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1、第5讲 因动点产生的题形问题（选讲）例1上海市徐汇区中考模拟第24题如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(1,0)和点B(3, 0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5, 6)（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且AEC和AED相似，求点E的坐标；（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标 思路点拨1由A、C、D三点的坐标，可以得到直线CA、直线DA与x轴的夹角都是45，因此点E不论在点A的左侧还是右侧，都有CAEDAE因此讨论AEC和AED相似，要分两种情况每种情况又要讨论对应边的关系2因为CAD是直角，所以
2、直角梯形存在两种情况满分解答（1）如图1，因为抛物线与x轴交于点A(1,0)和点B(3, 0)，设ya(x1)(x3)将点C(5, 6)代入ya(x1)(x3)，得12a6解得所以抛物线的解析式为（2）由，得顶点D的坐标为(1,2)由A(1,0)、C(5, 6)、D(1,2)，得CAO45，DAO45，AC，AD因此不论点E在点A的左侧还是右侧，都有CAEDAE图2 图3如果CAEDAE，那么它们全等，这是不可能的如图2，图3，如果CAEEAD，那么AE2ACAD所以AE所以点E的坐标为，或（3）因为CAD90，因此直角梯形存在两种情况如图4，当DF/AC时，由，得解得DF此时F、D两点间的水
3、平距离、竖直距离都是2，所以F(3,0)如图5，当CF/AD时，由，得解得CF此时F、C两点间的水平距离、竖直距离都是，所以F图4 图5考点伸展如果第（3）题改为：点F在抛物线上，点F和点A、C、D构成梯形，求点F的坐标，那么就要分三种情况讨论了如图4，当DF/AC时，点F就是点B(3, 0)如图6，当CF/AD时，FHCH设F，那么解得x5此时点F的坐标为(5,16)如图7，当AF/CD时， 所以解得x7此时点F的坐标为(7,16)图6 图7 例2上海市金山区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，点B是这条直线上第一象限内的一个点，过点B作x轴的垂线，垂足为D
4、，已知ABD的面积为18（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线经过点A和点B，求抛物线的解析式；（3）已知（2）中的抛物线与y轴相交于点C，该抛物线对称轴与x轴交于点H，P是抛物线对称轴上的一点，过点P作PQ/AC交x轴于点Q，如果点Q在线段AH上，且AQCP，求点P的坐标 图1思路点拨1ABD是等腰直角三角形，根据面积可以求得直角边长，得到点B的坐标2AQCP有两种情况，四边形CAQP为平行四边形或等腰梯形平行四边形的情况很简单，等腰梯形求点P比较复杂，于是我们要想起这样一个经验：平行于等腰三角形底边的直线截两腰，得到一个等腰梯形和一个等腰三角形满分解答（1）直线yx2与x轴的夹角为45，点A
5、的坐标为(2, 0)因为ABD是等腰直角三角形，面积为18，所以直角边长为6因此OD4所以点B的坐标为(4, 6)（2）将A(2, 0)、B (4, 6)代入，得 解得b2，c6所以抛物线的解析式为（3）由，得抛物线的对称轴为直线x2，点C的坐标为(0, 6)如果AQCP，那么有两种情况：如图2，当四边形CAQP是平行四边形时，AQ/CP，此时点P的坐标为(2, 6)如图3，当四边形CAQP是等腰梯形时，作AC的垂直平分线交x轴于点F，那么点P在FC上设点F的坐标为(x, 0)，根据FA2FC2列方程，得(x2)2x262解得x8所以OF8，HF6因此此时点P的坐标为图2 图3考点伸展第（3）
6、题等腰梯形CAQP时，求点P的坐标也可以这样思考：过点P作PE/x轴交AC于E，那么PEPC直线AC的解析式为y3x6，设E(m, 3m6)，那么P(2, 3m6)根据PE2PC2列方程，得(2m)222(3m)2解得所以P 图4其实第（3）题还有一个“一石二鸟”的方法：设QHn，那么AQ4n，PH3n，P(2, 3n )根据AQ2CP2，列方程，得(4n)222(3n6)2整理，得2n27n60解得n12，当n12时，P(2, 6)，对应平行四边形CAQP（如图2）；当时，P，对应等腰梯形CAQP（如图4）例3上海市松江区中考模拟第24题已知直线y3x3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y
7、ax22xc经过点A，B（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形求点D的坐标；将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y3x3交于点E，若，求四边形BDEP的面积图1 思路点拨1这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了2抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于73已知DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7，那么点P向右平移到直线x3时，就停止
8、平移满分解答（1）直线y3x3与x轴的交点为A(1，0)，与y轴的交点为B(0,3)将A(1，0)、B(0,3)分别代入yax22xc，得 解得 所以抛物线的表达式为yx22x3对称轴为直线x1，顶点为(1,4)（2）如图2，点B关于直线l的对称点C的坐标为(2,3)因为CD/AB，设直线CD的解析式为y3xb，代入点C(2,3)，可得b3所以点D的坐标为（0，3）过点P作PHy轴，垂足为H，那么PDHDPE由，得而DH7，所以PH3因此点E的坐标为（3，6）所以图2 图3考点伸展第（2）用几何法求点D的坐标更简便：因为CD/AB，所以CDBABO因此所以BD3BC6，OD3因此D（0，3）例
9、4 衢州市中考第24题如图，把两个全等的RtAOB和RtCOD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F抛物线yax2bxc经过O、A、C三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），AOB在平移的过程中与COD重叠部分的面积记为S试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若
10、不存在，请说明理由 思路点拨1如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段2AOB与COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即OFG减去OEH3求OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么RtEHK的直角边的比为124设点A移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示满分解答（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入yax2bxc，得 解得， 所以（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP、MM，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AMBP
11、，因此yAy MyPyB直线OC的解析式为，设点P的坐标为，那么解方程，得，x2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在所以图2 图3（3）如图3，AOB与COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EKOD于K设点A移动的水平距离为m，那么OG1m，GBm在RtOFG中，所以在RtAHG中，AG2m，所以所以在RtOEK中，OK2 EK；在RtEHK中，EK2HK；所以OK4HK因此所以所以于是因为0m1，所以当时，S取得最大值，最大值为考点伸展第（3）题也可以这样来解：设点A的横坐标为a由直线AC：yx3，可得A(a, a3)由直线OC：，可得由直线OA：y2x及A(a, a3)，可得直线OA：
12、y2x3a3，由直线OC和直线OA可求得交点E(2a2，a1)由E、F、G、H 4个点的坐标，可得例5 义乌市中考第24题已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线 y2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN/x轴，交PB于点N 将PMN沿直线MN对折，得到P1MN 在动点M的运动过程中，设P1
13、MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式 图1 图2思路点拨1第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况2第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点满分解答（1）设抛物线的解析式为，代入A（2，0）、C(0，12) 两点，得 解得 所以二次函数的解析式为，顶点P的坐标为（4，4）（2）由，知点B的坐标为（6，0）假设在等腰梯形OPBD，那么DPOB6设点D的坐标为(x，2x)由两点间的距离公式，得解得或x2如图3，当x2时，四边形ODPB是平行四边形所以，当点D的坐标为(，)
14、时，四边形OPBD为等腰梯形图3 图4 图5（3）设PMN与POB的高分别为PH、PG在RtPMH中，所以在RtPNH中，所以 如图4，当0t2时，重叠部分的面积等于PMN的面积此时如图5，当2t4时，重叠部分是梯形，面积等于PMN的面积减去PDC的面积由于，所以此时考点伸展第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：方法一，按照对角线相等画圆以P为圆心，OB长为半径画圆，与直线y2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点方法二，按照对边相等画圆以B为圆心，OP长为半径画圆，与直线y2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点【强化训练】1.（广州24）已知A
15、B是O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在O上运动（不与点B重合），连结CD，且CD=OA.（1）当OC=时（如图），求证：CD是O的切线；（2）当时，CD所在直线与O相交，设另一个交点为E，连结AE.当D为CE中点时，求ACE的周长；连结OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时的值；若不存在，请说明理由.2.（上海模拟24）如图，把两个全等的RtAOB和RtCOD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在轴上.已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交轴、轴于点E、F，抛物线经过O、A、C三点.（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作轴的平行线交抛物线于点M，交轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.12