFBFEFA所以FAFBFGFA又因为 AFG BFA，所以 AFG BFA所以 FAG B所以 GAB B所以 GAGB作 GHAH
5、，那么 BHAH132在 RtGBH 中，由 cosBBHBG，得 BG132121316924图 5 图 6 考点伸展第（ 3）题的第种情况，当AEG90时的核心问题是说理GAGB如果用四点共圆，那么很容易如图 6，由 A、C、E、G 四点共圆，直接得到2 4上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图 7，当 AEG 90时，设AG 的中点为P，那么 PC 和 PE 分别是 RtACG 和 RtAEG 斜边上的中线，所以PCPEP APG所以 12 2， 325如图 8，在等腰 PCE 中， CPE180 2(4 5)，又因为 CPE180 (1 3)，所以 1 32(4 5)所
6、以 124所以 2 4 B所以 GAB B所以 GAGB图 7 图 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题4 例 2 如图 1，二次函数ya(x22mx3m2)（其中 a、m 是常数，且a0，m0）的图像与x 轴分别交于A、B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴交于点C(0,3)，点 D 在二次函数的图像上， CD/AB，联结 AD过点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点E，AB 平分 DAE（1）用含 m 的式子表示a；（2）求证：ADAE为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点
7、为F探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段 GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可， 并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在， 请说明理由图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题5 例 2 如图 1，二次函数ya(x22mx3m2)（其中 a、m 是常数，且a0，m0）的图像与x 轴分别交于A、B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴交于点C(0,3)，点 D 在二次函数的图像上， CD/AB，联结
8、AD过点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点E，AB 平分 DAE（1）用含 m 的式子表示a；（2）求证：ADAE为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段 GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可， 并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在， 请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“14 苏州 29” ，拖动 y 轴正半轴上表示实数m 的点运动，可以体验到，点E、D、F 到 x 轴的距离都为定值思路点拨1不算不知道， 一算真奇妙 通过二次函数解析式的变形，写出点
9、A、B、F 的坐标后，点 D 的坐标也可以写出来点E 的纵坐标为定值是算出来的2在计算的过程中，第（1）题的结论21am及其变形21am反复用到3注意到点E、D、F 到 x 轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4） ，因此过点F作 AD 的平行线与x 轴的交点，就是要求的点G满分解答（1）将 C(0,3)代入 ya(x22mx3m2)，得 3 3am2因此21am（2）由 y a(x2 2mx 3m2)a(xm)(x3m)a(xm)24axm2a(xm)24，得 A(m, 0)，B(3m, 0)， F(m, 4)，对称轴为直线xm所以点 D 的坐标为 (2m,3)设点 E 的坐标为 (x,
10、 a(xm)(x3m)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题6 如图 2，过点 D、E 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为D、E 由于 EAE DAD ，所以EEDDAEAD因此()(3)33a xmxmxmm所以 am(x 3m) 1结合21am，于是得到x4m当 x4m 时， ya(xm)(x3m)5am2 5所以点E 的坐标为 (4m, 5)所以35ADDDAEEE图 2 图 3 （3）如图 3，由 E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4)，可知点 E、D、F 到 x 轴的距离分别为
11、5、4、3那么过点 F 作 AD 的平行线与x 轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G证明如下：作FF x 轴于 F，那么43GFFFADDD因此534AEADGF所以线段GF、 AD、AE 的长围成一个直角三角形此时 GF 4m所以 GO3m，点 G 的坐标为 (3m, 0)考点伸展第（ 3）题中的点G 的另一种情况，就是GF 为直角三角形的斜边此时5334AEADGF因此34GFm所以(341)GOm 此时(34,0)G mm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题7 例 3 如图 1，抛物线
12、213442yxx与 x 轴交于 A、B 两点（点 B 在点 A 的右侧），与 y 轴交于点 C，连结 BC，以 BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为 (m, 0)，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点Q（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线l 分别交 BD、BC 于点 M、 N试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点Q，使 BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存
13、在，请说明理由图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题8 例 3 如图 1，抛物线213442yxx与 x 轴交于 A、B 两点（点 B 在点 A 的右侧），与 y 轴交于点 C，连结 BC，以 BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为 (m, 0)，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点Q（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线l 分别交 BD、BC 于点 M、 N试探究m 为何值时，四边形
14、CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点Q，使 BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“13 山西 26” ，拖动点 P 在线段 OB 上运动，可以体验到，当P运动到 OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形拖动点P 在线段EB 上运动，可以体验到，DBQ 和 BDQ 可以成为直角请打开超级画板文件名“13 山西 26” ，拖动点 P 在线段 OB 上运动，可以体验到，当P运动到 OB 的中点时，四边形CQMD 和四边
15、形CQBM 都是平行四边形拖动点P 在线段EB 上运动，可以体验到，DBQ 和 BDQ 可以成为直角思路点拨1第（ 2）题先用含m 的式子表示线段MQ 的长，再根据MQDC 列方程2第（ 2）题要判断四边形CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的m 的值画一个准确的示意图，先得到结论3第（ 3）题 BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形满分解答（1）由21314(2)(8)424yxxxx，得 A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)（2）直线 DB 的解析式为142yx由点 P 的坐标为 (m, 0)，可得1(,4)2M mm，213(,4)
16、42Q mmm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题9 所以 MQ221131(4)(4)82424mmmmm当 MQDC8 时，四边形CQMD 是平行四边形解方程21884mm，得 m4，或 m0（舍去）此时点 P 是 OB 的中点， N 是 BC 的中点， N(4,2)，Q(4,6)所以 MNNQ4所以 BC 与 MQ 互相平分所以四边形CQBM 是平行四边形图 2 图 3 （3）存在两个符合题意的点Q，分别是 (2,0)，(6, 4)考点伸展第（ 3）题可以这样解：设点Q 的坐标为1(
17、,(2)(8)4xxx如图 3，当 DBQ 90时，12QGBHGBHD所以1(2)(8)1482xxx解得 x6此时 Q(6,4)如图 4，当 BDQ 90时，2QGDHGDHB所以14(2)(8)42xxx解得 x 2此时 Q(2,0)图 3 图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题1 0例 4 如图 1，抛物线233384yxx与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当AC
18、D 的面积等于 ACB 的面积时，求点 D 的坐标；（3）若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题1 1例 4 如图 1，抛物线233384yxx与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于 ACB 的面积时，求点 D 的坐标；（3
19、）若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 广州 24” ，拖动点M 在以 AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合AMB90的点 M 只有 1 个请打开超级画板文件名“12 广州 24” ，拖动点M 在以 AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合AMB90的点 M 只有 1 个思路点拨1根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点 D 有两个2当直线l 与以 AB 为直径的圆相交时，符合AMB
20、90的点 M 有 2 个；当直线l与圆相切时，符合AMB90的点 M 只有 1 个3灵活应用相似比解题比较简便满分解答（1）由23333(4)(2)848yxxxx，得抛物线与x 轴的交点坐标为A( 4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线x 1（2） ACD 与 ACB 有公共的底边AC，当 ACD 的面积等于 ACB 的面积时，点B、D到直线 AC 的距离相等过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D，在 AC 的另一侧有对应的点D 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G，与 AC 交于点 H精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
21、1 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题1 2由 BD/AC，得 DBG CAO所以34DGCOBGAO所以3944DGBG，点 D 的坐标为9(1,)4因为 AC/BD，AG BG，所以 HGDG而 D HDH，所以 D G 3DG274所以 D的坐标为27(1,)4图 2 图 3 （3）过点 A、B 分别作 x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2 个点 M以 AB 为直径的 G 如果与直线l 相交，那么就有2 个点 M；如果圆与直线l 相切，就只有 1 个点 M 了联结 GM，那么 GM l在 RtEGM 中， GM3，GE5，所以 EM4在 RtEM1A 中， AE8
22、，113tan4M AM EAAE，所以 M1A6所以点 M1的坐标为 (4, 6)，过 M1、E 的直线 l 为334yx根据对称性，直线l 还可以是334yx考点伸展第（ 3）题中的直线l 恰好经过点C，因此可以过点C、E 求直线 l 的解析式在 RtEGM 中， GM3，GE5，所以 EM4在 RtECO 中， CO3， EO4，所以 CE5因此三角形EGM ECO， GEM CEO所以直线CM 过点 C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题1 3例 5 在平面直角坐标系中，反比例函数
23、与二次函数yk(x2 x1)的图象交于点A(1,k)和点B( 1, k)（1）当 k 2 时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值动感体验请打开几何画板文件名“12 杭州 22” ， 拖动表示实数k 的点在 y 轴上运动， 可以体验到，当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大观察抛物线的顶点Q 与 O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上请打开超级画板文件名“12 杭州
24、22” ， 拖动表示实数k 的点在 y 轴上运动， 可以体验到，当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大观察抛物线的顶点Q 与 O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题1 4例 5 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数yk(x2 x1)的图象交于点A(1,k)和点B( 1, k)（1）当 k 2 时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大，求k 应满足的条件
25、以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值动感体验请打开几何画板文件名“12 杭州 22” ， 拖动表示实数k 的点在 y 轴上运动， 可以体验到，当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大观察抛物线的顶点Q 与 O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上请打开超级画板文件名“12 杭州 22” ， 拖动表示实数k 的点在 y 轴上运动， 可以体验到，当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大观察抛物线的顶点Q 与 O 的位置关系，可以体
26、验到，点Q 有两次可以落在圆上思路点拨1由点 A(1,k)或点 B( 1,k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是kyx题目中的 k 都是一致的2由点 A(1,k)或点 B( 1, k)的坐标还可以知道，A、B 关于原点O 对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O3根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在 O 上是， ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是kyx当 k 2 时，反比例函数的解析式是2yx（2）在反比例函数kyx中，如果y 随 x 增大而增大，那么k0当 k0 时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随 x
27、增大而增大抛物线 yk(x2x 1)215()24k xk的对称轴是直线12x所以当 k0 且12x时，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大（3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24k，A、B 关于原点O 中心对称，当 OQ OAOB 时， ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题1 5由 OQ2OA2，得222215()()124kk解得1233k（如图 2） ，2233k（如图 3） 图 2 图 3 考点伸展如图 4，已知经过原点O
28、 的两条直线AB 与 CD 分别与双曲线kyx（k0）交于 A、B和 C、D，那么 AB 与 CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图 5，当 A、C 关于直线yx 对称时， AB 与 CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是矩形因为 A、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与 OC 无法垂直，因此四边形 ABCD 不能成为正方形图 4 图 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题1 6例 6 设直线 l1：
29、yk1xb1与 l2：yk2xb2，若 l1 l2，垂足为H，则称直线l1与 l2是点 H的直角线（1）已知直线122yx；2yx；22yx；24yx和点C(0，2)，则直线 _和_是点 C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点 A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P 为线段 OC 上一点，设过B、P 两点的直线为l1，过 A、P 两点的直线为l2，若 l1与 l2是点 P 的直角线，求直线l1与 l2的解析式图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页因动点产生的
30、直角三角形问题1 7例 6 设直线 l1：yk1xb1与 l2：yk2xb2，若 l1 l2，垂足为H，则称直线l1与 l2是点 H的直角线（1）已知直线122yx；2yx；22yx；24yx和点C(0，2)，则直线 _和_是点 C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点 A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P 为线段 OC 上一点，设过B、P 两点的直线为l1，过 A、P 两点的直线为l2，若 l1与 l2是点 P 的直角线，求直线l1与 l2的解析式动感体验请打开几何画板文件名“11 浙江 23” ，拖动点P 在 OC 上运动，可以体验到，A
31、PB 有两个时刻可以成为直角，此时BCP POA答案（1）直线和是点C 的直角线（2）当 APB90时， BCP POA那么BCPOCPOA，即273POPO解得 OP6 或 OP1如图 2，当 OP6 时， l1：162yx， l2：y 2x6如图 3，当 OP1 时， l1：y 3x1， l2：113yx图 2 图 3 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题1 8例 7 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244mmyxxmm与 x 轴的交点分别为原点O 和点 A，点 B
32、(2,n)在这条抛物线上（1）求点 B 的坐标；（2）点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发向点A 运动，过点P 作 x 轴的垂线，与直线OB交于点 E，延长 PE 到点 D，使得 EDPE，以 PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD（当点 P 运动时，点C、D 也随之运动） 当等腰直角三角形PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若点 P 从点 O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1 个单位，同时线段OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动， 速度为每秒2 个单位（当点 Q 到达点 O 时停止运动，点 P 也停止运动） 过 Q 作 x 轴的垂线，与直
33、线AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得 FMQF，以 QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点 Q 运动时，点M、N也随之运动） 若点 P 运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题1 9例 7 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244mmyxxmm与 x 轴的交点分别为原点O 和点 A，点 B(2,n)在这条抛物线上（1）求点 B 的坐标；（2）点 P 在线段 OA
34、上，从点 O 出发向点A 运动，过点P 作 x 轴的垂线，与直线OB交于点 E，延长 PE 到点 D，使得 EDPE，以 PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD（当点 P 运动时，点C、D 也随之运动） 当等腰直角三角形PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若点 P 从点 O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1 个单位，同时线段OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动， 速度为每秒2 个单位（当点 Q 到达点 O 时停止运动，点 P 也停止运动） 过 Q 作 x 轴的垂线，与直线AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得 FMQF，以 QM 为斜边，
35、在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点 Q 运动时，点M、N也随之运动） 若点 P 运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值图 1动感体验请打开几何画板文件名“10 北京 24” ，拖动点P 从 O 向 A 运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线思路点拨1这个题目最大的障碍，莫过于无图了2把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长3点 C 的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长4当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以
36、求解了满分解答(1) 因为抛物 线22153244mmyxxmm经 过原点，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题2 02320mm 解得12m，21m（舍去）因此21542yxx所以点B 的坐标为（ 2，4） (2) 如图 4，设 OP 的长为 t，那么 PE2t，EC 2t，点 C 的坐标为 (3t, 2t)当点 C落在抛物线上时，2152(3 )342ttt解得229tOP如图 1，当两条斜边PD 与 QM 在同一条直线上时，点P、Q 重合此时3t10解得103t如图 2，当两条直
37、角边PC 与 MN 在同一条直线上，PQN 是等腰直角三角形，PQPE此时1032tt解得2t如图 3，当两条直角边DC 与 QN 在同一条直线上，PQC 是等腰直角三角形，PQPD此时1034tt解得107t图 1 图 2 图 3 考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以 QM 为直径的圆F 相切，求t 的值如图 5，当 P、Q 重合时，两圆内切，103t如图 6，当两圆外切时，30202t图 4 图 5 图 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题2 1例 8 如图 1，已
38、知 A、B 是线段 MN 上的两点，4MN，1MA，1MB以 A 为中心顺时针旋转点M，以 B 为中心逆时针旋转点N，使 M、N 两点重合成一点C，构成 ABC，设xAB（1）求 x 的取值范围；（2）若 ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究： ABC 的最大面积？图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页因动点产生的直角三角形问题2 2例 8 如图 1，已知 A、B 是线段 MN 上的两点，4MN，1MA，1MB以 A 为中心顺时针旋转点M，以 B 为中心逆时针旋转点N，使 M、N 两点重合成一点C，构
39、成 ABC，设xAB（1）求 x 的取值范围；（2）若 ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究： ABC 的最大面积？图 1 动感体验请打开几何画板文件名“09 嘉兴 24” ，拖动点 B 在 AN 上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；CAB 和 ACB 可以成为直角，CBA 不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U”形，当 AB 等于 1.5时，面积达到最大值思路点拨1根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得 x 的取值范围2分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直
40、角三角形的存在性3把 ABC 的面积 S的问题，转化为S2的问题 AB 边上的高CD 要根据位置关系分类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况满分解答（1）在ABC 中，1AC，xAB，xBC3，所以.31,31xxxx解得21x（2）若 AC 为斜边，则22)3(1xx，即0432xx，此方程无实根若 AB 为斜边，则1)3(22xx，解得35x，满足21x若 BC 为斜边，则221)3(xx，解得34x，满足21x因此当35x或34x时， ABC 是直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页因动点产生的直
41、角三角形问题2 3（3）在 ABC 中，作ABCD于 D，设hCD， ABC 的面积为S，则xhS21 如 图2 ， 若 点D在 线 段AB 上 ， 则xhxh222)3(1 移 项 ， 得2221)3(hxhx两边平方， 得22222112)3(hhxxhx整理，得4312xhx两 边 平 方 ， 得16249)1(222xxhx整 理 ， 得16248222xxhx所以462412222xxhxS21)23(22x（423x） 当23x时（满足423x） ，2S 取最大值21，从而 S取最大值22图 2 图 3 如图 3，若点 D 在线段 MA 上，则xhhx2221)3(同理可得，462412222xxhxS21)23(22x（413x） 易知此时22S综合得， ABC 的最大面积为22考点伸展第（ 3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设aAD，例如在图 2 中，由2222BDBCADAC列方程222)()3(1axxa整理，得xxa43所以21a22216248431xxxxx因此462)1 (412222xxaxS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页