挑战中考数学压轴题因动点产生的直角三角形问题.pdf

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1、1.3 因动点产生的直角三角形问题 例 1 2021 年上海市虹口区中考模拟第 25 题 如图 1，在 RtABC 中，ACB90，AB13，CD/AB，点 E 为射线 CD 上一动点不与点 C 重合，联结 AE 交边 BC 于 F，BAE 的平分线交 BC 于点 G 1当 CE3 时，求 SCEFSCAF的值；2设 CEx，AEy，当 CG2GB 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；3当 AC5 时，联结 EG，假设AEG 为直角三角形，求 BG 的长 图 1 动感体验 请翻开几何画板文件名“15 虹口 25，拖动直角顶点 C 运动，可以体验到，CG2GB保持不变，ABC 的形状在改变，E

2、AEM 保持不变 点击屏幕左下角的按钮“第 3 题，拖动 E 在射线 CD 上运动，可以体验到，AEG 可以两次成为直角三角形 思路点拨 1第1题中的CEF 和CAF 是同高三角形，面积比等于底边的比 2第2题中的ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形 3第3题中的直角三角形 AEG 分两种情况讨论 总分值解答 1如图 2，由 CE/AB，得313EFCEAFBA 由于CEF 与CAF 是同高三角形，所以 SCEFSCAF313 2如图 3，延长 AG 交射线 CD 于 M 图 2 由 CM/AB，得2CMCGABBG所以 CM2AB26 由 CM/AB，得EMABAM 又因为 AM 平

3、分BAE，所以BAMEAM 所以EMAEAM所以 yEAEM26x 图 3 图 4 3在 RtABC 中，AB13，AC5，所以 BC12 如图 4，当AGE90时，延长 EG 交 AB 于 N，那么AGEAGN 所以 G 是 EN 的中点 所以 G 是 BC 的中点，BG6 如图 5，当AEG90时，由CAFEGF，得FCFAFEFG 由 CE/AB，得FCFBFEFA 所以FAFBFGFA又因为AFGBFA，所以AFGBFA 所以FAGB所以GABB所以 GAGB 作 GHAH，那么 BHAH132 在 RtGBH 中，由 cosBBHBG，得 BG132121316924 图 5 图 6

4、 考点伸展 第3题的第种情况，当AEG90时的核心问题是说理 GAGB 如果用四点共圆，那么很容易 如图 6，由 A、C、E、G 四点共圆，直接得到24 上海版教材不学习四点共圆，比拟麻烦一点的思路还有：如图 7，当AEG90时，设 AG 的中点为 P，那么 PC 和 PE 分别是 RtACG 和 RtAEG 斜边上的中线，所以 PCPEPAPG 所以122，325 如图 8，在等腰PCE 中，CPE1802(45)，又因为CPE180(13)，所以132(45)所以124 所以24B所以GABB所以 GAGB 图 7 图 8 例 2 2021 年苏州市中考第 29 题 如图 1，二次函数 y

5、a(x22mx3m2)其中 a、m 是常数，且 a0，m0的图像与x 轴分别交于 A、B点 A 位于点 B 的左侧，与 y 轴交于点 C(0,3)，点 D 在二次函数的图像上，CD/AB，联结 AD过点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E，AB 平分DAE 1用含 m 的式子表示 a；2求证：ADAE为定值；3设该二次函数的图像的顶点为 F探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，联结GF，以线段 GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点 G 即可，并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请翻开几何

6、画板文件名“14 苏州 29，拖动 y 轴正半轴上表示实数 m 的点运动，可以体验到，点 E、D、F 到 x 轴的距离都为定值 思路点拨 1不算不知道，一算真奇妙通过二次函数解析式的变形，写出点 A、B、F 的坐标后，点 D 的坐标也可以写出来点 E 的纵坐标为定值是算出来的 2在计算的过程中，第1题的结论21am及其变形21am 反复用到 3注意到点 E、D、F 到 x 轴的距离正好是一组常见的勾股数5，3，4，因此过点 F作 AD 的平行线与 x 轴的交点，就是要求的点 G 总分值解答 1将 C(0,3)代入 ya(x22mx3m2)，得33am2因此21am 2由 ya(x22mx3m2

7、)a(xm)(x3m)a(xm)24axm2a(xm)24，得 A(m,0)，B(3m,0)，F(m,4)，对称轴为直线 xm 所以点 D 的坐标为(2m,3)设点 E 的坐标为(x,a(xm)(x3m)如图 2，过点 D、E 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E 由于EAEDAD，所以EEDDAEAD因此()(3)33a xm xmxmm 所以 am(x3m)1结合21am，于是得到 x4m 当 x4m 时，ya(xm)(x3m)5am25所以点 E 的坐标为(4m,5)所以35ADDDAEEE 图 2 图 3 3如图 3，由 E(4m,5)、D(2m,3)、F(m,4)，可知点 E、D

8、、F 到 x 轴的距离分别为 5、4、3 那么过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的负半轴的交点，就是符合条件的点 G 证明如下：作 FFx 轴于 F，那么43GFFFADDD 因此534AEADGF所以线段 GF、AD、AE 的长围成一个直角三角形 此时 GF4m所以 GO3m，点 G 的坐标为(3m,0)考点伸展 第3题中的点 G 的另一种情况，就是 GF 为直角三角形的斜边 此时5334AEADGF因此34GFm 所以(341)GOm此时(34,0)G mm 例 3 2021 年山西省中考第 26 题 如图 1，抛物线213442yxx与 x 轴交于 A、B 两点点 B 在点 A 的右

9、侧，与 y 轴交于点 C，连结 BC，以 BC 为一边，点 O 为对称中心作菱形 BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为(m,0)，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q 1求点 A、B、C 的坐标；2当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD、BC 于点 M、N试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由；3当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，假设存在，请直接写出点 Q 的坐标；假设不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请翻开几何画板文件名“13 山西

10、 26，拖动点 P 在线段 OB 上运动，可以体验到，当P 运动到 OB 的中点时，四边形 CQMD 和四边形 CQBM 都是平行四边形拖动点 P 在线段EB 上运动，可以体验到，DBQ 和BDQ 可以成为直角 请翻开超级画板文件名“13 山西 26，拖动点 P 在线段 OB 上运动，可以体验到，当P 运动到 OB 的中点时，四边形 CQMD 和四边形 CQBM 都是平行四边形拖动点 P 在线段EB 上运动，可以体验到，DBQ 和BDQ 可以成为直角 思路点拨 1第2题先用含 m 的式子表示线段 MQ 的长，再根据 MQDC 列方程 2第2题要判断四边形 CQBM 的形状，最直接的方法就是根据

11、求得的 m 的值画一个准确的示意图，先得到结论 3第3题BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形 总分值解答 1由21314(2)(8)424yxxxx，得 A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)2直线 DB 的解析式为142yx 由点 P 的坐标为(m,0)，可得1(,4)2M mm，213(,4)42Q mmm 所以 MQ221131(4)(4)82424mmmmm 当 MQDC8 时，四边形 CQMD 是平行四边形 解方程21884mm，得 m4，或 m0舍去 此时点 P 是 OB 的中点，N 是 BC 的中点，N(4,2)，Q(4,6)所以

12、 MNNQ4所以 BC 与 MQ 互相平分 所以四边形 CQBM 是平行四边形 图 2 图 3 3存在两个符合题意的点 Q，分别是(2,0)，(6,4)考点伸展 第3题可以这样解：设点 Q 的坐标为1(,(2)(8)4xxx 如图 3，当DBQ90时，12QGBHGBHD所以1(2)(8)1482xxx 解得 x6此时 Q(6,4)如图 4，当BDQ90时，2QGDHGDHB所以14(2)(8)42xxx 解得 x2此时 Q(2,0)图 3 图 4 例 4 2021 年广州市中考第 24 题 如图 1，抛物线233384yxx 与 x 轴交于 A、B 两点点 A 在点 B 的左侧，与 y轴交于

13、点 C 1求点 A、B 的坐标；2设 D 为抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标；3假设直线 l 过点 E(4,0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式 图 1 动感体验 请翻开几何画板文件名“12 广州 24，拖动点 M 在以 AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合AMB90的点 M 只有 1 个 请翻开超级画板文件名“12 广州 24，拖动点 M 在以 AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合AMB90的点 M 只有 1 个 思路点拨 1根

14、据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点 D 有两个 2当直线 l 与以 AB 为直径的圆相交时，符合AMB90的点 M 有 2 个；当直线 l与圆相切时，符合AMB90的点 M 只有 1 个 3灵活应用相似比解题比拟简便 总分值解答 1由23333(4)(2)848yxxxx ，得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(4,0)、B(2,0)对称轴是直线 x1 2 ACD 与ACB 有公共的底边 AC，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，点 B、D 到直线 AC 的距离相等 过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点 D，在 AC 的另一侧有对应的点 D 设

15、抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G，与 AC 交于点 H 由 BD/AC，得DBGCAO所以34DGCOBGAO 所以3944DGBG，点 D 的坐标为9(1,)4 因为 AC/BD，AGBG，所以 HGDG 而 DHDH，所以 DG3DG274所以 D的坐标为27(1,)4 图 2 图 3 3过点 A、B 分别作 x 轴的垂线，这两条垂线与直线 l 总是有交点的，即 2 个点 M 以 AB 为直径的G 如果与直线 l 相交，那么就有 2 个点 M；如果圆与直线 l 相切，就只有 1 个点 M 了 联结 GM，那么 GMl 在 RtEGM 中，GM3，GE5，所以 EM4 在 RtEM1A

16、中，AE8，113tan4M AM EAAE，所以 M1A6 所以点 M1的坐标为(4,6)，过 M1、E 的直线 l 为334yx 根据对称性，直线 l 还可以是334yx 考点伸展 第3题中的直线 l 恰好经过点 C，因此可以过点 C、E 求直线 l 的解析式 在 RtEGM 中，GM3，GE5，所以 EM4 在 RtECO 中，CO3，EO4，所以 CE5 因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直线 CM 过点 C 例 5 2021 年杭州市中考第 22 题 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数 yk(x2x1)的图象交于点 A(1,k)和点B(1,k)1当 k2 时，求反比例函数

17、的解析式；2要使反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；3设二次函数的图象的顶点为 Q，当ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k的值 动感体验 请翻开几何画板文件名“12 杭州 22，拖动表示实数 k 的点在 y 轴上运动，可以体验到，当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大 观察抛物线的顶点 Q 与O 的位置关系，可以体验到，点 Q 有两次可以落在圆上 请翻开超级画板文件名“12 杭州 22，拖动表示实数 k 的点在 y 轴上运动，可以体验到，当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函

18、数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大 观察抛物线的顶点 Q 与O 的位置关系，可以体验到，点 Q 有两次可以落在圆上 思路点拨 1由点 A(1,k)或点 B(1,k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是kyx题目中的 k 都是一致的 2由点 A(1,k)或点 B(1,k)的坐标还可以知道，A、B 关于原点 O 对称，以 AB 为直径的圆的圆心就是 O 3根据直径所对的圆周角是直角，当 Q 落在O 上是，ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形 总分值解答 1因为反比例函数的图象过点 A(1,k)，所以反比例函数的解析式是kyx 当 k2 时，反比例函数的解析式是2yx 2在反比例函数kyx

19、中，如果 y 随 x 增大而增大，那么 k0 当 k0 时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随 x增大而增大 抛物线 yk(x2x1)215()24k xk的对称轴是直线12x 图 1 所以当 k0 且12x 时，反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大 3抛物线的顶点 Q 的坐标是15(,)24k，A、B 关于原点 O 中心对称，当 OQOAOB 时，ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形 由 OQ2OA2，得222215()()124kk 解得1233k 如图 2，2233k 如图 3 图 2 图 3 考点伸展 如图 4，经过原点 O 的两条直线 AB 与 CD 分别与双曲线k

20、yxk0 交于 A、B 和 C、D，那么 AB 与 CD 互相平分，所以四边形 ACBD 是平行四边形 问平行四边形 ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图 5，当 A、C 关于直线 yx 对称时，AB 与 CD 互相平分且相等，四边形 ABCD 是矩形 因为 A、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以 OA 与 OC 无法垂直，因此四边形 ABCD 不能成为正方形 图 4 图 5 例 6 2021 年浙江省中考第 23 题 设直线 l1：yk1xb1与 l2：yk2xb2，假设 l1l2，垂足为 H，那么称直线 l1与 l2是点 H 的直角线 1直线122yx；2yx；22y

21、x；24yx和点C(0，2)，那么直线_和_是点 C 的直角线填序号即可；2如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的顶点 A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P 为线段 OC 上一点，设过 B、P 两点的直线为 l1，过 A、P 两点的直线为 l2，假设 l1与 l2是点 P 的直角线，求直线 l1与 l2的解析式 图 1 动感体验 请翻开几何画板文件名“11 浙江 23，拖动点 P 在 OC 上运动，可以体验到，APB有两个时刻可以成为直角，此时BCPPOA 答案 1直线和是点 C 的直角线 2当APB90时，BCPPOA那么BCPOCPOA，即273POPO解得 OP6 或

22、OP1 如图 2，当 OP6 时，l1：162yx，l2：y2x6 如图 3，当 OP1 时，l1：y3x1，l2：113yx 图 2 图 3 例 7 2021 年北京市中考第 24 题 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线22153244mmyxxmm 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B(2,n)在这条抛物线上 1求点 B 的坐标；2点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发向点 A 运动，过点 P 作 x 轴的垂线，与直线 OB交于点 E，延长 PE 到点 D，使得 EDPE，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形PCD当点 P 运动时，点 C、D 也随之运动 当等腰

23、直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；假设点 P 从点 O 出发向点 A 作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动，速度为每秒 2 个单位 当点 Q 到达点 O 时停止运动，点 P 也停止运动 过 Q 作 x 轴的垂线，与直线 AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得FMQF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN当点 Q 运动时，点 M、N 也随之运动 假设点 P 运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻 t 的值 图 1 动感体验 请翻开几何

24、画板文件名“10 北京 24，拖动点 P 从 O 向 A 运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线 思路点拨 1这个题目最大的障碍，莫过于无图了 2把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有 t 的式子表示这些线段的长 3点 C 的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻 OP 的长 4当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于 t 的方程就可以求解了 总分值解答(1)因 为 抛 物 线22153244mmyxxmm 经 过 原 点，所 以2320mm 解得12m，21m 舍去 因此21542yxx 所以点 B 的坐标为2，4

25、 (2)如图 4，设 OP 的长为 t，那么 PE2t，EC2t，点 C 的坐标为(3t,2t)当点 C落在抛物线上时，2152(3)342ttt 解得229tOP 如图 1，当两条斜边 PD 与 QM 在同一条直线上时，点 P、Q 重合此时 3t10解得103t 如图 2，当两条直角边 PC 与 MN 在同一条直线上，PQN 是等腰直角三角形，PQPE此时1032tt解得2t 如图 3，当两条直角边 DC 与 QN 在同一条直线上，PQC 是等腰直角三角形，PQPD此时1034tt解得107t 图 1 图 2 图 3 考点伸展 在此题情境下，如果以 PD 为直径的圆 E 与以 QM 为直径的

26、圆 F 相切，求 t 的值 如图 5，当 P、Q 重合时，两圆内切，103t 如图 6，当两圆外切时，3020 2t 图 4 图 5 图 6 例 8 2021 年嘉兴市中考第 24 题 如图 1，A、B 是线段 MN 上的两点，4MN，1MA，1MB以 A 为中心顺时针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成ABC，设xAB 1求 x 的取值范围；2假设ABC 为直角三角形，求 x 的值；3探究：ABC 的最大面积？图 1 动感体验 请翻开几何画板文件名“09 嘉兴 24，拖动点 B 在 AN 上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于

27、第三边；CAB 和ACB 可以成为直角，CBA 不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U形，当 AB 等于1.5 时，面积到达最大值 思路点拨 1根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于 x 的不等式组，可以求得 x 的取值范围 2分类讨论直角三角形 ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性 3把ABC 的面积 S 的问题，转化为 S2的问题AB 边上的高 CD 要根据位置关系分类讨论，分 CD 在三角形内部和外部两种情况 总分值解答 1在ABC 中，1AC，xAB，xBC3，所以.31,31xxxx 解得21 x 2假设 AC

28、为斜边，那么22)3(1xx，即0432 xx，此方程无实根 假设 AB 为斜边，那么1)3(22xx，解得35x，满足21 x 假设 BC 为斜边，那么221)3(xx，解得34x，满足21 x 因此当35x或34x时，ABC 是直角三角形 3在ABC 中，作ABCD 于 D，设hCD，ABC 的面积为 S，那么xhS21 如图 2，假设点 D 在线段 AB 上，那么xhxh222)3(1移项，得2221)3(hxhx两边平方，得22222112)3(hhxxhx整理，得4312xhx 两 边 平 方，得16249)1(222xxhx 整 理，得16248222xxhx 所以462412222xxhxS21)23(22x423x 当23x时满足423x ，2S取最大值21，从而 S 取最大值22 图 2 图 3 如图 3，假设点 D 在线段 MA 上，那么xhhx2221)3(同理可得，462412222xxhxS21)23(22x413x 易知此时22S 综合得，ABC 的最大面积为22 考点伸展 第3题解无理方程比拟烦琐，迂回一下可以防止烦琐的运算：设aAD，例如在图 2 中，由2222BDBCADAC列方程222)()3(1axxa 整理，得xxa43 所以 21a22216248431xxxxx 因此 462)1(412222xxaxS